沪科版九年级数学上册《23.2解直角三角形及其应用》同步练习题（含答案）

第页沪科版九年级数学上册《23.2解直角三角形及其应用》同步练习题（含答案）一、夯实基础1．（2026九下·杭州月考）如图，小明沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=200米，则这名滑雪运动员下降的高度为（）A．200sinα米 B．200cosα米 C．200tanα米 D．200tanα2．（2026·鹿城模拟）汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线OA会主动转至OB，转动的角度∠AOB=α，若OA的长为m，则AB的长为（）A．mtanα B．mtanα C．msinα D．3．（2026·广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别为边AB，AC的中点，连接DE，CD，若DE=2A．3 B．33 C．3.5 4．（2026·深圳模拟）深圳前海"湾区之光"摩天轮是深圳的地标性建筑，如图1其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图2在摩天轮前方的水平地面上选取点B，测得摩天轮最高点A的仰角为45°，将点B向摩天轮方向移动21.3米到点C，此时测得摩天轮最高点A的仰角为50A．154米 B．150米 C．128米 D．107米5．（2026·新昌月考）如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为米（精确到1米，参考数据26．（2026·广州模拟）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则tanA的值为7．（2026·临高模拟）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB=3米∠BEA=90°，当α=37°，β=58°时．（结果精确到0.01米）（参考数据：（1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；（2）求AO的长．8．（2026·铜仁模拟）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂.在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=12m，∠DCE=30°，点E，C，A同一条水平直线上.在观景台C测得塔顶部B仰角为45°，在观景台D测得塔顶部B仰角为27°.（1）求DE的长；（2）求塔AB的高度.（（tan二、能力提升9．（2026·长春模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为i=1：m，则m=10．（2026·甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B，C，D在同一条直线上）CD⊥AB，在点A分别测得塔顶C的仰角∠CAB=16.73°、塔底D的仰角∠DAB=14.01°，查阅资料可知塔的高度CD=17米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离参考数据：sin14.01°≈0.24，11．（2026·陈仓模拟）如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的垂直高度距离CD可以表示为（）

A．(m-n)cosα米 B．(m-n)sinα米C．m−ncosα米 D．12．（2026·长春一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为3.8米.若∠CAD的度数为α，则此“天幕”的宽度CD是（）A．3.8sinα米 B．3.8cosα米 C．7.6sinα2米 13．（2026·嘉善二模）某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距千米.14．（2026·绵阳模拟）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25.若ND=58DE,三、拓展创新15．（2026·金华一模）图1为武术动作机器人，图2为其示意图.机器人上半身CD垂直于地面水平线AB，手臂DE∥AB.已知∠CAB=α，AC=m，CD=n，则该机器人拳头（E点）到地面AB的高度为（）A．Mcosα+n B．mtanα+nC．mcosα+nsinα D．msinα+n16．（2026·陈仓模拟）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，E是⊙O上的点，满足∠BAC=2∠ABE，延长CA，BE交于点D，M是BD上一点且AM是⊙O的切线，连接OE.（1）求证：CD∥OE；（2）若tan∠ABE=参考答案1．【答案】A【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB·sinα=200sinα（米）。故答案为：A【分析】先确定滑雪运动员高度下降的距离为直角三角形的直角边，再利用正弦函数的定义计算该直角边的长度。2．【答案】A【知识点】解直角三角形的其他实际应用【解析】【解答】解：在Rt△OAB中∠OAB=90°∵tan∴AB=mtanα．

故答案为：A.

【分析】根据正切函数的定义，由∠AOB的正切函数即可求出AB=mtanα.3．【答案】D【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点DE∴BC=2DE=4∵∠ACB=90°，∠B=30°∴cos∴AB=8∵CD为斜边上的中线∴CD=4故答案为：D

【分析】先根据三角形中位线定理得到BC=2DE=434．【答案】C【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：根据题意：AO⊥OB，即∠AOB=90°

∵∠ABO=45°

∴∠OAB=∠ABO=45°

∴OA=OB

∵BC=21.3

∴OC=OB−BC=OA−21.3

在Rt△AOC中∵∠ACO=50°

∴OAOA−21.3=tan故答案为：C.【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用.明确题干中各个角的度数与线段的长度，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OA=OB；将OC用OA表示出来，根据正切定义得到OAOA−21.35．【答案】85【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36米如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。

在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米

在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由tan60°=MCBC，得：由AC-BC=AB，代入得：

x−解得：x=18(3+所以河流的宽度约为85米。故答案为：85【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。6．【答案】2【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系【解析】【解答】在Rt△ABC中∠B=90∘AB=AC2−BC2=302−102=20故答案为：24【分析】由天桥示意图得△ABC为直角三角形，∠ABC=90∘，已知对边BC=10，斜边AC=30；先用勾股定理求出邻边AB；根据正切定义tanA=对边邻边=BC7．【答案】（1）解：液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB=3米∠BEA=90°在Rt△ABE中∴0.85≈∴BE=2.55米即BE的长为2.55米；（2）解：在Rt△OBE中tanα=tan37°=∴0.75≈∴OE=3.4米∵tan∴2.55∴AE≈1.59米∴AO=OE−AE=3.4−1.59=1.81（米）即AO的长为1.81米．【知识点】解直角三角形的其他实际应用【解析】【分析】（1）利用正弦的定义得到关系式sinβ=（2）先根据正切的定义得到关系式tanα=tan37°=BEOE，由此计算出OE=3.4（1）解：液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB=3米∠BEA=90°在Rt△ABE中∴0.85≈∴BE=2.55米即BE的长为2.55米；（2）解：在Rt△OBE中tanα=tan37°=∴0.75≈∴OE=3.4米∵tan∴2.55∴AE≈1.59米∴AO=OE−AE=3.4−1.59=1.81（米）即AO的长为1.81米．8．【答案】（1）解：由题意得DE⊥EC在Rt△DEC中，CD=12m，∠DCE=30°∴DE=12CD=6（2）解：∵AB=hm∴BF=AB-FA=(h-6)m在Rt△BDF中，∵∠BDF=27°

∴BF=DF·tan27°≈0.5(63+h)m∴h−6=0.563+h,

∴塔AB的高度约为22m【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.

（2）根据边之间的关系可得BF=h-6，在Rt△BDF中解直角三角形可得BF，再建立方程，解方程即可求出答案.9．【答案】3【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：∵tan∴斜面AB的坡度为2:3=1:m∴m=故填：32．【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，列出等式，求出m的值，即可得出答案．10．【答案】解：设AB=x米∵在Rt△CAB中tan∠CAB=∴CB=AB⋅tan16.73°≈0.30x．∵在Rt△DAB中tan∠DAB=∴DB=AB⋅tan14.01°≈0.25x．∵CB−DB=CD∴0.30x−0.25x=17解得x=340．答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米．【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】设AB=x米，解直角三角形可得CB，DB，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.11．【答案】B【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：如图，由题意可知：BD||水平面则∠CBD=∠α，BC=(m-n)m在Rt△BCD中，sin所以得到CD=BCsinα=(m-n)sinα米.

故答案为：B.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形，表示出BC的长，然后在直角三角形BCD中，用锐角三角函数表示出CD的长即可.12．【答案】C【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系【解析】【解答】解：如图，设CD与AB交点为E，由题意知AB垂直平分CD，AC=AD=3.8米所以∠CAE=12∠CAD=α因为sin∠CAE=CE所以CE=ACsin∠CAE=3.8sinα所以CD=2CE=7.6sinα2【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解直角三角形的实际应用，直角三角形的边角关系，首先根据轴对称的性质得到∠CAB为∠CAD的一半，CD⊥AB，CD=2CE，然后在Rt△CAE中，利用直角三角形的边角关系得到CE的长，进而得到CD的长.13．【答案】3【知识点】解直角三角形的其他实际应用【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.由题意可知，AC=1.5×2=3(千米).∵∠ACB=120°∴∠DCB=60°.在Rt△BCD中∵∴CD=在Rt△DAB中∵∴AD=∵AD-CD=AC=3∴∴BD=3在Rt△DAB中∵∠DAB=30°∴AB=2BD=33故答案为：3【分析】过点B作BD⊥AC，先在Rt△BCD中用含BD的代数式表示出CD，在Rt△BAD中用含BD的代数式表示出AD，再根据线段的和差关系得关于BD的方程，求出BD，最后利用特殊角的边角关系得结论.14．【答案】65−30【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：在Rt△MCB中∵∠MCB=60°，CB=30m∴tan∠MCB=MBCB

∴MB=CB·tan∴DE=40m∴ND=58DE

∴ND=25m

∴40+25−303=60+303(m)

∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为65−30315．【答案】D【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角