01 第一章 质点运动学

第一章质点运动学§1质点的位矢、速度和加速度§1.1引言§1.2质点、参考系和坐标系§1.3质点的位矢§1.4位移和速度§1.5加速度§1.6其它坐标系中的运动描述机械运动

§1.1引言物体之间或物体各部分之间相对位置的变化。力学研究机械运动的规律及其应用运动学描述物体的位置如何随时间变化铅球投掷角的研究铁饼飞行轨迹的研究导弹制导北斗卫星导航系统§1.2质点、参考系和坐标费因曼（R.P.Feynman，1918-1988）物理学家具有这样的习惯，对于任一类现象，研究它们的最简单例子，把这称为“物理”，而把更复杂的情况，看作其它领域的事。§1.2质点、参考系和坐标1、质点质点是具有一定的质量而没有大小和形状的物体。质点是理想化的物理模型建立理想化物理模型以简化研究对象是物理学的一种重要研究方法。质点模型刚体模型理想气体模型谐振子模型理想流体模型2、参考系、坐标系质点的位置总是相对的，它只有相对于某个事先选定的其它物体而言，才有明确的意义。参考系：确定质点位置时用的物体或物体系统。地面参考系实验室参考系坐标系：定量地描述质点在某一时刻的位置。§1.3质点的位矢（位置矢量）位置矢量(位矢)yrpyrpoxzr选取参考系；建立坐标系；确定单位矢量

r(t)i, r x(t)i分量表示y位矢的矢径与方向

P(x,

y,z)r r rx2x2y2z2zcos

x,cosr

y,coszr r位矢是时间t的函数 r x(t)i

y(t)j

z(t)k

xyyzz

x(t)y(t)z(t)

质点的运动学方程轨道:运动质点在空间所经过的路径轨道方程:描述轨道的方程二维情形:

F(x,y)01、位移

§1.4位移和速度描述质点位置矢量改变的物理量。与质点运动状态变化相对应。t时刻： A点

r(t)

yA Br(t)t+t时刻B点

r(tt)

r(tt)t到t+t时间间隔内位矢的z o x增量rr(tt)r(t)质点在t到t+t这一段时间内的位移在直角坐标系中y Brr(tt)r(t) A (xBi

yBj

zBk)

r(t)o

t)x(xAi

yAj

zAk) z(xBx

)i(yxi

yj

zk路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长度s路程是标量与位移的的大小一般不相等rsrs

Ar(t)

sr

Bt)在极限情况下 o有 drds单方向直线运动时有rs单方向直线运动时有rssAsAr(t)OBrr(tt) Δr平均速度 vΔt瞬时速度(速度) rvlimt0Δt

drdt

B65 1A rr(t)O

t)drdrdtsAr(t)OBrr(tt)vvlim rt0 tlim

vdsdt直角坐标系中速度和速率的表达式 r x(t)i drvdtdxidt

dyjdt

dzkdtvxivx2vx2vy2vz2

vyj

vzk(r,

——质点运动的状态参量质点在任一时刻的位置、运动的快慢和方向。力学的状态参量的特性：矢量性、瞬时性、相对性。§1.5 加速度描述质点速度随时间变化快慢的物理量yAr(t)o

v(t)r(t

Bt)x

v(t

t)

v(t)vz v(tt)t: v(t

t+t:

v(t

v(t)

va t

vv(t加速度:t的瞬时加速度a limvat0t

dvdt直角坐标系中加速度的表达式 dv

a ad

dvyxix

vvxiv axi

ayj

azkaxax2ay2az2卫星导航系统定位的基本运动学原理时间距离导航：用户通过测量从导航卫星发出的导航信号的传播时间，推算自己与导航卫星之间的距离，从而确定自己的瞬时所在位置假设在地面上的任意一点都可以同时观测到24颗以上的卫星。2(x

x)2

y)2

(z

z)2

c2(t

t1)111(x111(x(x

x)223x)2234x)24

(y

y)223y)2234y)24

(z(z(z

z)223z)2234z)24

c2(tc2(tc2(t

t)223t)2234t)24例题1已知一质点的运动学方程为:r A(etietj)r式中A和为正的常数。试求该质点的速度和加速度，并画出它的轨迹。解由速度的定义式，质点的速度为 drvdt或 vxvy

AetAet速度的大小(v2v2)(v2v2)xye2te2tx轴的夹角tanvyvx

e2t或arciej)根据加速度的定义，质点的加速度 dvadt

2eti

2e

tj)加速度的大小(a2a2)xy(a2a2)xye2te2t加速度的方向：与x的夹角tan

ayax

e2t

tan1e2trA(e rA(e iettj)

Aety Aety质点的运动轨迹方程(0)r(t)A

xyA2o A x运动学第一类问题已知运动方程

rr

，求速度和加速度——求微分例题2如图所示A、B两物体由长为l的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定速率v向左滑行，当=60时，B的速度是多少？解选坐标轴，A的速度为 y？ d BvAv

vi l物体B的速度为： vB vy

dy Ao jo dt

x2y2

l22xdxdt

2ydy0dtdydt则B的速度：

xdxydt vBdt因为

xdxyj jyydt Bdxdt

lv, tAvB vtan j o xvB0 当60时，vB1.73v j例题3一个原先静止在坐标原点的带电粒子，在交变电场中到电场力的作用，获得一个随时间变化a

sinti

，其中a0为常数，为电场的振荡频率，求带电粒子的运动学方程。t解加速度的定义式积分可得t

advdtv(t)v0

a(t')dt'

v0tt

(cost

1)

v(t')dt'

(v0

a02

已知x0v

振荡xa0 ta0振荡

sint 2匀速直线运动运动学第二类问题已知加速度和初始条件，求速度、位移和运动方程——求积分例题4质点沿x轴正向作直线运动，加速度大小a=mx(m为正常数)。t=0时x=0,v=v0，求在什么位置质点停止运动?§1.6其它坐标系中的运动描述1、自然坐标系Pets轨迹en如果知道轨迹，Pets轨迹en

ss(t)切向：质点前进的方向法向：与切向垂直，o 指向曲线凹的一面et、en但方向改变

ds速度 v

v(t)

dteterrP2、平面极坐标系o两个相互垂直的单位矢量代表径向和角向;它们的方向随着质点的运动而改变。规定从极轴沿逆时针方向的角为正平面极坐标r,)：确定质点的位置质点的位矢表示为

r rer§2 运动叠加原理与抛体运动§2.1§2.2抛体运动方程和运动轨迹§2.3概念辨析与例题§2.4案例研究：高射炮火力范围§2.1 当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动是多个独立运动的合成结果。这就是运动叠加原理，或运动的独立性原理。§2.2 运动方程和运动轨迹抛体的运动方程xy

(v0(v0

cos)tsin)t12

gt2r v0tcos

i(v0tsin

1gt2)vj02vj0

yxtan12

gx22cos2枪打落猴问题分解矢量有许多种方法，相应地运动也存在着多种叠加方法r (v0

cosi

sin

1gt2j1j12v0t2gt2一架轰炸机沿直线飞行，从堆栈式炸弹挂架上掉落下的一颗炸弹将(忽略空气阻力)A.很快落后于轰炸机B.在轰炸机前面运动C.保持在轰炸机下面的垂直方向D.无法确定答案：C美国B-2隐形轰炸机在投弹一艘战舰同时向敌方甲乙两只舰艇发射两枚炮弹，如果炮弹沿着如图所示的抛物线轨道，哪只船将先被击中（忽略空气阻力）？甲乙甲乙乙同时被击中D.不能确定答案：B炮弹在空中飞行的时间等于它从最高处落下所花时间的两倍。例题已知质点的运动学方程为r 4tir

5t2)j求质点的速度和加速度；(2)找一个与该质点运动的相应实例。(1质点的速度和加速度 vdt

10t)jadvdt

10j

ax

0,ay

10g与该质点运动的相应实例：斜抛运动如何确定一门高射炮可以控制的火力范围?各种弹道弯曲的火炮及弹道导弹，如果可以忽略阻力，它们都是作抛体运动后攻击到目标。如何确定一门高射炮可以控制的火力范围?x(v0cos)ty(v0

sin)t

1gt22v0固定，发射角变化时所有可能的弹道曲线（曲线簇）对应曲线簇的曲线包络是一个抛物线——案例抛物线一门高射炮的控制区域就是以此包络的旋转曲面为边界的空间区域。如何确定一门高射炮可以控制的火力范围?0.060.050.040.030.020.010-0.010 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12§3圆周运动§3.1圆周运动的角量描述§3.2圆周运动的切向和法向加速度§3.1 圆周运动的角量描述y1、角坐标(t)角坐标的单位是弧度(rad)2、角速度

B 0 Aro xt

limt0 t

ddt角速度的单位是弧度/秒(rad/s)3、角加速度0 dd2

yB 0 Aro xlim 2t0

dt dt角加速度的单位是弧度/秒2(rad/s2)特例：匀速圆周运动const 0匀速直线运动a0匀变速圆周运动与匀加速直线运动的类比匀加速直线运动匀变速圆周运动xxx0vt0tvvxxvt1at20 0 2t1t20 0 2v2v22a(xx)0 00 0§3.2圆周运动的切向和法向加速度1、速度在自然坐标系中 Rv vv et

odds

ds vdsdt

Rddt

R P2、加速度 d a

dvetdt

vdetdt

R o etdetet

ddet

etden

d

en ds venePene

d endt dt

etddet e tnv e tnR dva edt t

v2eaaaaaatatetanen

at

an切向加速度沿轨道切线法向加速度指向圆心(d(dvdt)(2v2R)2大小a方向

a2a2tntana2a2tnat dva edt t

v2eaaaaaatatetanen

at

andvat dt

d(R

Rddtv2van

(R2

PatRatRanR2要点速度大小的变化引起切向加速度速度方向的变化引起法向加速度的方向不指向圆心at0anaan加速度方向指向圆心3、一般平面曲线运动

P O212——曲率半径 2O PO——瞬时曲率中心 v v(t)

dsdtet

曲率圆 dva a(t)dt

atet

anen

dvetdt

v2en 一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心 加速度总是指向曲线凹的一侧一个质点在平面上的椭圆运动椭圆的两个半轴长度分别是a、b，质点绕r椭圆转动的角速度是。r质点的位矢

x(t)iy(t)j(acos

t)i

t)j质点的速度和加速度分别为v(asint)i(bcost)j 2 2 2a(acost)i(bsint)jr一质点沿圆周运动，其速率随时间成正比增大，at为切向加速度的大小，an为法向加速度的大小，加速度矢量a度矢量v质点运动过程中at增大，an增大，不变at不变，an增大，增大at不变，an不变，不变at增大，an不变，减小答案：B

夹角为(如图)。在2一质点沿半径为R的圆周运动，在t0时经过P点，此后它的速率v按v=A+Bt(A，B为正的已知常量)变化，则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at和法向加速度an2

B,an

A4πBR（ABt)2at

B,an RA2AB,anR

答案：A例题1 一质点沿半径为R的圆周运动，其角坐标的运动方程为=At3(A为常数)，(1)求质点的速度和加速度，(2)t为何值时，该质点的切向加速度等于法向加速度？解(1)质点的速度和加速度vRd3Rat2dvat dt

dt6R

2vanRv

9Ra2t4a2aa2a2tn

3RAt(2)切向加速度等于法向加速度anat6Rat9Ra2t43232/(3a)例题2速度的大小恒保持相等。设为质点在圆周上任意v1与v2之间的夹角。试证:v2=v1eθ。匀速率曲线运动只存在法向加速度时质点的运动dvat

vcv2van

an

const?数值计算(1).an

2t

((2).

an

Csinπt匀速率曲线运动an2t

(t

)匀速率曲线运动

sinπt

(0t

)匀速率曲线运动an

sinπt

(0t

)§4相对运动§4.1位矢的相对性§4.2位移和速度的相对性§4.3加速度的相对性§4.4案例研究：导弹追踪运动是绝对的，运动的描述是相对的。从不同的参考系来描述同一物体的运动时，物体的位移、速度和加速度都可能不同。研究的问题实验室参考系运动参考系§4.1位矢的相对性v0v0yS y S'r rr0 o' x'O z xz 伽利略坐标变换式

r经典力学：空间绝对性和时间绝对性 r r0 r空间的测量和时间的测量与参考系有关吗？空间绝对性：同一段长度的测量结果与参考系的相对运动无关——长度测量的绝对性。时间绝对性：同一段时间的测量结果与参考系的相对运动无关——时间测量的绝对性。§4.2位移和速度的相对性QPQP

t)

t)

t)rr

t)rP(t)

r

rr rr

rr r

rr绝对速度相对速度

drdtd'

rt

t

r'tv'dt dr

drdt

dr0 dt

dt

v0 0dt 伽利略速度变换式

vv§4.3加速度的相对性d 绝对加速度

va

vv0

v'相对加速度牵连加速度

dt v'adt0 dv0a0 dt

dvdt

dv0dt

dvdta00

a a

aa轮船在水上以相对于水的速度

航行，水流v1v速度为

行走．如人v2 v3v1v2v3的关系是 ．在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢量用i,

表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为2i2i

2j2j

2j

答案：B

2j例题1一个人骑车以18kmh–1的速率自东向西行进时，看见雨点垂直下落。当他的速率增至36kmh–1时，看见雨点与前进的方向成120°角下落。求雨点对地面的速度。解

vm2120

vm1 Evr

vrm1

vm1vrm2

vm2vrvm2

36kmh1

vrm2

vrm190§4.4案例研究：导弹追踪《热导追踪（Heatseeker）》——以空战为主题的飞行模拟游戏导弹追踪问题挪威反舰导弹“企鹅”4：发现目标后，自动跟踪，将导弹导向目标，使导弹击中目标舰吃水线上方，将其击毁。例题如图所示，敌舰A在与海平面上以速率vA向正西方向航行，当敌舰行驶至图示位置时我舰向其发射鱼雷B，鱼雷速率为vB(vB>vA)，假设敌舰和鱼雷的速度在攻击过程中都保持不变。为击中敌舰，试分析鱼雷的发射角度所要满足的条件。vAvAA(l,h)vBv vB x导弹追踪问题导弹制导：按照一定的导引律，控制导弹沿导引弹道飞行并命中目标追踪法：导弹在攻击目标的导引过程中，导弹的速度矢量始终指向目标的一种导引方法。导弹追踪问题追踪法导弹追踪问题绝对弹道：导弹相对地面坐标系的运动轨迹相对弹道：而导弹相对于目标的运动轨迹相对弹道就是观察者在活动目标上所能看到的导弹运动轨迹。导弹追踪问题导弹追踪问题导弹追踪问题如何求出相对弹道？图解法如果目标作等速直线飞行，按追踪法导引时的相对弹道导弹追踪问题追踪法弹道特性的缺点：法向过载较大、要求导弹要有很高的机动性、导弹不能实现全向攻击、速度比受到严格的限制等。如何改进？质点运动学——总结、理解与提高PART1 本章总结：知识与联系PART2 快速训练：概念辨析PART3 数学再深入：矢量与微分PART4 问题讨论：纤夫拉船PART1 本章总结：知识与联系一个模型质点（理想模型）三个物理量位矢(位移)速度加速度三个坐标系笛卡尔坐标系自然坐标系平面极坐标系二类问题第一类：微分问题（约束问题）第二类：积分问题质点运动学 质点模型质点运动学质点模型质点动力学？实物抽象机械运动求导求导积分速度v求导积分几种典型的运动运动方程r=r(t)位矢r加速度a坐标系运动描述参考系自然坐标系极坐标系自然坐标系极坐标系PART2 快速训练：概念辨析1、一运动质点在某瞬时位于矢径其速度大小为

r(x,y)

的端点处,drdtdrdt

(dx)2((dx)2(dy)2dtdtdt直线运动曲线（圆周）运动角量描述轨迹方程直线运动曲线（圆周）运动角量描述轨迹方程答案：D2、质点作曲线运动，r表示位置矢量，v表示速度，a表示加速度，s表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，d/vdv/dt=a，(2)dr/dt=v，d/v(3)ds/dt=v，(4)

dt只有(1)、(4)是对的．只有(2)、(4)是对的．只有(2)是对的．只有(3)是对的．

答案：D3、一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2m/s，瞬时加速度a=−2m/s2，则1秒钟后质点的速度等于零等于−2m/s等于2m/s不能确定 答案：Dv(m/s)21O1122.5344.5t(s)4、一质点沿x轴作直线运动，其v−v(m/s)21O