13 第十五章 机械振动

第十五章机械振动

§1简谐振动§1.1引言§

1.2简谐振动的动力学特征§

1.3简谐振动的运动学特征§

1.4简谐振动的特征量§

1.5简谐振动的能量§

1.6其它几种常见的简谐振动

物体在某一确定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。1、什么是机械振动？§1.1引言机械振动最显著的两个特点：

(1)有平衡点

(2)具有重复性，即是周期性振动周期性振动

—在T时间内运动状态能完全重复非周期性振动

—在T时间内运动状态不能完全重复2、机械振动的分类按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动按振动位移分：角振动、线振动按系统参数特征分：线性、非线性振动简谐振动是最基本的复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加3、什么是简谐振动？位移是时间的余弦或正弦函数§1.2简谐振动的动力学特征弹簧振子：轻弹簧、振动质点平衡位置xo——线性回复力x简谐振动动力学方程

由牛顿第二定律

§1.3简谐振动的运动学特征解动力学方程

振子位移与时间的函数关系

A、

为积分常数，由初始条件确定

振子速度、加速度与时间的函数关系为

xa一物体作简谐振动，振动方程。在t=T/4（T为周期）时刻，物体的加速度为

§1.4简谐振动的特征量1、振幅A振幅给出了简谐振动物体的运动范围振幅的单位：m振幅是大于零的值谐振子离开平衡位置的最大位移的绝对值2、周期、频率和角频率周期T：物体的振动状态完全重复一次（作一次全振动）所需的时间周期的单位：s

物体在任意时刻t的位移和速度应该与时刻t+T的位移和速度相同角频率

：2

秒内全振动的次数频率

：单位时间内全振动的次数频率的单位：Hz（赫兹）角频率的单位：rad·s-1都是描述简谐振动周期性的物理量都是由系统本身的性质决定的，称为系统的固有周期、固有频率和固有角频率对于弹簧振子简谐振动的运动方程也可以用周期和频率来表示

怎样才能描述任一时刻简谐振动物体的运动状态？

在简谐振动的运动方程中，振幅A表明振动的幅度，频率ω表示振动的快慢，这两个量都是描写振动整体特性的物理量描述物体（质点）的运动状态位置速度3、相位相位是一个角量，它的单位是弧度（rad）相位每增加2π，振动状态就重复一次。相位相差2π或2π的整数倍，振子的运动状态相同因此确定，振子运动状态也唯一确定位移达到正最大值，速度为零处于平衡位置速度达到最大值，并指向x轴负向1）2）位移达到负最大值，速度为零处于平衡位置速度达到最大值，并指向x轴正向3）4）一个的特殊时刻——初始时刻（t=0）时的相位4、初相位

决定初始振动状态的物理量取值范围通常在

π~π之间对一个简谐振动来说，开始计时的时刻不同，初始状态就不同，因而初相位就不同决定了任意时刻振子的振动状态振幅A、角频率

和初相

：简谐振动的三个特征量角频率

:决定于系统的固有属性，与运动状态无关

A和

:由系统振动的初始条件确定初始条件（t=0）：位移为x0，速度为v0振幅和初相位的确定A图为用余弦函数表示的简谐振动曲线。则质点振动的初相位是A.

/2B.0C.3/2D.

物体在平衡位置时所受合力为零

mg

k

l=0例题1

一个轻弹簧竖直悬挂，下端挂一质量m=0.1kg的物体,平衡时可使弹簧伸长l=9.8

10

2m。今使物体在平衡位置获得v0=1m·s

1、方向向下的初速度，则物体将在竖直方向运动。（1）试证物体作简谐运动，并写出运动表达式；（2）求速度和加速度及其最大值；（3）求最大回复力。解

（1）取物体平衡时的位置为原点O，竖直向下为x

轴正方向。xolxol在任一位置x处，物体所受合力为

F=mg

k(l+x)

F=

k

xkl=mgxt=0时:x0=Acos

=0v0=

A

sin

=1m

s

1因为cos

=0，sin

0，所以只能取

简谐运动表达式为

xolx（2）物体的速度和加速度

速度的最大值:vm=

A=1(m

s

1）加速度的最大值:am=

2A=10（m

s

2）（3）最大回复力与最大位移相对应，其大小

Fm=|kxm|=m

2A=0.1

10=1（N）

由本例可知:

凡是运动系统除本身的回复力之外还有恒力作用时，该系统仍可作简谐运动，只要以振子所受合力为零的位置作为坐标原点。

类似的，在倾角为θ的光滑斜面上固定一弹簧振子，当该弹簧振子受一微小扰动而沿斜面的往复运动也是简谐振动例题2

已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。由图可见，A=2cm由此得到：解：设振动表达式02-2x(cm)t(s)

12当t=1s时，有02-2x(cm)t(s)

12已知某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动表达式；（2）与P点对应的相位；（3）到达P点相应位置所需的时间。§1.5简谐振动的能量

简谐振动的动能

简谐振动的势能

简谐振动的总能量能量简谐运动势能曲线弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。动能和势能相互转化。动能和势能都随时间作周期性变化，其周期是简谐振动x(t)的周期的一半系统的总能量与振幅的平方成正比能量特征例题3一水平放置的弹簧振子，质量为m，劲度系数为k。当它振动时，在什么位置动能和势能相等？解：即因此例题4

有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k=24N/m，重物质量m=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程解外力作的功就是弹簧振子的能量E振幅

角频率

物体的初始位置在平衡位置左侧的最大位移处，所以初相为π运动方程例题5劲度系数为k，质量为m0的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度v射入m0中，与之一起运动。选m、m0开始共同运动的时刻为

t=0，求物体的运动方程解子弹射入木块的过程，系统动量守恒子弹射入木块后系统的速度系统的初始动能（机械能）系统的振幅

系统的角频率

物体的初始位置在平衡位置处，且速度方向指向平衡位置左侧，所以初相位为π/2运动方程A一个劲度系数为k的弹簧所系物体质量为m0，物体在光滑的水平面上作振幅为A的简谐振动时，一质量为m的粘土从高度h处自由下落，正好在以下两种情形落在物体M上：(a)物体通过平衡位置时，(b)物体在最大位移处时。则振动的周期

(a)增大，(b)增大(a)增大，(b)减小(a)减小，(b)增大(a)减小，(b)减小(a)不变，(b)不变C一个劲度系数为k的弹簧所系物体质量为m0，物体在光滑的水平面上作振幅为A的简谐振动时，一质量为m的粘土从高度h处自由下落，正好在以下两种情形落在物体M上：(a)物体通过平衡位置时，(b)物体在最大位移处时。则振动的振幅

(a)增大，(b)减小(a)减小，(b)增大(a)减小，(b)不变(a)增大，(b)不变(a)不变，(b)不变§1.6

其它几种常见的简谐振动

1、单摆

一根长为l的不可伸缩的轻绳，上端固定，下端悬挂一质量为m可以看作质点的小球，这样的系统称为单摆轻绳在竖直位置O时，小球受到的合外力为零，小球处于平衡位置当小球受扰动后在竖直平面内绕平衡位置O来回摆动。

合外力的方向沿小球运动轨迹的切向并始终指向θ减小的方向

小球受到的合外力总是企图使小球回到平衡位置，起到回复力的作用小球沿切向的动力学方程在小角度振动的情况下（

<5o）令——简谐振动的动力学方程单摆的运动方程单摆的周期在一个单摆装置中，摆动物体是一个装有砂子的漏斗，当其摆动时，让砂子不断地从漏斗中连续漏出，则其摆动的周期将A.不变；B.增大；C.减小；D.先增大后减小D当复摆受扰动后在竖直平面内绕O轴来回摆动绕不通过质心C的水平转轴O摆动的刚体复摆的质量为m，对O轴的转动惯量为J，复摆质心C到转轴O的距离为l复摆处在竖直位置时，受到的合外力矩为零，复摆处于平衡位置2、复摆根据刚体转动定律合外力矩在小角度摆动的情况下（

<5

）令复摆的运动方程复摆的频率复摆的周期对给定的单摆或复摆（m、l、g和J都是确定的），在小角度摆动情况下，它们的周期和频率都是确定的，与初始条件无关，与摆幅的大小也无关，这个性质称为摆的等时性利用复摆的等时性，在已知m、l、g的情况下，还可测量物体绕定轴转动时的转动惯量J接通LC回路后，电容器的端电压始终等于自感线圈的自感电动势将电流代入上式3、无阻尼LC电磁振荡LC振荡回路中电能的变化规律LC振荡回路中磁能的变化规律LC振荡回路中总能量

§2简谐振动的旋转矢量表示法§2.1简谐振动的旋转矢量表示法§2.2旋转矢量法的应用§2.1简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的描述方法有三种解析法图线法旋转矢量法从原点做一个矢量，使它的模等于简谐振动的振幅A让该矢量在oxy平面内绕原点做逆时针方向的匀速转动，角速度与简谐振动的角频率ω相等1、旋转矢量的定义t=0：t时刻参考圆振幅矢量2、用旋转矢量表示简谐振动

当矢量A绕其一端点以角速度

旋转时，另一端点在x轴或y轴上的投影点将作简谐振动。

简谐振动的相位与振子运动状态的关系振子从正最大位移处向平衡位置运动振子从平衡位置向负最大位移处运动振子从负最大位移处向平衡位置运动振子从平衡位置向正最大位移处运动

根据t=0时质点的运动状态确定简谐振动的初相位1）2）且向x轴正方向运动4）且向x轴正方向运动3）且向x轴负方向运动练习：根据振动曲线，确定简谐振动初相位§2.2旋转矢量法的应用例题1

水平弹簧振子振幅A=2.0

10

2m，周期T=0.5s。当t=0时，（1）质点过x=1.0

10

2m处，向负方向运动；（2）质点过x=

1.0

10

2m处，向正方向运动。分别写出两种情况简谐振动的运动方程。解（1）根据题意，t=0时，x0=A/2，且v0

0，可得旋转矢量的初始位置。简谐振动的初相位

=2

/T=4

rad

S

1，A=2.0

10

2m简谐振动运动方程为（2）

xA(1)o(2)

用旋转矢量法研究相位差问题1、对同一个简谐振动的两个不同运动状态，比较它们的相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间同一个简谐振动的两个运动状态该简谐振动的这两运动状态相位差两运动状态间变化所需的时间从状态A变化到状态B所需时间？A、B状态的相位差所需时间C一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为A.T/12

B.T/8C.T/6

D.T/42、对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们的步调情况两个同频率的简谐振动两个同频率的简谐振动相位差：

两个同频率简谐运动在任意时刻的相位差都等于其初相位之差在旋转矢量图上表现为这两个旋转矢量和的夹角不随时间变化（k=0，

1，

2，

）

同相：——满足同相条件的两简谐运动的步调完全相同（k=0，

1，

2，

）反相：——满足反相条件的两简谐运动的步调完全相反超前：x2将先于x1到达各种振动状态落后：x2将落后x1到达各种振动状态两个振动方向相同、频率相等、振幅也相等的简谐振动，振动周期为5s，当t=0时第一个简谐振动在处并向x轴负向运动第二个简谐振动在处两简谐振动的相位差第二个简谐振动比第一个简谐振动超前图图图简谐振动的速度步调比位移超前，比加速度落后10000米长跑

如果某时刻AB两个运动员相差10m，A在前B在后。谁超前？B两个同周期简谐振动曲线如图所示．x1

的相位比x2

的相位A.落后

/2B.超前

/2C.落后

D.超前

15.3简谐振动的合成§3.1

同方向同频率的简谐振动合成§3.2

同方向不同频率的简谐振动合成拍

§3.3

垂直方向同频率的简谐振动合成

§3.4垂直方向不同频率的简谐振动合成

§3.1

同方向同频率的简谐振动合成1、合振动(代数法)其中令2、合振动(几何方法)xA1A2AxA1A2A3、相位差对合成结果的影响合振幅最大

合振幅最小

相互加强！相互削弱!归纳如下：B图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为3/2

/20两个同方向同频率的简谐振动：求它们的合振动的振幅和初相位。除了采用平行四边形法则对旋转矢量合成外，还可以采用三角形法则对旋转矢量合成三角形法则很容易推广到求多个同方向同频率简谐运动的合成4、多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动,合成仍为简谐运动例题1三个同方向、同频率和同振幅的简谐振动分别为x1=0.08cos(314t+

/6)m，x2=0.08cos(314t+

/2)m和x3=0.08cos(314t+5

/6)m。求:(1)合振动的圆频率、振幅、初相位及振动方程；(2)合振动由初位置运动到所需的最短时间（A为合振幅）

/6A1A2A3Aox解

(1)

t=0时刻的旋转矢量位置

=

/2合振动的初相位合振动的圆频率

=314rad

s

1合振动的运动方程

(2)合振动由初始位置(

=

/2)运动到的过程中，旋转矢量转过的角度

所需时间

/6A1A2A3AoxA例题2

N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相位分别为0，

，2

，···，依次差一个恒量

，振动表达式可写成求它们的合振动的振幅和初相位。

解：设合振动

CN

A1A2A3A4A5

MQPORRAx合振幅矢量A

的大小

在

OCP中

特例1各分振动的初相位相同，即

=0合振幅为最大值特例2

N个矢量依次相接构成一个闭合的多边形§3.2

同方向不同频率的简谐振动合成拍合振动

特例设两分振动的振幅和初相位都相等，当两分振动的频率都很大，且相差甚微时，合振动为(1)振幅变化部分合振动随时间周期性缓慢地变化。作角频率近于

1或

2的简谐振动(2)合振幅在0到2A范围内变化，忽强忽弱的现象称为拍(3)拍的频率：拍的周期T

合振动振幅变化的周期拍频显示拍现象的演示实验：取两个固有频率稍有差异的音叉，现用小锤敲击这两个音叉，由于两音叉的振动在空间叠加，会使我们听到时高时低的嗡嗡声，这种声音叫作“拍音”利用标准音叉可以校准钢琴，当钢琴发出的频率与音叉发出的标准频率有些微小差别时，叠加后就会产生拍音，调整到拍音消失，就校准了钢琴的一个琴键。复音口琴也是利用两个簧片振动频率的微小差别，产生出优美动听的颤音§3.3

垂直方向同频率的简谐振动合成作变换

上述两式平方后相加，得到

椭圆的具体形状由初相位差决定椭圆方程质点在椭圆上的运动方向：顺时针方向逆时针方向讨论：

（1）

2

1=0：同相——直线

t时刻质点离开平衡位置的距离为——振幅为的简谐振动（2）

2

1=

：反相——直线（3）

2-

1=/2：——正椭圆设某一时刻则

t后——质点在椭圆上顺时针旋转（4）2-1=-/2：——正椭圆质点在椭圆上逆时针旋转

A1=A2时椭圆变为圆例题3

一质点同时参与两个频率相同、振动方向相互垂直的谐振动，其振动方程分别为x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)已知A1

A2=4

3，

1=0，

2=3

/4，利用旋转矢量法绘出质点合成运动的轨道曲线。

xyx=A1cos

ty=A2cos(

t+3

/4)§3.4垂直方向不同频率的简谐振动合成

合成的振动一般是复杂的，运动轨迹不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。

如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨迹是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。若一个李萨如图形与一条水平线的最多交点数为nx

，与一条垂直线的最多交点数为ny，则nx与ny之比等于水平方向分振动周期Tx与垂直方向分振动周期Ty之比，即用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率15.4阻尼振动§4.1振动方程§4.2三种情形

振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反

质量为m的物体在弹性回复力和上述阻力作用下的动力学方程

固有角频率:阻尼因子:

:阻力系数§4.1振动方程解与

的大小有关，分为欠阻尼临界阻尼过阻尼欠阻尼1、

<

0

（欠阻尼）准周期振动准周期振动的角频率为

振动频率减慢，并且振幅随时间衰减

方程的解§4.2三种情形2、

=

0

（临界阻尼）C1、C2由初始条件确定刚刚不能做准周期振动，而很快回到平衡位置方程的解临界阻尼

=

0是从有周期性运动到无周期性的临界点3、

>

0

（过阻尼）无振动发生方程的解过阻尼C1、C2由初始条件确定例题一根长为l的不可伸长的轻绳，悬挂一个密度为

、半径为r的球构成一个单摆，在阻力系数为

的空气中作小角度摆动。已知作用于球的粘滞阻力F与球的速度v

的关系为F=

6

rv

。(1)写出此摆的运动微分方程；(2)求固有角频率

0；阻尼因子

和准周期T。解

（1）摆球在切线方向所受之力为粘滞阻力F=

6

rv，重力的切向分力T=

mgsin

mg

，式中

是摆线与竖直方向的夹角。（2）比较固有角频率、阻尼因子和准周期分别为

15.5受迫振动与共振

§5.1受迫阻尼振动§5.2共振

§5.3共振的危害与应用

§5.1

受迫阻尼振动加上周期性变化的力

数学:

常系数、二阶、线性、非齐次微分方程物理:物体受到三个力：阻尼力、回复力和驱动力；有两个频率：系统固有频率和驱动频率

<

0

时方程的解

通解特解第二项（特解）是系统在足够长时间后的定态解

定态解作等幅振动角频率就是强迫力的频率位移与驱动力的相位差

§5.2

共振振幅