4.3.5 全等三角形的应用 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学八年级上册4.3.5全等三角形的应用专项练习一、核心知识点梳理1.全等三角形的核心应用原理：利用全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质，将未知的线段长度、角度大小转化为已知条件求解。几何应用核心思想为转化思想，通过证明三角形全等，实现边角关系的等量转化，是几何解题的核心思路。2.四大判定定理选用原则：题目已知两边找夹角（SAS）、已知两角找夹边或对边（ASA、AAS）、已知三边用（SSS）。根据题干条件灵活选取判定定理，先证全等，再用全等性质解题，所有几何应用题型均遵循“先判定、后性质”的固定解题流程。3.常见几何应用场景：求解未知线段长度、证明线段相等、求解未知角度、证明角相等、证明线段平行、证明线段垂直、解决实际测量问题（测池塘宽度、河宽、不可到达距离等）。全等三角形是衔接基础计算与几何证明的关键工具。4.实际测量应用思路：对于无法直接测量的距离，通过构造全等三角形，将不可测量线段转化为可测量线段，利用全等对应边相等得出测量结果，原理简单、实用性强，是本节应用题的高频考点。二、本章高频易错点汇总1.解题顺序颠倒：未先证明三角形全等，直接使用对应边角相等结论，缺少核心推理步骤，证明逻辑不成立。2.定理选用混乱：不会根据题干条件匹配判定定理，强行套用定理导致条件不足，推理过程出错。3.等量转化失误：全等后找错对应边、对应角，导致未知量转化错误，计算结果偏差。4.实际模型不会构造：无法根据实际场景画出全等三角形模型，不能将实际问题转化为几何全等问题。三、同步专项练习题（一）选择题（每题5分，共20分）1.利用全等三角形解题的核心目的是（）A.美化图形B.转化边角等量关系C.随意证明D.仅用于画图2.已知△ABC≌△DEF，若AB=6cm，则DE的长为（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm3.可通过构造全等三角形测量的是（）A.池塘两端距离B.铅笔长度C.书本宽度D.课桌边长4.证明角相等最常用的间接方法是（）A.目测对比B.证明三角形全等，利用对应角相等C.随意猜测D.直接默认相等（二）填空题（每题6分，共24分）1.全等三角形的核心性质是对应边________、对应角________。2.几何应用解题固定步骤：先________，再利用性质求解。3.测量不可到达距离的原理是构造________，实现边长等量转化。4.若△ABC≌△MNP，∠B=55°，则∠MNP=________°。（三）解答题（共56分）1.（16分）已知：AB=AC，AD是BC中线，求证：∠B=∠C。2.（20分）如图，池塘两端为A、B，在地面取点O，使AO=CO，BO=DO，求证：AB=CD，可通过测量CD得到AB长度。3.（20分）已知AB∥CD，AB=CD，求证：AD=BC。四、参考答案与详细解析（一）选择题解析1.B解析：全等三角形的所有应用，本质都是利用边角等量转化，求解未知量或证明结论。2.B解析：全等三角形对应边相等，AB与DE为对应边，故DE=6cm。3.A解析：池塘两端距离无法直接测量，可构造全等三角形间接测量，其余均可直接测量。4.B解析：几何中证明角、线段相等，最严谨的间接方法就是证明三角形全等。（二）填空题解析1.相等；相等解析：全等三角形两大核心性质，是所有应用题型的基础。2.证明三角形全等解析：所有全等应用必须先证全等，再用性质，缺一不可。3.全等三角形解析：实际测量的核心模型，通过全等转化不可测量线段。4.55解析：对应角相等，精准匹配对应顶点即可得出角度。（三）解答题解析1.证明：∵AD是BC中线，∴BD=CD。在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知），BD=CD（已证），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。命题得证。2.证明：在△AOB和△COD中，∵AO=CO（已知），∠AOB=∠COD（对顶角相等），BO=DO（已知），∴△AOB≌△COD（SAS）。∴AB=CD（全等三角形对应边相等）。因此测量CD长度即可得到池塘AB的宽度。3.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。在△ABC和△CDA中，∵AB=CD（已知），∠BAC=∠DCA（已证），AC=CA（公共边），∴△ABC≌△CDA（SAS）。∴AD=BC（全等三角形对应边相等）。命题得证。五、专项总结本节是全等三角形章节的综合应用课，核心掌握“先证全等、后用性质”的解题模板，熟练根据题干条件灵活选用SSS、SAS、ASA、AAS四大判定定理。重点掌握全等三角形在边角计算、几何证明、实际测量中的三类核心应用，理解几何转化思想，学会将未知问题转化为已知全等模型求解。规避步骤颠倒、定理乱用、对应关系找错、不会构造测量模型等易错点。本节内容是初中几何从基础知识点向综合应用题过渡的关键，承接所有全等判定知识，是后续几何大题、综合推理、实际应用题型的核心基础，同学们需熟练掌握解题套路，规范书写步骤，全面吃透全等三角形知识体系。（全文1324字）湘教版（新教材）数学八年级上册4.3.5全等三角形的应用授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学习目标1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件2.能正确地利用相关条件判定三角形全等；

3.运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题.知识回顾如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.已知条件补充条件判定方法AC=DC，∠A=∠DSAS∠A=∠D，AB=DEASA∠A=∠D，AB=DEAASAC=DC，AB=DESSSAB=DE∠B=∠E∠ACB=∠DCEBC=EC推进新课在生活中，有时可以利用全等三角形的有关知识帮助我们解决一些实际问题.为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.，如图所示.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？解在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE

=CE，∠AEB=∠CED（对顶角相等），所以△AEB≌△CED（角边角）．

从而

AB=CD（全等三角形的对应边相等）.

即CD的长就是河的宽度.因此，小楠说得对.

D

返回2.

风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告：项目主题实物的测量与计算驱动问题如何测量风力发电基础底座的直径活动内容利用三角形全等的知识进行测量与计算活动过程如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径．①从点A处向正西方向步行4m到达点C处；②从点B处向正东方向步行4m到达点D处；③从点D处沿正南方向步行一定距离到达点E处，F为DE的中点；④从点E处沿正东方向步行16m到达点G处，此时C，F，G三点在一条直线上(1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长．【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE.因为F为DE的中点，所以DF＝EF.在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF，DF＝EF，∠CFD＝∠GFE，所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16m.因为AC＝BD＝4m，所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)．返回(2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据)【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可．小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动（如图所示），使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少.你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计）？例题8分析：只需要说明

AB

和CD

相等即可.解：如图，连接

AB，CD，所以△AOB≌△COD

（边角边），从而

AB=CD，即

AB

的长等于玻璃瓶的内径.由题意可知，OA=OB=OC=OD.在△AOB

和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么？例题9解如图，过点B作BF⊥AC，交AC于点F，则∠CFB=∠AFB=90°.又∠CFB=∠CAE=90°，所以FB∥AE，从而∠ABF=∠BAE.因为两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF=∠ABF.所以△CBF≌△ABF

（角边角），从而

CF=AF.又FA⊥AE，BE⊥AE，且AE∥FB，所以AF，EB是平行线AE与FB的公垂线段，故AF=EB，从而AC=2AF=2EB.因此，可以说甲楼高度是乙楼高度的2倍.在△CBF

和△ABF中，∠CBF=∠ABF，BF=BF，∠CFB=∠AFB，还有其他方法证明AF=EB吗？3．小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠近小球时，如图②，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离BD为10cm，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离CE为18cm，则在两次摆动中，点B和点C的高度差DE的长为________cm.84.

如图，为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端