5.2.3勾股定理的逆定理-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版八年级上册5.2.3勾股定理的逆定理专项练习一、核心知识点梳理1.勾股定理的逆定理内容：在一个三角形中，如果三角形的三边长a、b、c满足关系式a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角。该定理是判定直角三角形的重要方法，区别于根据角度判定的方式，可通过边长关系精准判定直角三角形。2.定理核心用途：勾股定理是“已知直角，求边长”，而逆定理是“已知边长，证直角、判定直角三角形”，二者互为逆定理，是几何解题中边角互推的核心工具，广泛用于三角形形状判断、几何证明、图形纠错判定。3.勾股数定义：能够满足a²+b²=c²的三个正整数，叫做勾股数。常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、12、15。勾股数的正整数倍仍然是勾股数，可快速用于解题判断。4.解题通用步骤：首先确定三角形三边中最长边，将最长边的平方与另外两边的平方和作对比；若相等，则为直角三角形，最长边对角为直角；若不相等，则不是直角三角形。5.重难点易错提醒：必须选取最长边的平方进行验证，不可随意代入边长计算；逆定理仅判定直角三角形，不能直接得出锐角、钝角三角形；非整数边长也可判定直角三角形，但不属于勾股数，注意区分概念。二、专项练习题（满分100分）（一）选择题（每题6分，共30分）1.下列各组边长，可以构成直角三角形的是（）A.2、3、4B.3、4、5C.4、5、6D.5、6、72.已知三角形三边长为5、12、13，则该三角形的直角在边长（）所对的位置A.5B.12C.13D.无法确定3.下列说法正确的是（）A.勾股数可以是小数B.满足a²+b²=c²的三角形是直角三角形C.所有三角形都能用逆定理判定形状D.最短边平方和等于长边平方即为直角三角形4.三角形三边长为6、8、10，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.下列各组数中，不是勾股数的是（）A.9、12、15B.7、24、25C.4、6、8D.5、12、13（二）填空题（每题6分，共30分）6.勾股定理的逆定理是通过________关系判定直角三角形。7.判定三角形是否为直角三角形，需先找出三边中的________边。8.三边长为9、40、41的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。9.满足勾股定理的三个正整数，称为________。10.若三角形三边a、b、c满足a²+b²=c²，则________边所对的角是直角。（三）解答题（每题20分，共40分）11.已知△ABC的三边长分别为8、15、17，求证：△ABC是直角三角形。12.一个三角形三边长为12、16、20，判断该三角形的形状，并求出它的面积。三、参考答案及解析选择题解析1.B解析：3²+4²=9+16=25=5²，满足勾股定理逆定理，可构成直角三角形，其余选项均不满足边长平方关系。2.C解析：判定直角三角形时，最长边为斜边，斜边所对的角为直角，13为最长边，故13所对的角为直角。3.B解析：勾股数必须是正整数，A错误；逆定理仅适用于三角形直角判定，C错误；需最短两边平方和等于最长边平方，D错误。4.B解析：6²+8²=36+64=100=10²，符合逆定理，该三角形为直角三角形。5.C解析：4²+6²=16+36=52≠64=8²，不满足勾股数条件，其余选项均为标准勾股数。填空题答案6.边长平方7.最长8.是9.勾股数10.c解答题解析11.证明：在△ABC中，最长边为17。∵8²+15²=64+225=289，17²=289，∴8²+15²=17²。根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形。12.解：该三角形为直角三角形。验证：最长边为20，12²+16²=144+256=400，20²=400，满足平方相等关系。直角三角形面积=两直角边乘积÷2=12×16÷2=96。答：该三角形是直角三角形，面积为96。练习总结：本节核心掌握勾股定理逆定理的判定逻辑，区分勾股定理与逆定理的正反应用。解题关键：锁定最长边，验证短边平方和与长边平方的等量关系。高频易错点为选错最长边、混淆勾股数与直角三角形边长、颠倒定理正反用法。熟练掌握常见勾股数，可快速秒杀基础题型，是后续几何证明、图形计算的重要基础。湘教版（新教材）数学八年级上册5.2.3勾股定理的逆定理授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/9/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章直角三角形怎么利用一个三角形的三边长判断它是直角三角形？推进新课我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.”它的逆命题是怎样的？条件：结论：一个三角形是直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方逆命题：如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.思考：这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？ACBabc△ABC≌△A′B′C′？

∠C是直角△ABC是直角三角形构造两直角边分别为a，b的Rt△A′B′C′分析：如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.ABCcbaA´B´C´ba在Rt△A´B´C´中，根据勾股定理得，A´B´2

=a2+b2，因为

a2+b2=c2,所以A´B´2=c2，即A´B´=c.在△ABC和△A´B´C´中,

BC=B´C´=a，AC=A´C´=b，AB=A´B´=c，所以△ABC≌△A´B´C´（边边边）因此∠C=∠C´=90°.所以△ABC是直角三角形.先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一.文字语言：几何语言：如果三角形的三条边a，b，c

满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.所以

△ABC是直角三角形.因为a2+b2=c2，在△ABC中，直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）：ACBabca、b

是直角边，c是斜边，∠C=90°.1.

下列四组数中，是勾股数的是(

)C

C

返回

BA.

锐角

B.

直角C.

钝角

D.

无法确定返回例4判断由线段a，

b，

c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.ACBabc△ABC是直角三角形a2+b2=c2分析

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.例4判断由线段a，

b，

c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.解：（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.∴这个三角形是直角三角形.（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴这个三角形不是直角三角形.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k

是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果

a，b，c是一组勾股数，那么

ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？随堂跟练解：3k，4k，5k

也是一组勾股数.∵(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2.如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck也是一组勾股数.∵a，b，c是勾股数，则

a2+b2=c2，(ak)2+(bk)2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2，(ck)2=c2k2，故(ak)2+(bk)2=(ck)2，∴ak，bk，ck

也是一组勾股数.例5如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长.解：在△ABD中，AB=10，BD=6，

AD=8，∵62+82=102，即AD2+BD2=AB2，∴△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°.∴∠ADC=180°－∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2