湖南省怀化市2027届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)

高三数学一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的模长为A． B．C． D．2．已知等差数列中，，，则公差A． B．C． D．3．已知集合，，则A． B．C． D．4．已知，，则A． B．C． D．5．在的展开式中，所有项的系数和为A． B．C． D．6．已知抛物线上两点，处的切线互相垂直，则A． B．C． D．7．《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓．现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）．若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为A． B．C． D．8．定义在上的“关联二次函数”满足，且，则A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A．的最小正周期为1B．的最小值为C．的图象关于直线对称D．的单调递增区间为10．已知，，，则A． B．C． D．11．已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点且平行于和的平面截四面体所得截面为四边形．则A．截面四边形面积的最大值为1B．三棱锥的体积的最大值为C．三棱锥的外接球半径的最小值为D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量服从正态分布，若，则=_________．13．双曲线的焦点坐标为_________．14．已知两平面向量，满足：，对任意的，有恒成立．若，，则的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（★）（13分）已知在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求的值；（2）已知平分且交于点，，求的最小值．16．（★）（15分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离．17．（15分）某市举办青少年科技创新知识竞赛，共设三个环节，依次为“基础理论”“实验操作”和“综合应用”．已知某选手通过三个环节的概率分别为，和，且各环节之间相互独立．每个环节通过得10分，未通过得0分，已知该选手三个环节全部参加．记为该选手的总得分．（1）求该选手恰好通过两个环节的概率；（2）求随机变量的分布列；（3）学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金200元，总分0分不获奖学金．记该学生获得的奖学金金额为元，求的数学期望．18．（17分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上关于坐标原点对称的两点，是椭圆上异于，的任意一点，直线，的斜率分别为，．证明：为定值；（3）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．19．（17分）已知函数，其中．（1）讨论函数的零点个数；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）证明：对任意正整数，都有．

高三数学一参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BCACDABCBDACACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）由正弦定理可知：， 1分在中，， 2分， 3分又中，， 4分即，， 5分，，即． 6分（2）由题意可知，， 7分， 9分， 10分由基本不等式可得，即，， 11分当且仅当时取等号．，，当且仅当时取等号． 12分，的最小值为． 13分16．【解析】（1）连接，因为是等边三角形，是的中点，所以． 1分又因为，，平面，，所以平面． 3分因为平面，所以． 4分因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面． 6分（2）法一：在菱形中，，由（1）得平面，所以平面． 7分在平面内，作于．因为平面，平面，所以． 9分又因为，，平面，，所以平面， 11分所以的长度为点到平面的距离． 12分在中，因为，，，所以，同理． 13分因为平面，平面，所以．在中，因为，所以边上的高．即点到平面的距离为． 15分法二：因为平面，平面，所以．由（1）得，，两两垂直，故以，，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 8分则，，， 9分，，． 10分设平面的法向量为，所以即 12分所以是平面的一个法向量． 13分所以点到平面的距离． 15分17．【解析】（1）设事件表示“第个环节通过”，则，，，且，，相互独立． 1分“恰好通过两个环节”包含三种互斥情况：通过第1，2个，未通过第3个：． 2分通过第1，3个，未通过第2个：． 3分通过第2，3个，未通过第1个：． 4分因此，恰好通过两个环节的总概率为． 5分（2）由题意易知，随机变量的所有可能取值为，，，． 6分①当时，三个环节均未通过：． 7分②当时，恰好通过一个环节，分为三种情况：仅通过第1个：．仅通过第2个：．仅通过第3个：．所以． 8分③当时，恰好通过两个环节，由（1）可知． 9分④当时，三个环节全部通过：． 10分综上，随机变量的分布列为： 11分（3）由题意，奖学金与总分的关系如下：当或时（总分），获得一等奖学金元；当时，获得二等奖学金元；当时，获得元．因此，随机变量的取值为，，， 12分对应概率为：，，． 13分所以的分布列为：0200500．故该学生获得奖学金金额的数学期望为402元． 15分18．【解析】（1）由离心率，得， 1分又，所以， 2分椭圆过点，代入椭圆方程得，将代入得，从而． 3分故椭圆的标准方程为． 4分（2）设，则．设，其中． 5分依题意：，， 6分， 7分由椭圆方程知：，， 8分代入得，，为定值． 10分（3）设直线，与椭圆：联立，得，即， 11分判别式，原点到直线的距离， 12分将代入得恒成立，设，，则弦长， 13分的面积， 14分令，则，令，变形得，当时，由基本不等式：，当且仅当，即时等号成立，此时，故， 15分当时，， 16分当直线斜率不存在时，由到直线的距离为可知，由对称性取，此时，，，综上可得，面积的最大值为． 17分19．【解析】（1）函数的定义域为，将函数变形得， 1分令，由于，故在上单调递增，其值域为． 2分于是原函数零点个数等于关于的函数在上的零点个数．则．①当时，，在上单调递增．若，则，无零点； 3分若，取，则，取，则，由零点存在定理，在上有唯一零点，结合单调性，共1个零点． 4分②当时，令得．当时；当时，故的极小值（最小值）为． 5分若，则，，函数无零点；若，则，函数恰有1个零点；若，则，结合时，，，此时；时，，且远远大于，此时，故函数有2个零点． 6分综上：或时，有1个零点；时，没有零点；时，有2个零点． 7分（2）由同构可知对任意恒成