江西省九江市武宁尚美中学2026-2027学年高二（上）开学考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江西省九江市武宁尚美中学高二（上）开学考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（）A.（0，2） B.（-2，0） C.（-2，+∞） D.（-∞，2）2.在以下命题中，正确的命题有（）A.是，共线的充要条件

B.若，则存在唯一的实数λ，使

C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面

D.已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得3.如图，三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=2，△ABC为正三角形，∠BSC=40°，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）

A.2 B.3 C.2 D.34.若tanβ=2tanα，，则sin（α-β）=（）A. B. C. D.5.在△ABC中，∠BAC=120°，D在BC边上，AD平分∠BAC.若AD=2，则AB+4AC的最小值是（）A.20 B.18 C.17 D.166.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对任意x∈R均有，且，f（x）在上单调递减，则φ的值为（）A. B. C. D.7.已知函数，现给出下列命题：

①当图象是一条连续不断的曲线时，则；

②当时，f（x）在R上是减函数；

③当时，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；

④当时，函数f（x）的值域为R.

其中正确的命题是（）A.①② B.②④ C.①③ D.③④8.词元调用量是指每次使用AI时，输入提问词元和AI输出回答词元的总消耗数量，是衡量AI使用规模，算力消耗、计费的核心指标.某AI数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为a,平均数为b,中位数为c,则a,b,c的大小关系是（）A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知随机事件A，B满足P（A）=0.3，P（B）=0.6，则（）A.P（A+B）=0.9 B.P（AB）≠0.18

C.若A⊆B，则P（A+B）=0.6 D.若A，B相互独立，则10.已知圆C：x2+y2+（m-2）x+2my+1-m=0，P为直线2x+y-8=0上一动点，PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，则（）A.圆心C的轨迹方程为2x-y-2=0

B.圆C过定点（1，0）

C.当m=2时，的最小值为15

D.当m=2时，四边形PACB的面积的最小值为11.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（1，0），动点C满足|CA|=2|CB|，则（）A.C的轨迹方程为x2+y2-4x=0 B.△ABC的面积最大值为3

C.∠CAB的最大值为 D.B到直线AC的距离最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量=（1，3），，，若⊥（2+），则m=

.13.已知log189=a,18b=5，则log7245=

.（用a,b表示）.14.已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知c=a（1+2cosB）.

（1）若，求角C的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.16.(本小题15分)

已知向量，，函数.

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）在锐角△ABC中，若且，求△ABC周长的取值范围.17.(本小题15分)

如图1，在△ABO中，∠AOB为直角，与BC相交于点M，连接OM，记.

（1）用表示向量；

（2）设，求m,n的值；

（3）如图2，过点M的直线与边OA、OB分别交于点E、F，设（λ，μ均为非零实数），求的值.18.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，AB=2，E，F分别是BC，PC的中点.

（1）若平面PAD与平面PBC的交线为l,判断直线BC与l的位置关系，并证明你的结论；

（2）求直线BC和平面PAD的距离；

（3）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值.19.(本小题17分)

设t＞0，函数y=f（x）的定义域为R.若对满足x2-x1≥t的任意x1，x2，均有f（x2）-f（x1）＞t,则称函数y=f（x）具有“P（t）性质”.

（1）在下述条件下，分别判断函数y=f（x）是否具有P（2）性质，并说明理由；

①；

②y=10sin2x；

（2）已知f（x）=ax3，且函数y=f（x）具有P（1）性质，求实数a的取值范围；

（3）证明：“函数y=f（x）-x为增函数”是“对任意t＞0，函数y=f（x）均具有P（t）性质”的充要条件.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】CD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】1

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为c=a（1+2cosB），由正弦定理得：sinC=sinA•（1+2cosB），

又A+B+C=π，所以sinC=sin（A+B），

所以sin（A+B）-2sinAcosB=sinA，得cosAsinB-sinAcosB=sinA，

所以sin（B-A）=sinA，则B-A=A或B-A+A=π（舍），

∴B=2A，

∵，∴，∴；

（2）由题意及（1）得，在△ABC中，B=2A，

由正弦定理得，，

∵△ABC为锐角三角形，

∴，解得：，

∴，

∴的取值范围为．

16.【答案】解：（1）∵，，

∴．

∴．

函数f（x）的最小正周期．

令，

解得，

即f（x）的单调递增区间为．

（2）∵，∴，即．

∵△ABC为锐角三角形，∴，则，

∴，得．

由正弦定理得，

∴b=2sinB，c=2sinC．

又，故．

∵△ABC为锐角三角形，∴，解得．

△ABC的周长，

∵，

∴

=

=．

∵，∴，

∴，

∴，

∴，即△ABC周长的取值范围为．

17.【答案】

18.【答案】解：（1）证明：l∥BC，理由如下：

因为底面ABCD为菱形，所以BC∥AD，又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l,

所以l∥BC；

（2）四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，

又E是BC的中点，所以AE⊥BC，

又因为BC∥AD，所以AE⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，

又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，由（1）可知BC∥平面PAD，

所以AE的长为直线BC和平面PAD的距离，

又因为△ABC为正三角形，且AB=2，

所以，

所以直线BC和平面PAD的距离为．

（3）H为PD上任意一点，连接AH，EH，

由（2）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，

在Rt△EHA中，，所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．

此时，所以，

又因为AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2，

又因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，，，

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，，

又，

在Rt△ESO中，，

所以二面角E-AF-C的余弦值为．

19.【答案】解：（1）①是，理由如下：因为对任意x2-x1≥2，

，符合定义；

因此，函数具有P（2）性质．

②不是，理由如下：

令，

f（x2）-f（x1）=10sin3π-10sinπ=0＜2，

故y=10sin2x不具有P（2）性质．

（2）显然a＞0，设x2-x1=m＞0，

则f（x2）-f（x1）=

=

=

=，

当时，取f（x2）-f（x1）最小值，

原问题等价于当m≥1时，恒成立，即恒成立，

由m≥1，可得，

所以a＞4，

所以实数a的取值范围为（4，+∞）；

（3）证明：充分性：

若函数y=f（x）-x为增函数，则对任意x2＞x1均有f（x2）-x2＞f（x1）-x1，

即f（x2）-f（x1）＞x2-x1，因此，对任意t＞0，若x2-x1≥t,

则f（x2）-f（x1）＞t,函数y=f（x）具有P（t）性质，充分性得证；

必要性：

若对任意t＞0，函数y=f（x）均具有P（t）性质，

假设函数y=f（x）-x不是增函数，则存在x2＞x1，满足f（x2）-x2＜f（x1）-x1，

即f（x2）-f（x1）＜x2-x1，而x2-x1＞0，

故存在t0＞