人教版数学八年级上册 13.3.1三角形的内角（练习题） 同步练习 含答案

分层作业13.3.1.1三角形的内角目录A组巩固过关 题型01已知两角求第三个角 题型02利用方程思想求解三角形的内角 题型03利用平行线求三角形内角度数 题型04利用三角板求三角形内角度数 题型05翻折问题中求三角形内角度数 题型06利用整体思想求三角形内角度数 题型07三角形内角和实际应用 题型08三角形内角和综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01已知两角求第三个角题型011．在△ABC中，∠A=60°,∠B=20°，则∠C的度数为（

）A．80° B．90° C．100° D．110°2.根据条件，在△ABC中，求∠A的度数：(1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________；(2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________；题型02利用方程思想求解三角形内角题型023.若一个三角形的三个内角的比为1:3:4，则此三角形的最大内角度数是（）A．97.5° B．90° C．80° D．67.5°4.(1)在△ABC中，∠A＝12∠B＝13∠C，求∠(2)在△ABC中，∠A=50°,∠A+∠B=∠C，求三角形内角度数题型03利用平行线求三角形内角度数题型035.如图，直线a∥b，∠1=50°,∠3=100°，则∠2的度数为（

）A．20° B．30° C．80° D．100°6.如图，直线a∥b，直角△ABC的顶点A在直线b上，已知∠B=90°，∠C=30°，边AC，BC与直线a分别相交于点D，E，若∠CED=50°，则∠1的度数为(A．30° B．40° C．50° D．60°7.如图，在△ABC中，∠C=70°，直线DE经过点A且DE∥BC，若∠DAB=30°，则∠BAC的度数为（

）A．70° B．80° C．90° D．100°题型04利用三角板求三角形内角度数题型048.如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（

）A．100° B．120° C．135° D．105°9.将一副三角板（∠E=30°）按如图方式摆放，使EF∥AB，则∠FPC=（

）A．105° B．115° C．75° D．90° 题型05翻折问题中求三角形内角度数题型0510.如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为（

）A．70° B．110° C．80° D．100°11.如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF=68°，则∠A的度数为（）A．68° B．72° C．79° D．82°12.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B'处，当B'D⊥BC时，则∠BAD=A．22° B．25° C．28° D．30°题型06利用整体思想求三角形内角度数题型0613.如图，∠ACO=30°，∠ABO=20°，∠A=50°，则∠BOC的度数为__________．14．如图，点E，D分别在AB，AC上．若∠B=30°，∠C=55°，则∠1+∠2的度数为_____________．15.在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∠BOC=128°，则∠A=_______．题型07三角形内角和实际应用题型0716.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线BO-OC，点O在点B的南偏东30°方向上，且∠BOC=51°．若要在点C恢复原设计的东西走向，必须保证∠OCD的度数为（

）A．110° B．111° C．119° D．120°17.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东60°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏东20°方向．(1)从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？(2)从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？题型08三角形内角和综合应用题型0818.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，∠CAB的平分线AE交BD于点E，∠AED=60°，∠ABC=40°，则∠C的度数是________．19.如图，△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E．若∠A=30°，∠ACB=80°，求∠CFB的度数．1．如图，在△ABC中，∠A=28°，∠B=50°，CD是△ABC的角平分线，则∠ACD的度数为（

）A．49° B．50° C．51° D．52°2．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是（

）A．40° B．43° C．46° D．54°3.如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是_____________4.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A=_5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为_________________________________________________________6.如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数；(2)若∠B=α，∠C=β，且α>β，直接写出∠AEC和∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）．7.如图1、2、3所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如图1所示，若∠ABC=42°，∠ACB=48°，则∠BPC的度数为．(2)如图1所示，如果∠A=80°，求∠BPC的度数；(3)如图2所示，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；(4)如图3所示，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请写出∠A的度数．1．【综合问题】如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且AF=FC，GH⊥CD于点H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④2．【分类讨论】如图，BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点F为边AB上一点，当△ADF为直角三角形时，∠BDF的度数为__________________．3．【整体思想】如图，∠ABE、∠ACE的角平分线BF、CF交于点F，已知∠BEC=130°,∠BAC=30°，则4．【新定义问题】新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则△ABC称为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A=90°，∠B=60°，则∠C=30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A=3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形(1)在△DEF中，若∠D=20°，∠E=60°，则∠F=______，△DEF为“______倍角三角形”．(2)如图，在△ABC中，∠C=44°，∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D．①求∠ADB的度数．②若△ABD为“4倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．1．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（

）A．70° B．45° C．35° D．50°2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为（

）A．65° B．75° C．85° D．95°3．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，这个三角形是______三角形

分层作业13.3.1.1三角形的内角目录A组巩固过关 题型01已知两角求第三个角 题型02利用方程思想求解三角形的内角 题型03利用平行线求三角形内角度数 题型04利用三角板求三角形内角度数 题型05翻折问题中求三角形内角度数 题型06利用整体思想求三角形内角度数 题型07三角形内角和实际应用 题型08三角形内角和综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01已知两角求第三个角题型011．在△ABC中，∠A=60°,∠B=20°，则∠C的度数为（

）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为180°，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得．【详解】解：在△ABC中，已知∠A=60°,∠B=20°，根据三角形内角和定理，得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-20°=100°，故选：C．2.根据条件，在△ABC中，求∠A的度数：(1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________；(2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________；【答案】(1)60°；(2)80°；(3)30°.【知识点】三角形内角和定理的应用【分析】根据三角形内角和定理计算即可．【详解】(1)∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－70°－50°＝60°；(2)∵∠C＝20°，∠A＝∠B，∴∠A＝12×(180°－20°)＝80°故答案为：(1)60°；(2)80°；【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．题型02利用方程思想求解三角形内角题型023.若一个三角形的三个内角的比为1:3:4，则此三角形的最大内角度数是（）A．97.5° B．90° C．80° D．67.5°【答案】B【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可．【详解】解：∵三角形的三个内角和为180°，设三个内角大小分别为：α、3α、4α，∴α+3α+4α=180°，解得α=22.5°，∴4α=4×22.5°=90°，∴此三角形的最大内角度数是90°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．4.(1)在△ABC中，∠A＝12∠B＝13∠C，求∠(2)在△ABC中，∠A=50°,∠A+∠B=∠C，求三角形内角度数【答案】30°.∠A=50°,∠B=40°,∠C=90°【知识点】三角形内角和定理的应用【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可．（2）本题主要考查三角形内角和定理的运用，掌握三角形内角和定理是关键．【详解】（1）∵∠A＝12∠B＝13∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝由三角形内角和定理，得∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，解得∠A＝30°.（2）解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴50°+∠B+50°+∠B=180°，解得，∠B=40°，∴∠C=50°+40°=90°，∴∠A=50°,∠B=40°,∠C=90°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．题型03利用平行线求三角形内角度数题型035.如图，直线a∥b，∠1=50°,∠3=100°，则∠2的度数为（

）A．20° B．30° C．80° D．100°【答案】B【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠4=50°，根据三角形内角和计算即可．【详解】解：如图，∵a∥∴∠1=∠4=50°，∵∠3=100°，∴∠2=180°-∠3-∠4=30°．6.如图，直线a∥b，直角△ABC的顶点A在直线b上，已知∠B=90°，∠C=30°，边AC，BC与直线a分别相交于点D，E，若∠CED=50°，则∠1的度数为(A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解∠CDE的度数，∠BAD的度数，再利用平行线的性质可求解．【详解】解：∵∠CED=50°，∠C=30°，∠CED+∠C+∠CDE=180°，∴∠CDE=180°-50°-30°=100°，∵∠B=90°，∴∠BAD=90°-∠C=90°-30°=60°，∵a∥∴∠1+∠BAD=∠CDE=100°，∴∠1=100°-60°=40°，故选：B．7.如图，在△ABC中，∠C=70°，直线DE经过点A且DE∥BC，若∠DAB=30°，则∠BAC的度数为（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠B=∠DAB=30°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°．故选：B．题型04利用三角板求三角形内角度数题型048.如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（

）A．100° B．120° C．135° D．105°【答案】D【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得∠C=30°，然后根据三角形内角和可进行求解．【详解】解：如图，由题意得：∠DEF=∠ABC=90°,∠C=30°,∠D=45°，∴DE∥BC，∴∠D=∠DGC=45°，∴∠1=180°-∠C-∠DGC=105°；故选D．9.将一副三角板（∠E=30°）按如图方式摆放，使EF∥AB，则∠FPC=（

）A．105° B．115° C．75° D．90°【答案】C【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据三角形内角和定理得到∠F=180°-90°-∠E=60°，然后由平行线的性质得到∠FCP=∠A=45°，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵∠E=30°∴∠F=180°-90°-∠E=60°∵EF∥AB∴∠FCP=∠A=45°∴∠FPC=180°-∠F-∠FCP=75°．故选：C． 题型05翻折问题中求三角形内角度数题型0510.如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为（

）A．70° B．110° C．80° D．100°【答案】B【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到∠BAC=110°，由折叠的性质得到∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADC=∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE=∠E=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵∠B=40°，∠C=30°，∴∠BAC=110°，由折叠的性质得，∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，∵DE∥AB，∴∠BAE=∠E=30°，∴∠CAD=40°，∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°，故选：B．11.如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF=68°，则∠A的度数为（）A．68° B．72° C．79° D．82°【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题【分析】由垂线的定义和平角的定义得到∠AEF=90°，∠ADE+∠FDE=112°，再由折叠的性质求出∠AED，【详解】解：∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°，∵∠BDF=68°，∴∠ADE+∠FDE=180°-∠BDF=112°，由折叠的性质可得∠AED=∠FED=12∠AEF=45°∴∠A=180°-∠AED-∠ADE=79°．12.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B'处，当B'D⊥BC时，则∠BAD=A．22° B．25° C．28° D．30°【答案】B【知识点】三角形折叠中的角度问题【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理，即可解答．【详解】解：由折叠得，∠ADB=∠ADB又∵B'∴∠B∴∠ADB=∠ADB∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-20°-135°=25°．题型06利用整体思想求三角形内角度数题型0613.如图，∠ACO=30°，∠ABO=20°，∠A=50°，则∠BOC的度数为__________．【答案】100°【知识点】三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．先求得∠ABC+∠ACB，根据∠ACO=30°，∠ABO=20°，可得∠OBC+∠OCB，即可求得∠BOC．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∵∠ACO=30°，∠ABO=20°，∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB-∠ACO+∠ABO∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB14．如图，点E，D分别在AB，AC上．若∠B=30°，∠C=55°，则∠1+∠2的度数为_____________．【答案】∠1+∠2=85°【知识点】三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟记三角形的内角和为180°．根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2=∠B+∠C，从而可求解．【详解】解：∵∠1+∠2+∠A=180°，∠B+∠C+∠A=180°，∴∠1+∠2=∠B+∠C，∵∠B=30°，∠C=55°，∴∠1+∠2=∠B+∠C=30°+55°=85°．15.在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∠BOC=128°，则∠A=_______．【答案】76°/76度【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可；【详解】解：如图，∵点O为∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC∵∠BOC=128°，∴∠OBC+∠OCB=180°-128°=52°．∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+∠OCB在△ABC中，根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠ABC+∠ACB题型07三角形内角和实际应用题型0716.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线BO-OC，点O在点B的南偏东30°方向上，且∠BOC=51°．若要在点C恢复原设计的东西走向，必须保证∠OCD的度数为（

）A．110° B．111° C．119° D．120°【答案】B【知识点】邻补角的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题【分析】延长AB交OC于点E，先求出∠EBO=60°，再根据三角形的内角和求出∠BEO=69°，进而由邻补角的定义，得到∠CEB=111°，继而推导出∠OCD=∠CEB=111°，即可解答．【详解】解：延长AB交OC于点E，如图∴∠EBO=90°-30°=60°，∵∠BOC=51°，∴∠BEO=180°-∠BOC-∠EBO=69°，∴∠CEB=180°-∠BEO=111°，∵点C恢复原设计的东西走向，即CD∥∴∠OCD=∠CEB=111°．17.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东60°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏东20°方向．(1)从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？(2)从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？【答案】(1)∠ABC=120°(2)∠ACB=【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．（1）根据DA∥BE可求出∠ABE=100°，结合∠CBE=20°可得出∠ABC=120°；（2）根据三角形内角和定理可求出∠ACB=40【详解】（1）解：根据题意，得∠DAC=60°，∠DAB=80°，∠EBC=20°，DA∥BE．∴∠DAB+∠EBA=180°．∴∠EBA=180°-∠DAB=180°-80°=100°，∴∠ABC=∠EBA+∠EBC=100°+20°=120°．（2）解：∵∠DAC=60°，∴∠BAC=∠DAB-∠DAC=80°-60°=20°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-20°-120°=40°．题型08三角形内角和综合应用题型0818.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，∠CAB的平分线AE交BD于点E，∠AED=60°，∠ABC=40°，则∠C的度数是________．【答案】80°/80度【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】先由垂线的定义得到∠ADE=90°，再由三角形内角和定理得到∠DAE=30°，则由角平分线的定义可得∠CAB=2∠CAE=60°，然后由三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°，∵∠AED=60°，∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=30°，∵AE是∠CAB的角平分线，∴∠CAB=2∠CAE=60°，∵∠ABC=40°，∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=80°．19.如图，△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E．若∠A=30°，∠ACB=80°，求∠CFB的度数．【答案】125°/125度【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠ABC和∠ACD的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出∠BCF,∠CBF的度数，进而求出∠CFB的度数即可.【详解】解：∵△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，∠A=30°，∠ACB=80°，∴∠ADC=90°,∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70°，∠CBF=1∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=20°，∴∠CFB=180°-∠BCD-∠CBF=125°.1．如图，在△ABC中，∠A=28°，∠B=50°，CD是△ABC的角平分线，则∠ACD的度数为（

）A．49° B．50° C．51° D．52°【答案】C【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：∵∠A=28°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-28°-50°=102°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=12．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是（

）A．40° B．43° C．46° D．54°【答案】A【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得∠BAC=80°，根据角平分线的定义可得∠BAD=40°，进而根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°，故选：A．3.如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是_____________【答案】40°或100°【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角．【详解】解：∵等腰三角形有一个角是40°，∴当40°为顶角时，顶角为40°；当40°为底角时，另一个底角也为40°，顶角为180°-40°-40°=100°．∴顶角为40°或100°，故选D．4.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A=_【答案】30°【知识点】三角形折叠中的角度问题【分析】根据平角的性质得到∠1+∠ADA1+∠AED+∠DEA1【详解】解：∵∠1+∠ADA1+∠AED+∠DEA∴∠ADA根据折叠的性质可得：∠ADE=1∴∠ADE+∠AED=1∴∠A=180°-∠ADE+∠AED=180°-150°=30°5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为_________________________________________________________【答案】三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、等腰三角形的性质和判定【分析】分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．【详解】解当底角为x°、顶角为(2x-20)°时，则根据三角形内角和为180°可得x+x+2x-20=180，解得x=50，此时三个内角分别为50°、50°、80°；当顶角为x°、底角为(2x-20)°时，则根据三角形内角和为180°可得x+2x-20+2x-20=180，解得x=44，此时三个内角分别为44°、68°、68°；当底角为x°、(2x-20)°时，则等腰三角形性质可得x=2x-20，解得x=20，此时三个内角分别为20°、20°、140°；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．6.如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数；(2)若∠B=α，∠C=β，且α>β，直接写出∠AEC和∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）．【答案】(1)∠AEC=110°，∠DAE=20°(2)∠AEC=90°+α-β2【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】（1）先利用三角形内角和求出∠BAC，结合角平分线定义得到∠CAE，再用内角和算出∠AEC；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC，最后作差得到∠DAE；（2）先用三角形内角和表示出∠BAC，结合角平分线得到∠CAE，代入内角和公式化简求出∠AEC；再由高线推出∠DAC，通过角度相减化简得到∠DAE的代数式．【详解】（1）解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=1在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-40°=110°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-30°=60°∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=60°-40°=20°；（2）解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=1在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-β-90°-∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-β∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=(90°-β)-90°-7.如图1、2、3所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如图1所示，若∠ABC=42°，∠ACB=48°，则∠BPC的度数为．(2)如图1所示，如果∠A=80°，求∠BPC的度数；(3)如图2所示，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；(4)如图3所示，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请写出∠A的度数．【答案】(1)135°(2)130°(3)∠Q=90°-(4)45°或60°或120°或135°【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形内角和定理进行计算；（2）根据已知条件和角平分线的性质，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出来，再利用∠A表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形内角和定理进行计算；（4）根据已知条件求出∠EBQ的度数，然后由（3）求出的∠Q，利用三角形内角和求出∠E，再分4种情况讨论，求出∠A的度数．【详解】（1）解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC=1∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=135°；（2）解：∵BP，CP分别是∠ABC和∴∠PBC=1∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=180°-=180°-=180°-=90°+=90°+=130°；（3）解：∵BQ，CQ分别是∴∠CBQ=12∠CBM∵∠CBM=∠A+∠ACB，∴∠CBQ=12∠A+∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q=180°，∴1∴∠A+1∴∠Q=90°-1（4）解：∵BP是∠ABC的角平分线，BQ是∠CBM的角平分线，∴∠PBC=1∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠PBC+∠CBQ=1∴∠QBE=∠PBC+∠CBQ=90°，由（3）知∠Q=90°-1∴∠E+∠Q=90°，∴∠E=1∵在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，∠QBE=90°，∴∠Q，∴分四种情况讨论：①∠Q=3∠E，∴90°-1∴2∠A=90°，∴∠A=45°；②∠QBE=3∠E，∴3×1∴∠A=60°；③∠QBE=3∠Q，∴390°-∴270°-1.5∠A=90°，∴∠A=120°，④∠E=3∠Q，∴390°-解之得：∠A=135°，综上可知：∠A的度数为45°或60°或120°或135°．1．【综合问题】如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且AF=FC，GH⊥CD于点H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A【知识点】角平分线的有关计算、与平行线有关的三角形内角和问题【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及∠EGH:∠ECH=2:7，得出∠ECH=180°×7【详解】解：∵AB∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，∴∠GAC+∠GCA=1∵∠GAC+∠GCA+∠AGC=180°∴∠AGC=90°，故①是正确的；②中，∵∠AGC=90°∴∠GAC+∠GCA=90°∴∠BAG=∠CGE故②是正确的；∵AF=CF，∴S故③是正确的；在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．又∠EGH:∠ECH=2:7，则∠EGH=180°×2故④是正确的．故选：A．2．【分类讨论】如图，BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点F为边AB上一点，当△ADF为直角三角形时，∠BDF的度数为__________________．【答案】15°或65°【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】分∠AFD=90°和∠ADF=90°两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABC=50°，∴∠ABD=∠CBD=1当∠AFD=90°时，∠BFD=90°，∴∠BDF=90°-∠ABD=90°-25°=65°；当∠ADF=90°时，∠CDF=90°，∵∠CBD=25°，∠ACB=80°，∴∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=180°-25°-80°=75°，∴∠BDF=∠CDF-∠BDC=90°-75°=15°综上，∠BDF的度数为15°或65°．3．【整体思想】如图，∠ABE、∠ACE的角平分线BF、CF交于点F，已知∠BEC=130°,∠BAC=30°，则【答案】80°【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】连接BC，根据三角形内角和为180°，在△BEC和△ABC中得出∠EBC+∠ECB=50°，∠ABC+∠ACB=150°，即可求出∠ABE+∠ACE，结合BF、CF是∠ABE、∠ACE的角平分线，求出∠FBE+∠FCE=50°，在【详解】解：如图，连接BC，在△BEC中，∠EBC+∠ECB+∠BEC=180°-∠BEC,∠BEC=130°，∴∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC=180°-130°=50°，在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠BAC=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-30°=150°，又∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠ACE+∠E