《电工技术》课件 项目6：动态电路的分析与测量

动态电路的分析与测量知识目标1.了解电路过渡过程的概念及其产生的原因。2.掌握电路发生过渡过程的条件。3.掌握换路定律，并能熟练计算动态电路的初始值。4..掌握一阶电路零输入、零状态、全响应，并能熟练应用。5.掌握一阶电路的三要素法，并能熟练应用。技能目标1.会识别直流稳压电源、方波信号发生器、电容箱、电阻箱等实验仪器。2.能识读电路图，并按图正确连接电路。会正确使用电压表、电流表读取实验数据。3.能使用示波器观察电路的方波响应。4.培养自主学习和团队合作的能力。换路定律及初始值的确定Part1电路的动态过程在日常生活中，任何车辆启动时，车速总是从零开始逐渐上升的，经过一段时间后，才能达到一定的运行状态。车辆的静止是一种稳定状态；车辆的匀速行驶是另一种稳定状态。车辆从启动到匀速运动或从匀速运动到停止的过程，或者更广泛地说，车辆加速或减速的过程，都是由一种稳定状态变化到另一种稳定状态的过渡过程。1.过渡过程稳态——在前面的直流电路和正弦交流电路中，所有响应或是恒定不变，或是按周期规律变化。电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。2.电路的两种状态暂态——在含有储能元件（电感、电容）的电路中，当电路的结构或是元件的参数发生改变时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态需要一个动态变化的中间过程，称为电路的动态过程或过渡过程。

图（a）：开关断开，灯泡随之熄灭。图（b）：开关断开，灯泡逐渐变暗，直至熄灭。在换路瞬间储能元件的能量不能跃变（1）电路中含有储能元件(内因)uC不能突变C储能L储能iL不能突变（2）电路的换路(外因)电路状态发生变化而产生的过渡过程叫换路。电路接通、切断、短路电路中的激励、参数发生突变（3）换路前后的两种稳态电路中，储能元件的电磁能量不相等。3.电路发生过渡过程的充要条件只有研究过渡过程，才能理解电路新的稳态是如何建立起来的，而且在正弦交流电的过渡过程中，可能产生比稳态时大的多的过电压和过电流，有可能损坏电气设备和引起故障，因此，也有必要研究过渡过程以防止故障的发生。在自动控制、自动调节电路中，有时候甚至一直在过渡过程中工作，研究过渡过程可以为设计、制造、选用和整定控制设备和保护装置提供理论依据。Part2换路定律设t=0瞬间发生换路，t=0-表示换路前的最后瞬间；t=0＋表示换路后的最初瞬间。在动态电路的换路瞬间，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变。该结论称为换路定律。换路前的稳态值或终了值换路后过渡过程开始的初始值定理内容换路定律▌核心结论在换路瞬间，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变。其物理本质是：电容储存的电场能和电感储存的磁场能不能发生突变。▌数学表达式设定：令t=0为换路瞬间，t=0_为换路前的终了时刻，t=0+为换路后的初始时刻。uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)1.换路瞬间，uC、

iL不能跃变，但其它电量均可跃变。2.若储能元件换路前没有储能,在t=0+等效电路中，可视为电容元件短路，电感元件开路。t=0-t=0＋t=0-t=0＋注意3.

若换路前有储能，在t=0+等效电路中，电容元件可用一电压为uC(0+)的理想电压源替代；电感元件可用一电流为iL(0+)的理想电流源替代。t=0-t=0＋t=0-t=0＋+

-+

-换路定律的重要推论换路定律揭示了电容电压与电感电流在换路瞬间的连续性1.适用范围限定换路定律仅适用于换路瞬间（即t=0-与t=0+时刻），是求解暂态初始值的核心依据。2.非状态量可跃变除电容电压和电感电流外，其余物理量如电容电流、电感电压、电阻的电压和电流均可发生突变。3.零初始储能电容若换路前电容未储能，则uC(0+)=0，在t=0+时刻可等效为短路。4.零初始储能电感若换路前电感未储能，则iL(0+)=0，在t=0+时刻可等效为开路。💡记忆口诀：零储能电容是短路，零储能电感是开路，此为暂态分析的黄金简化法则！Part3初始值的确定1.按换路前的电路求出换路前瞬间（t=0-）的电容电压uC（0-）和电感电流iL（0-）。2.由换路定律确定换路后瞬间（t=0+）的电容电压uC（0+）和电感电流iL（0+）。3.按换路后（t=0+）的电路，根据电路的基本定律求出换路后瞬间（t=0+）的各支路电流和各元件上的电压。求换路瞬时初始值的步骤Part4例题解析电路原为稳定状态，电容上未储能，已知US=4V，R=2Ω

，试求开关S闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流。iLCUS

R+-LuC

+-SiRiC解：设电压、电流的参考方向如图所示例1.求换路前的电容电压和电感电流t=0-时，电路已处于稳态，即电容开路，电感短路2.由换路定律可得iLCUS

R+-LuC

+-SiR3.开关S闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流SUSR+-iRiCiL得：电压源uc

(0+)电流源iL

(0+)用0V电压源（相当于短路）代替电容。用2A电流源代替电感。t=0＋一阶电路的零输入响应Part1引言：什么是零输入响应？当动态电路在换路后，所有独立源的激励都为零，仅由储能元件在换路前积累的初始储能引起的响应，称为零输入响应。响应本质解析零输入响应的本质是储能元件释放其所储存能量的物理过程。在此期间，原本储存在电容中的电场能量或电感中的磁场能量，会持续通过电路中的电阻元件进行放电，最终全部转化为热能形式消耗掉，使电路趋向静止。外部激励条件独立源激励为0能量转化路径电场能/磁场能→热能Part2RC电路的零输入响应物理过程：电容的放电📌电路模型(t<0)换路前开关S闭合，电容C已被电源充满电，电路处于稳态。此时电容相当于开路，其初始电压等于电源电压：uC(0-)=US⚡换路时刻(t=0)在t=0时刻，开关S断开，电路切断外部电源激励。电容与电阻形成一个独立的RC串联闭合回路，开始进入放电阶段。📉放电过程(t>0)无外部激励，电容C通过电阻R释放内部储存的电场能量。在此期间：•电容电压uC随时间逐渐衰减至0；

•回路放电电流i同步减小，直至能量耗尽。数学建模：建立微分方程▍第一步：应用基尔霍夫电压定律(KVL)针对t>0时的RC放电回路，根据KVL列写回路电压方程：uR+uC=0▍第二步：代入元件伏安关系电阻的伏安关系：uR=icR，电容的伏安关系：ic=C·(duC/dt)▍第三步：推导微分方程将上述伏安关系代入KVL方程，整理得到关于电容电压uC的微分方程：RC·(duC/dt)+uC=0(t>0)结论：这是一个一阶线性齐次常微分方程，是分析RC电路零输入响应的数学基础。求解过程波形分析Part3RL电路的零输入响应物理过程：电感的磁场能释放数学建模与求解过程Step1:KVL列方程根据基尔霍夫电压定律，对t>0时的RL放电回路列写方程：uR+uL=0Step2:元件关系结合电阻与电感的伏安关系：uR=iL·RuL=L·(diL/dt)Step3:建立微分方程将元件公式代入KVL方程，整理得到关于iL的一阶常微分方程：L/R·(diL/dt)+iL=0Step4:求解结果解该齐次微分方程，并代入初始条件，得到电感电流随时间变化的表达式：iL(t)=I0·e(-Rt/L)(t≥0)波形分析Part4时间常数(τ)时间常数的定义与物理意义▌定义●在RC电路中，时间常数τ定义为：τ=R·C●在RL电路中，时间常数τ定义为：τ=L/R▌物理意义❖衰减的时间尺度：时间常数τ决定了零输入响应衰减的快慢。τ越大，响应衰减越慢，过渡过程持续时间越长；τ越小，响应衰减越快。❖具体量化含义：经过一个时间常数τ后，响应将衰减到其初始值的36.8%。工程近似：“5τ原则”在工程上，通常认为经过(3~5)τ的时间后，过渡过程基本结束，电路进入新的稳态。一般采用5τ作为过渡过程的持续时间。此时，响应值已衰减到初始值的0.7%以下，误差极小，可以忽略不计。注意

引用时间常数的概念，主要是为了反映电路中过渡过程进程的快慢，时间常数越大，衰减越慢，过渡过程的时间也就越长。

因此，时间常数是表示过渡过程中电压、电流变化快慢的一个物理量，它与电路的初始状态无关，而仅与电路元件参数R、C有关。电容C越大，电容储能就越多；R越大，放电电流也就越小，这都使得放电过程变慢。

所以，改变电路中R和C的数值，就可以改变电路的时间常数，以控制电路过渡过程的快慢。一阶电路的零状态响应Part1引言：什么是零状态响应？零状态响应的定义零状态响应是指一个动态电路在换路前，所有储能元件均未储存能量（即电容的初始电压为零uC(0-)=0，电感的初始电流为零iL(0-)=0），仅由换路后施加的外部激励（独立源）所引起的响应。核心特征初始状态为零换路前储能元件无能量

电容电压、电感电流均为零由激励源驱动响应仅由换路后的

独立源等外部激励引起本质是储能过程电容从零开始充电

电感从零开始建立电流Part2RC电路的零状态响应物理过程：电容的充电📌电路模型(t<0)一个由直流电压源Uₛ、电阻R和电容C组成的串联电路。开关S在t=0时刻与1端闭合，且闭合前电容C未充电，处于零初始状态。⚡换路时刻(t=0)在t=0时刻，开关闭合瞬间，电容电压为零，相当于短路，回路电流达到最大值。📉放电过程(t>0)随后，电源通过电阻持续对电容充电，电容两端电压逐渐升高，回路电流逐渐减小。最终，电容电压上升至电源电压，回路电流衰减为零，电路进入新的直流稳态。数学建模与求解▌01.建立数学模型根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在开关闭合后t>0时，回路电压满足：uR+uC=Us将电阻、电容的伏安关系uR=iR和i=C(duC/dt)代入上式，可推导出描述电容电压变化规律的一阶线性非齐次常微分方程：RC·(duC/dt)+uC=Us数学建模与求解▌02.求解微分方程该方程的解由稳态解(特解)与暂态解(通解)两部分叠加而成：

•稳态解(特解)：电路达到稳态时的电容电压，即uC(∞)=Us

•暂态解(通解)：随时间衰减的指数项，形式为A·e-t/RC

•确定系数：利用初始条件uC(0+)=0，可解出系数A=-Us最终得到零状态响应表达式：uC(t)=Us·(1-e-t/RC)1波形分析2波形分析Part3RL电路的零状态响应电路模型与物理过程分析▍电路模型(RL串联电路)由直流电压源Uₛ、电阻R和电感L组成的串联电路系统。•初始状态(t<0)：开关S断开，电路未接通，电感L中无初始储能，即初始电流i(0-)=0。•换路时刻(t=0)：开关S瞬间闭合，电路接入直流电源，开始进入过渡过程。▍物理过程演变1.换路瞬间(t=0+)：电感电流不能突变，保持初始值i(0+)=0，此时电感相当于“开路”，其两端电压等于电源电压，达到最大值uL(0+)≈Uₛ。2.过渡过程(0<t<∞)：随着时间推移，电感中磁场逐渐建立，回路电流i(t)由0开始呈指数规律上升；电感的阻碍作用逐渐减弱，其端电压uL(t)呈指数规律衰减。3.新稳态(t→∞)：过渡过程结束，电感相当于“短路”，其端电压降为0，电路电流达到最大值并保持恒定：Iₛ=Uₛ/R。数学建模与求解01.建立微分方程根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在t>0时，回路电压平衡方程为：uR+uL=Us将电阻与电感的伏安关系代入，可推导出描述电感电流i(t)的一阶线性非齐次常微分方程：L/R.(di/dt)+i=Us/R02.求解方程与确定系数该方程的解由稳态分量（特解）和暂态分量（通解）叠加而成：•稳态解（特解）：电路达到新稳态后的电流值，即ip=Us/R•暂态解（通解）：随时间衰减的指数项，即ih=Ae(-Rt/L)利用换路后的初始条件i(0+)=0确定常数A，最终得到电感电流的零状态响应公式：i(t)=(Us/R)(1-e(-t/τ))，t≥0波形分析一阶电路的全响应及其分解Part1全响应的定义与分解全响应的定义当一个一阶电路在非零初始状态（即储能元件有初始储能）下，同时受到外部独立源激励时，电路中产生的响应称为全响应。全响应是电路最一般的工作状态，它综合了初始状态和外部激励的共同作用，反映了电路在“内部储能”与“外部驱动”双重因素下的真实行为。全响应的分解：基于叠加定理根据线性电路的叠加定理，全响应可以分解为两个独立部分的叠加，分别求解后再相加即可。▍零输入响应：

仅由电路中的初始储能（非零初始状态）引起的响应。在此情况下，电路的外部独立激励为零。▍零状态响应：仅由电路的外部激励引起的响应。在此情况下，电路的初始储能为零，即所有储能元件处于零状态。全响应=零输入响应+零状态响应波形分析一阶电路的三要素法目录CONTENT1三要素公式及使用条件2时间常数的求解3解题步骤及例题解析Part1三要素公式及使用条件一阶电路——除电压源（或电流源）及电阻元件外，只含一个独立的储能元件的电路。描述这类电路的微分方程是一阶常系数线性微分方程。零输入响应——电路的响应只由储能元件的初始值引起，没有外加电源作用。零状态响应——换路前电路中的储能元件均未储能，即电路的初始状态为零，换路后由外施激励在电路中引起的响应。一阶电路的全响应——一阶电路在非零初始状态和外施直流激励共同作用下的响应。1.经典法2.三要素法一阶电路暂态过程的求解方法如果将待求电压或电流用表示，三要素分析法的公式可概括为：f（0+）——初始值，根据换路定理求得f（∞）——换路后达到的稳态值τ——时间常数稳态值初始值时间常数u或i三要素①只适合一阶电路②外部激励必须为直流、阶跃或正弦交流信号说明使用条件Part2时间常数的求解时间常数τ的求解电路的时间常数τ只与电路的结构、电路的参数和元件类型有关，而与外加激励无关，同一电路只有一个时间常数。求解时间常数τ时，需注意：1.适合于换路后的一阶电路；2.的电路图要化为无源电路，就是将电路中的独立电压源和独立电流源的作用置零，即将独立电压源短路，独立电流源开路。3.RC：RL：

等效电阻其中的电阻Req是将电路中的独立电压源和独立电流源作用置零后，从储能元件两端看见去，求出的端口的输入电阻。t=0＋iCR1R2例Part3解题步骤及例题解析利用三要素求解一阶电路过渡过程的方法如下：（1）确定初始值

，利用本章第一节所述方法求解。（2）求稳态值

，根据时的稳态等效电路求解。当电路激励是直流量时，电路达到稳态后，电容元件相当于开路，电感元件相当于短路。（3）求时间常数

。（4）代入三要素公式，求取电路各响应。（1）求初始值根据换路定律有（2）求稳态值

当电路达到稳态时，电容C相当于开路，＝如图所示，已知

，，

，开关S未打开时，，在

时将S打开，试求电压的变换规律。例（4）将三要素代入公式中，求得（3）求时间常数在时的电路中，将电压源短路，把电容C断开，从其两端来看与串联后再与

并联组成等效电阻

，故求得时间常数为微分电路和积分电路目录CONTENT1微分电路2积分电路Part1微分电路CR+_+_+_（1）从电阻端取得输出信号（2）矩形脉冲波的宽度微分电路——输出电压与输入电压的微分成正比的RC电路。（一）条件t=0：电容充电，uC由零按指数