2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第31讲　第2课时　裂项相消法

第六章第31讲数列的求和数列第2课时裂项相消法题型突破·思维拓展目标1等差型裂项求和(1)求数列{an}的通项公式；1【解答】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝1也满足此式，所以{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．1【解答】(说明：考虑增加变式，需要适当放缩后完成裂项求和的问题！)【解答】【解答】目标2无理型裂项求和(1)求证：数列{S}是等差数列；2【解答】2【解答】目标3指数型裂项求和

(2025·佛山二模)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，ai和bi是下表第i行中的数(i＝1,2,3)，且a1，a2，a3中的任何两个数不在同一列，b1，b2，b3中的任何两个数也不在同一列．3

第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行5678第三行9101112(1)请问满足题意的数列{an}和{bn}各有多少个？写出它们的通项公式(无需说明理由)；【解答】

对于等差数列{an}，设公差为d，当a1＝1，a2＝6，a3＝11时，则d＝5，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4．当a1＝2，a2＝7，a3＝12时，则d＝5，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋5(n－1)＝5n－3．当a1＝3，a2＝6，a3＝9时，则d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．当a1＝4，a2＝7，a3＝10时，则d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝4＋3(n－1)＝3n＋1．综上，满足题意的数列{an}有4个，通项公式分别为an＝5n－4，an＝5n－3，an＝3n，an＝3n＋1．对于等比数列{bn}，设公比为q，当b1＝3，b2＝6，b3＝12时，则q＝2，所以bn＝b1qn－1＝3×2n－1．

(2025·佛山二模)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，ai和bi是下表第i行中的数(i＝1,2,3)，且a1，a2，a3中的任何两个数不在同一列，b1，b2，b3中的任何两个数也不在同一列．3

第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行5678第三行9101112(2)若{bn}的公比为整数，且a1＋b1＝6，数列{cn}满足anan＋1cn＋(an－3)bn＋1＝0，求{cn}的前n项和Sn．【解答】变式3

(2025·泰州一调节选)设数列{an}的前n项和为Sn,2Sn＝n2＋5n．(1)求{an}的通项公式；【解答】变式3

(2025·泰州一调节选)设数列{an}的前n项和为Sn,2Sn＝n2＋5n．【解答】目标4裂项为“＋”型已知数列{an}的前n项和为Sn，n为正整数，且3(Sn－n)＝4(an－2)．(1)证明数列{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；4【解答】

当n＝1时，3(a1－1)＝4(a1－2)，解得a1＝5；当n≥2时，由3(Sn－n)＝4(an－2)可得3(Sn－1－n＋1)＝4(an－1－2)，两式相减可得an＝4an－1－3，即an－1＝4(an－1－1)，所以数列{an－1}是以5－1＝4为首项，4为公比的等比数列，所以an－1＝4·4n－1＝4n，即an＝4n＋1．已知数列{an}的前n项和为Sn，n为正整数，且3(Sn－n)＝4(an－2)．4【解答】配套精练A组夯基精练【解析】D【解析】A【解析】

2(Sn＋1)＝3an，当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，2(Sn－1＋1)＝3an－1，两式相减得2an＝3an－3an－1，整理得an＝3an－1，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则an＝2·3n－1，Sn＝3n－1，【答案】A4．(多选)若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－2，数列{bn}满足bn＝log2an，则下列结论正确的有 (

)A．数列{an}是等差数列B．an＝2n【解析】【答案】BD【解析】106．(2025·济宁一模)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋1，b1＋b2＋…＋bn＝2n－1．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；【解答】又b1＋b2＋…＋bn＝2n－1，则若n＝1，可得b1＝1；若n≥2，则b1＋b2＋…＋bn－1＝2n－1－1，两式相减得bn＝2n－2n－1＝2n－1，且b1＝1符合上式，所以bn＝2n－1．6．(2025·济宁一模)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋1，b1＋b2＋…＋bn＝2n－1．【解答】已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，有________．(1)求{an}的通项公式；【解答】

由{an}的各项均为正数，知选条件①不符合题意．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1．当n＝1时，a1＝1满足上式．所以{an}的通项公式为an＝2n－1．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，有________．【解答】8．(2026·德州期初)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝4，a2＋a3＝8．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】

设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，因为a1＋a2＝4，a2＋a3＝8，所以a1＋a1＋d＝4，a1＋d＋a1＋2d＝8，所以2a1＋d＝4,2a1＋3d＝8，解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1．8．(2026·德州期初)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝4，a2＋a3＝8．【解答】B组能力提升练【解析】设数列{bn}的前n项和为Tn，b1＝tana2－tana1，b2＝tana3－tana2，…，bn＝tanan＋1－tanan，将这n个式子累加得Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝tanan＋1－tana1＝tanan＋1＝tan2n．8tan2n10．(2025·台州质检)已知数列{an}和{bn}满足a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋an(bn＋1)＝(2n－3)·2n＋1＋6，n∈N*，且a1＝b1＝1，bn＋1＝2bn＋1．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；【解答】

由bn＋1＝2bn＋1可得bn＋1＋1＝2(bn＋1)，且b1＋1＝2，所以数列{bn＋1}是首项和公比都为2的等比数列，所以bn＋1＝2·2n－1＝2n，故bn＝2n－1．由已知a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋an(bn＋1)＝(2n－3)·2n＋1＋6，可得2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝(2n－3)·2n＋1＋6①，当n≥2时，则有2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(2n－5)·2n＋6②，①－②得2nan＝(2n－1)·2n，解得an＝2n－