2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第23讲　平面向量的概念与线性运算

第五章第23讲平面向量的概念与线性运算平面向量与复数知识整合·体系建构【解析】D2．(教材经典题改编)(多选)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，则下列各式正确的是 (

)【解析】BD3．(教材经典题)当向量a，b满足____________时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．【解析】

当a，b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|；当a，b反向且|a|≤|b|时，|a＋b|＝|b|－|a|，所以当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．a，b反向【解析】5．(教材经典题改编)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则实数k＝_______．【解析】－91．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量零向量与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两个向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法

三角形法则

平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法

三角形法则a－b＝a＋(－b)向量运算法则(或几何意义)运算律数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ

a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_________．4．常用结论(1)对于任意两个向量a，b，都有|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)(平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系)．(2)向量三角不等式①||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b反向时，左边取等号；当且仅当a，b同向时，右边取等号)．②||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b同向时，左边取等号；当且仅当a，b反向时，右边取等号)．b＝λa题型突破·思维拓展目标1平面向量的概念

(多选)下列说法错误的是

(

)A．单位向量都相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等、方向相反的向量共线D．方向相反的非零向量可能相等1AD向量有关概念的关键点：(1)向量定义的关键是方向与长度；(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等；(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度；(5)零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量共线．变式1

(多选)下列说法正确的是

(

)A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0BCDD．若a＝b，b＝c，则a＝c目标2平面向量的线性运算视角1

向量加、减的几何意义【解析】2－1A．钝角三角形

B．直角三角形C．等腰三角形

D．等边三角形B【解析】2－1

(2)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|－|b|，则 (

)A．|a＋b|＞|b| B．|a－b|＜|a|C．|a＋b|＞|a－b| D．(a＋b)·(a－b)≥0

由|a＋b|＝|a|－|b|得|a＋b|2＝(|a|－|b|)2⇒a·b＝－|a||b|，因此可知a，b方向相反，且|a|≥|b|．对于A，|a＋b|＝|a|－|b|，由于|a|－|b|与|b|的关系不确定，故A错误；对于B，由于|a－b|＝|a|＋|b|＞|a|，故B错误；对于C，|a＋b|＝|a|－|b|，|a－b|＝|a|＋|b|，所以|a＋b|＜|a－b|，故C错误；对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2≥0，故D正确．D(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解．变式2－1

(教材经典题改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为_____，最小值为_____．【解析】

|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8．又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．82视角2

向量的线性运算【解析】2－2B【解析】A视角3

根据向量的线性运算求参数【解析】2－3A【解析】2－3C与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)求得相关参数的值．【解析】C目标3共线向量定理及其应用3【解析】B

(2)(2025·茂名二模)已知向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则实数λ＝ (

)A．3

B．－3【解析】3D(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0成立．若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．【解析】【答案】B【解析】D1．下列说法正确的是 (

)【解析】对于C，|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同或a与b中至少有一个为零向量，故C错误；对于D，若|a|＝|b|＝|c|，则向量a，b，c的模相等，但a，b，c的方向不确定，故D错误．B【解析】C3．已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝ (

)【解析】A4．(2026·泉州期初)一条河两岸平行，河的宽度为1.2km，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度大小为13km/h，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6min，则水流速度的大小为

(

)A．1.3km/h

B．5km/hC．10km/h

D．12km/h【解析】【答案】B配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．以下关于平面向量的说法正确的是

(

)A．若a＝b，则|a|＝|b|B．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a，b是共线的单位向量，则a＝bD．若a＝b，则a，b不是共线向量【解析】

对于A，若a＝b，则|a|＝|b|，故A正确；对于B，若b＝0，则a∥c不一定成立，故B错误；对于C，若a，b是共线的单位向量，则a＝b或a＝－b，故C错误；对于D，若a＝b，则a，b是共线向量，故D错误．A【解析】C【解析】A【解析】A【解析】【答案】C6．如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量a－b＝

(

)A．e1＋3e2

B．－e1＋3e2C．－3e1＋e2

D．3e1＋e2【解析】B【解析】B二、多项选择题8．关于平面向量a，b，c，下列说法中正确的是 (

)A．若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λaB．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C．若a·b＝a·c，则b＝cD．若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b【解析】

对于A，根据向量共线的充要条件可知A正确；对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量a与b不共线，可得a与b都是非零向量，故B正确；对于C，当a＝0时，a·b＝a·c恒成立，但b，c的关系不确定，故C错误；对于D，向量有方向，不能比较大小，故D错误．AB9．设a，b是两个非零向量，且|a＋b|＜|a|＋|b|，则下列结论正确的是 (

)A．|a－b|≤|a|＋|b|B．|a－b|＜|a＋b|C．a，b的夹角为钝角D．若存在实数λ使得a＝λb成立，则λ为负数【解析】

由|a＋b|＜|a|＋|b|知a，b反向共线或不共线．对于A，当a，b不共线时，根据向量减法的三角形法则知|a－b|＜|a|＋|b|．当a，b反向共线时，|a－b|＝|a|＋|b|，则|a－b|≤|a|＋|b|，故A正确；对于B，若a⊥b，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，此时|a＋b|和|a－b|是这个矩形的两条对角线长，则