2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第40讲　圆的方程

第八章第40讲圆的方程解析几何知识整合·体系建构1．(教材经典题改编)已知圆C以P1P2为直径，P1(4,9)，P2(6,3)，则下列各点在圆C外的是

(

)A．M(6,9)

B．N(3,3)C．Q(5,3)

D．R(4,4)【解析】B2．已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示圆，则k的取值范围是 (

)【解析】

因为x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示圆，所以D2＋E2－4F＝(－2)2－4(2＋k)＞0，解得k＜－1，故k的取值范围是(－∞，－1)．C3．(教材经典题改编)圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是

(

)A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y－3)2＝25C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25【解析】A4．(教材经典题改编)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1,1)和B(1,3)两点，则圆C的方程是_________________．【解析】(x－2)2＋y2＝105．(教材经典题改编)已知圆C经过点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为_________________；若D为圆C上任意一点，且点E(3,0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为_________________．【解析】1．圆的定义、方程定义平面内到________的距离等于________的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：__________半径：______一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：__________________圆心：______________半径：r＝________________定点定长(a，b)rD2＋E2－4F＞02．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；(2)若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．3．两个常用结论(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．(3)圆的三个性质①

圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②

圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③

两圆相切时，切点与两圆圆心共线．题型突破·思维拓展目标1圆的方程

(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是______________________．1【解析】【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝10【解析】1求圆的方程的两种方法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，求出D，E，F的值．变式1

(2025·临汾三模节选)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．问：经过A，B，C三点的圆是否经过定点(与m，n无关)?【解答】

因为二次函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象与x轴交于两点，所以m2－4n＞0，得4n＜m2，设A(x1,0)，B(x2，0)，则有x1＋x2＝－m，x1x2＝n，由二次函数f(x)＝x2＋mx＋n与y轴交于点C，得C(0，n)．又因为x1＋x2＝－m，x1x2＝n，解得D＝m，E＝－n－1，F＝n，故所求圆的方程为x2＋y2＋mx－(n＋1)y＋n＝0，即x(x＋m)＋(y－n)(y－1)＝0，所以当x＝0，y＝1时等式恒成立，故圆M恒过定点(0,1)．目标2相关点法求动点轨迹方程如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C是圆x2＋y2＝1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程．

2【解答】相关点法求动点的轨迹方程，只要寻找要求点与已知点之间的关系，代入已知点所满足的关系式即可．变式2已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解答】目标3与圆有关的最值和范围问题

(1)已知M(－1,2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________．3【解析】

如图，曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3,1)为圆心，1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1．

(2)(多选)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，下列说法正确的是 (

)3【解析】【答案】BD【解析】

因为直线l：ax＋y－2a－2＝0，所以直线恒过点(2，2)．由C：x2＋y2－4x－4y＝1可得圆C的圆心C(2，2)，半径r＝3，则直线l恒过圆心C．3与圆有关的最值问题的求解方法(1)圆上动点到定直线(与圆相离)距离的最值：圆心到直线的距离加上或减去半径．(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【解析】B微探究圆的参数方程已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的最小值为

(

)4【解析】【答案】D已知点是圆上的动点时，可以利用圆的参数方程设出点的坐标，将问题转化为三角函数问题，通过三角函数的最值(范围)来求解．变式4

(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是 (

)【解析】

方法一：由题意得实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝9，表示圆心为(2,1)，半径为3的圆．【答案】C1．(2025·福州一模)已知圆x2＋y2＋4mx－2my＋m＝0(m∈R)与x轴相切，则m＝

(

)【解析】D2．若点P在圆x2＋y2＝36上运动，它与点Q(4,0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 (

)A．(x－2)2＋y2＝9 B．(x＋2)2＋y2＝9C．x2＋(y－2)2＝9 D．x2＋(y＋2)2＝9【解析】因为动点P在圆上，所以(2x－4)2＋(2y)2＝36，则(x－2)2＋y2＝9，即点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝9．A3．已知P是过O(0,0)，M1(－1，3)，M2(－3，－1)三点的圆上的动点，则|PO|的最大值为 (

)C．5

D．20【解析】B4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,0)，B(1，0)，P为圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的动点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为 (

)A．34

B．40C．44

D．48【解析】

设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2＋2y2＋4x＋10＝2[(x＋1)2＋y2]＋8，即|PA|2＋|PB|2等价于点P到点Q(－1,0)的距离的平方的两倍加8．B配套精练一、单项选择题1．已知点A(－2,3)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋5＝0外，则实数m的取值范围是

(

)D2．设点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于 (

)【解析】C3．(2025·汕头一模)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为 (

)A．y＝－x－2

B．y＝－xC．y＝－x或y＝x＋2

D．y＝x＋2【解析】

圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，所以圆心为(－2，2)．D4．(2025·临汾二模)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋7＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为

(

)A．1

B．2C．3

D．4【解析】D【解析】D6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 (

)【解析】

因为P是x轴上的动点，所以|PM|的最小值为|PC1|－1，同理，|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4．A7．已知实数a，b满足a2＋b2＝a－b，则|a＋b－3|的最小值为 (

)【解析】B【解析】又D是圆C上的动点，故(m－3)2＋n2＝9，将(*)代入上式，可得(4－x－3)2＋(8－y)2＝9，整理得(x－1)2＋(y－8)2＝9，即为点M的轨迹方程．B二、多项选择题9．已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有(

)A．圆C过定点B．点(0,0)在圆C外C．直线4x－3y－3＝0平分圆周D．存在实数k，使圆与x轴相切ACD10．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．则下列结论正确的是(

)A．点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为2【解答】【答案】BCD

11．(2025·江门模拟)已知曲线Γ：x2＋y2－5＝|2y－2|，则 (

)A．曲线Γ关于y轴对称【解析】

对于A，令(x，y)是曲线Γ上的任意一点，即x2＋y2－5＝|2y－