2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第41讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

第八章第41讲直线与圆、圆与圆的位置关系解析几何知识整合·体系建构1．(教材经典题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是

(

)A．相切 B．相离C．相交过圆心 D．相交但直线不过圆心【解析】D【解析】B3．(教材经典题改编)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是 (

)A．圆C1与圆C2相交 B．圆C1与圆C2外切C．两圆的圆心距为5 D．两圆的圆心距为3【解析】BC【解析】＝05．已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝______．【解析】1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．方法位置关系

几何法代数法相交d______rΔ______0相切d______rΔ______0相离d______rΔ______0＜＞＝＝＞＜2．圆与圆的位置关系方法位置关系

几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离____________________解外切______________________实数解相交_____________________________________实数解内切d＝__________(r1≠r2)一组实数解内含0______d______|r1－r2|(r1≠r2)无解d＞r1＋r2无d＝r1＋r2一组|r1－r2|＜d＜r1＋r2两组不同的|r1－r2|≤＜3．几个常用结论(1)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2．(2)圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时，公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．题型突破·思维拓展目标1直线与圆的位置关系

(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是

(

)A．若点A在圆C上，则l与圆C相切B．若点A在圆C内，则l与圆C相离C．若点A在圆C外，则l与圆C相离D．若点A在直线l上，则l与圆C相切1【解析】【答案】ABD判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．A．(0,1)

B．(1,3) C．(3，＋∞)

D．(0，＋∞)【解析】B目标2圆的弦长、切线问题视角1

弦长问题【解析】2－1中任意一个皆可)弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．【解析】C【解析】综上，直线l的方程为x＝0或4x＋3y－3＝0．x＝0或4x＋3y－3＝0视角2

切线问题

(1)(2025·邯郸一模)(多选)已知直线l过点(2，1)，且与圆C：x2＋y2－2x＋2y－2＝0相切，则直线l的方程可能是

(

)A．y＝1 B．x＝2C．4x＋3y－11＝0 D．3x－4y＋3＝0【解析】

圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心C(1，－1)，半径r＝2，当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，点C到直线x＝2的距离为1，不符合题意．2－2AC

(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设过点(0，－2)且与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝ (

)2－2【解析】B求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．变式2－2

(2025·武汉一模)若过直线y＝－x＋1上任一点P向圆x2＋(y＋1)2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为 (

)【解析】C目标3圆与圆的位置关系

(1)(2025·景德镇期中)已知圆C1：x2＋y2－2ax－1＋a2＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，若存在实数a使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为_____．3【解析】

因为圆C1：(x－a)2＋y2＝1，所以圆心C1(a,0)，半径为1；因为圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2，所以圆心C2(1，－1)，半径为r．23【解析】变式3

(多选)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则

(

)A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2【解析】对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长取最大值2，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确．【答案】AD【解析】C2．(2026·南京期初)已知点A(－1,1)，B(3,3)，线段AB为圆M的一条直径．设过点C(2，－1)且与圆M相切的两条直线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝ (

)【解析】D3．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝6与圆C2：x2＋y2＋2x－a＝0相交于A，B两点，若S△C1AB＝2S△C2AB，则实数a的值可以是 (

)【解析】BD4．已知曲线C：x2＋(y－m)2＝2和C1：y＝x＋2，C2：y＝|x|＋2，若C与C1恰有一个公共点，则实数m＝________；若C与C2恰有两个公共点，则实数m的取值范围是_________________．【解析】配套精练A组夯基精练一、单项选择题A．直线l2过圆心CB．直线l2与圆C相交，但不过圆心C．直线l2与圆C相切D．直线l2与圆C无公共点【解析】【答案】B2．(2025·景德镇二模)已知圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0，且圆外有一点P(－3,0)，过点P作圆C的两条切线，且切点分别为A和B，则|AB|＝ (

)【解析】D3．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为

(

)【解析】C4．(2025·徐州2月调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线y＝x＋1的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2＝4上，则r的取值范围是

(

)A．(3，7)

B．[3，7]C．(3，＋∞)

D．[3，＋∞)【解析】由题意得，以C3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点，所以|r－2|≤|C2C3|≤r＋2，解得3≤r≤7．【答案】B【解析】【答案】D二、多项选择题6．(2026·益阳期初)在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，点P(2,1)在圆C上，则

(

)A．y轴与圆C可能相切B．直线x＋y＝0与圆C可能相交C．x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2【解析】

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，因为点P(2，1)在圆C上，则(2－a)2＋(1－b)2＝1．若a＝1，则b＝1，则圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，此时y轴与圆C相切，故A正确．【答案】AC7．(2025·广州二模)

瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4)，B(－1,2)，C(1,0)，其“欧拉线”为l，圆M：(x－a)2＋y2＝1，则

(

)A．过点A作圆M的切线，切点为P，则|AP|的最小值为4B．若直线l被圆M截得的弦长为2，则a＝－1D．存在a，使圆M上有三个点到l的距离为1【解析】对于D，由几何知识得圆上不可能有三个点到直线的距离均等于半径1，故D错误．【答案】BC

三、填空题【解析】9．(2025·石家庄二模)若圆M：(x－1)2＋(y－m)2＝25被直线3x－4y－7＝0所截得的弦长为10，过点P(－7,5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则|PA|＝_______．【解析】10．过点P(1,2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为______．【解析】15四、解答题11．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x－4y＋4＝0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；【解答】

设圆心C的坐标为(a，0)(a＞0)，则圆C的方程为(x－a)2＋y2＝