2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第25讲　平面向量数量积的应用

第五章第25讲平面向量数量积的应用平面向量与复数知识整合·体系建构1．(教材经典题)已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则|a|＝_____，|b|＝______，a·b＝_______．【解析】5－72．(教材经典题)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为

(

)A．30°

B．60°C．120°

D．150°【解析】C【解析】【解析】D【解析】1．向量的夹角[0，π]2．投影向量3．平面向量的数量积已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cosθ叫做向量a，b的数量积，记作a·b．4．平面向量数量积的性质(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a，e的夹角)；(2)a⊥b⇔a·b＝0；－|a||b|(5)|a·b|≤_________．|a||b|5．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)对任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．6．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝______________；x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0题型突破·思维拓展目标1平面向量的数量积运算1【解析】【答案】B

1【解析】【答案】D

(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题．(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解．变式1

(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝ (

)A．－2

B．－1C．1

D．2【解析】

因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2．D【解析】【答案】AC

目标2投影向量

(1)(2025·泉州期初)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为 (

)2【解析】B2【解析】【答案】D(1)向量a在b上的投影向量为|a|cosθ

e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其大小由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．【解析】B目标3数量积的应用视角1

向量的模长问题【解析】3－1

(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝ (

)【解析】3－1B【解析】A【解析】3－2【答案】D

(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________________．【解析】

由a＝(k,3)，b＝(1,4)，得2a－3b＝(2k－3，－6)．因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝4k－6－6＜0，解得k＜3．3－2(1)求平面向量的夹角的方法(2)两个非零向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|．(3)两个向量a与b的夹角为锐角(钝角)，则有a·b＞0(a·b＜0)，反之不一定成立．变式3－2

(2026·唐山期初)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，a－5b与2a＋3b垂直，则a与b的夹角为 (

)【解析】

易知(a－5b)·(2a＋3b)＝0，即2a2＋3a·b－10a·b－15b2＝0．又|a|＝2|b|，所以－7a·b－7|b|2＝0，即a·b＝－|b|2．C视角3

最值与范围3－3【解析】【答案】BCDA．[－5,3]

B．[－3,5]C．[－6,4]

D．[－4,6]【解析】【答案】D微探究极化恒等式与矩形恒等式4【解析】【答案】C【解析】4在处理数量积(范围)问题时，若发现题干有“共起点，定底边”的特征，我们就可尝试使用极化恒等式，找出中线．A．－32

B．－27 C．－18

D．－12【解析】B1．(2025·河南五市联考(一))若|a|＝2，|b|＝1，(a－b)⊥b，则向量a在向量b上的投影向量为 (

)【解析】D2．(2025·福州二模)已知|a|＝3，|b|＝2，(a－3b)·(a＋2b)＝－18，则a与b的夹角为

(

)A．45°

B．60°C．90°

D．120°【解析】B【解析】C【解析】【答案】A配套精练【解析】C【解析】C3．已知平面向量a＝(2，－2)，b＝(－1,3)，则向量a＋b在向量b上的投影向量为

(

)【解析】C4．(2025·沈阳三模)已知向量a，b满足|a|＝2，(a＋b)·b＝2，则|a＋2b|＝(

)A．12

B．10【解析】C【解析】DA．－8

B．8C．10

D．3【解析】B7【解析】【答案】C二、多项选择题8．(2025·厦门一模)已知平面向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则 (

)A．a，b不可能垂直B．a，b不可能共线C．|a＋b|不可能为5【解析】若向量a，b共线，则2cosθ－sinθ＝0，解得tanθ＝2，所以向量a，b可能共线，B错误；【答案】ACD【解析】

若m＝1，a－c＝(－1,1)，b＝(1,1)，所以(a－c)·b＝－1×1＋1×1＝0，所以(a－c)⊥b，故A正确．【答案】ACD【解析】【答案】AC【解析】412．(2025·武汉二模)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则向量a与向量b夹角的余弦值为__________．【解析】【解析】【解析】【解析】一、单项选择题1．(2025·佛山二模)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，若(ka＋b)⊥b，则实数k＝

(

)A．－2

B．－1C．1

D．2【解析】

因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以ka＋b＝(k＋1,1)．若(ka＋b)⊥b，则(ka＋b)·b＝0，所以(k＋1)×1＋1×1＝k＋2＝0，解得k＝－2．A【解析】【答案】B3．(2025·南京、盐城一模)已知a，b，c均为单位向量．若a＝b＋c，则b与c夹角的大小是 (

)【解析】【答案】C【解析】DA．为定值4

B