LU分解法数值实验报告MATLAB源码及运行结果

数值实验LU分解法的优点【实验目的】编写函数来实现矩阵的直接LU分解法,并利用它来解方程;总结matlab解线性方程组的常用命令用实例来展示命令的用法。【实验内容】给定矩阵A与向量b求A的LU分解利用A的LU分解解下列方程：=1\*GB3①A*x=b=2\*GB3②A2∗x=b=3\*GB3③A3∗x=b对第=3\*GB3③题分析一下，如果先求M=A3,再解M*相比有何缺点？利用A的LU分解法求A−1提示：的第k列为方程组之解。的准确解为：【解】：由Cholesky分解定理：设A是实对称正定矩阵，则存在唯一的可逆下三角矩阵L，使得。并且由矩阵乘法规则，可以推出实对称正定矩阵LU分解的简便计算方法(平方根法)：由可知：，进而由(i≥2)可知；当已求出时，由可知；当时，由可知，。【计算机求解】:流程图：输入方程阶数n,系数矩阵A,右端向量bK=1,…,n(分解A=L*U)uukk=0T输出失败信息，停k=F0Tlik=yk=bxk=输出x【Matlab程序如下】:functionUntitled()n=input('n');a=zeros(n,n);c=zeros(n,1);c(1)=1;fori=1:nforj=i:na(i,j)=n+1-j;a(j,i)=n+i-j;endendm=eye(n);forj=1:n-1ifabs(a(j,j))<epserror;endfori=j+1:nmult=a(i,j)/a(j,j);m(i,j)=mult;fork=j:na(i,k)=a(i,k)-mult*a(j,k);endendenddisp('L=');disp(m);disp('U=');disp(a);disp('LU=');disp(m*a);y=m\c;x=a\y;y1=m\x;x1=a\y1;y2=m\x1;x2=a\y2;disp('y=');disp(y);disp('x=');disp(x);disp('y1=');disp(y1);disp('x1=');disp(x1);disp('y2=');disp(y2);disp('x2=');disp(x2);%inv(A)=inv(U)*inv(L)disp('A的逆为：');disp(inv(a)*inv(m));【运行结果如下】（1）当n=5时，A的LU分解为：L=1.000000000.80001.00000000.60000.88891.0000000.40000.77780.87501.000000.20000.66670.75000.85711.0000U=5.00004.00003.00002.00001.000001.80001.60001.40001.2000001.77781.55561.33330001.75001.500000001.7143的解为：的解为：的解为：的逆为：0.5833-0.5000-0.00000.00000.0833-0.50001.0000-0.5000-0.00000.00000.0000-0.50001.0000-0.5000-0.0000-0.00000.0000-0.50001.0000-0.50000.0833-0.00000.0000-0.50000.5833（2）当n=10时，A的LU分解为：L=1.00000000000000.90001.0000000000000.80000.94741.000000000000.70000.89470.94441.00000000000.60000.84210.88890.94121.0000000000.50000.78950.83330.88240.93751.000000000.40000.73680.77780.82350.87500.93331.00000000.30000.68420.72220.76470.81250.86670.92861.0000000.20000.63160.66670.70590.75000.80000.85710.92311.000000.10000.57890.61110.64710.68750.73330.78570.84620.91671.0000U=10.00009.00008.00007.00006.00005.00004.00003.00002.00001.000001.90001.80001.70001.60001.50001.40001.30001.20001.1000001.89471.78951.68421.57891.47371.36841.26321.15790001.88891.77781.66671.55561.44441.33331.222200001.88241.76471.64711.52941.41181.2941000001.87501.75001.62501.50001.37500000001.86671.73331.60001.466700000001.85711.71431.5714000000001.84621.69230000000001.8333的解为：的解为： 的解为：的逆为：0.5455-0.5000-0.00000.0000-0.00000.00000.0000-0.00000.00000.0455-0.50001.0000-0.5000-0.00000.00000.0000-0.00000.00000.0000-0.0000-0.0000-0.50001.0000-0.50000.0000-0.00000.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.0000-0.50001.0000-0.50000.0000-0.00000.0000-0.00000.00000.0000-0.00000.0000-0.50001.0000-0.50000.0000-0.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.0000-0.0000-0.50001.0000-0.50000.00000.0000-0.0000-0.00000.0000-0.00000.00000.0000-0.50001.0000-0.50000.00000.00000.0000-0.0000-0.00000.0000-0.0000-0.0000-0.50001.0000-0.50000.0000-0.00000.00000.0000-