空间解析几何向量代数第一章课后习题详细解答含证明

第一章向量代数习题1.1试证向量加法的结合律，即对任意向量成立证明：作向量（如下图），则故设两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是证明：必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形，则充分性，作向量，由于所以点与重合，即三向量的终点与始点相连构成一个三角形。试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形三边的中点分别是（如下图），并且记，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是所以，故由上题结论得三角形的三中线可以构成一个三角形。用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。证明：如下图，梯形两腰中点分别为，记向量，则而向量与共线且同向，所以存在实数使得现在由于是的中点，所以且故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。试证命题1.1.2。证明：必要性，设共面，如果其中有两个是共线的，比如是，则线性相关，从而线性相关。现在设两两不共线，则向量可以在两个向量上的进行分解，即作以为对角线，邻边平行于的平行四边形，则存在实数使得，因而线性相关。充分性，设线性相关，则存在不全为零的数，使得。不妨设，则向量可以表示为向量的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量平行于由向量决定的平面，故共面。设是不共线的三点，它们决定一平面，则点在上的充要条件是存在唯一的数组使得其中，是任意一点。在内的充要条件是(*)与同时成立。证明：必要性，作如下示意图，连接并延长交直线于。则由三点共线，存在唯一的数组使得，并且。由三点共线，存在唯一的数组使得，并且。于是，设由，的唯一性知道的唯一性，则且。充分性，由已知条件有,得到，因而向量共面，即在决定的平面上。如果在内，则在线段内，在线段内，于是，则。如果（*）成立且，则有，这说明点在角内。同样可得到，这说明点在角内。故在内。在中，点分别在边与上，且与交于，试证证明：作如下示意图，由三点共线，存在使得，由三点共线，存在使得，由于有因而。由于向量不共线，所以，解此方程组得。由此得，。同理得到。故得用向量法证明的三条中线交于一点，并且对任意一点有证明：设分别是边的中点，则交于一点，连接。由三点共线，存在使，由三点共线，存在使，于是得，解得。从而有，然而，故，即三点共线，的三条中线交于一点。任取一点，由，得到，于是9.用向量法证明四面体的对棱中点连线交于一点，且对任意一点有证明：设四面体的棱的中点分别是，棱的中点分别是，如下图。则对棱中点连线为。则容易知道，，因此四边形是平行四边形，相交且交点是各线段的中点。同理也相交于各线段的中点，故交于一点。由以上结论知道，对任意一点，由是的中点，有，即10.设是正边形的顶点，是它的中心，试证证明：设，将正边形绕着中心旋转。一方面向量绕点旋转了角度而得到一个新的向量；另一方面，正边形绕着中心旋转后与原正边形重合，因而向量没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故证法2：由于是正边形的顶点，是它的中心，所以，其中。由三角不等式得到，故有。所以，由于，所以11.试证：三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得且其中，是任意取定的一点。证明：必要性，如果三点中至少有两点重合，比如重合，则，所以结论成立。如果互不重合，由例1.1.1知道三点共线的充要条件是存在数使得，令，则不全为零，有，。充分性，设且，则，，由于不全为零，以及点的任意性，可知不全为零，否则也为零。所以不妨设，则，因而三点共线。习题1.2给定直角坐标系，设，求分别关于平面，轴与原点的对称点的坐标。解：在直角坐标系下，点关于平面，轴与原点的对称点的坐标分别是，，。设平行四边形的对角线交于点，设在仿射标架下，求点的坐标以及向量的坐标。解：作如下示意图，因为是中点，所以=故在仿射标架下，点的坐标分别为所以向量在仿射标架下的坐标为3.设，求下列向量的坐标：（1）；（2）。解：（1）（2）4.判断下列各组的三个向量是否共面？能否将表示成的线性组合？若能表示，则写出表示式。（1）（2）（3）解：（1）设即则有该方程组只有零解所以三向量不共面。（2）设即则有该方程组等价于由此得到只要不为零，就不为零，所以三向量共面。取，则所以即可表示成的线性组合。（3）设即则有该方程组等价于方程组有非零解（2，1，0），所以三向量共面。由于只能为零，故不能表示成的线性组合。5.在中，设是边的三等分点，试用和表出与。6.设在一平面上取一个仿射标架，上三点共线当且仅当证明：三点共线当且仅当，即展开得展开行列式得故命题成立。7.在中，设分别是直线上的点，并且证明共线当且仅当证明：作如下示意图，由于分别是直线上的定比分点，所以。建仿射标架，由于；；。所以在仿射标架下的坐标分别为。根据上题的结论，共线当且仅当展开行列式即得到试证命题1.2.1。证明：取定标架，设向量（1）（2）（3）。习题1.31.设，求。解：由，得，所以2.已知，求。解：3.已知与垂直，与垂直，求。解：因为与垂直，与垂直，所以得到于是故4.证明：对任意向量都有当与不共线时，说明此等式的几何意义。证明：当与不共线时，此等式的几何意义是以与为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。5.下列等式是否正确？说明理由（习惯上把记为）。(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：（1）错误，因为左边表示向量，右边是数。（2）正确，因为。（3）错误，因为左边向量与共线，而右边向量与共线。（4）错误，因为。（5）错误，因为左边向量与共线，而右边向量与共线。（6）错误，因为与垂直。6.证明：三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。证明：设三角形的两条边的垂直平分线交于一点，为边的中点，以为始点，为终点的向量记为。则，由于是的垂直平分线，所以由此得到说明是的垂直平分线，即三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。7.证明：设不共面，如果向量满足则。证明：因为不共面，所以可设。则故。8.用几何方法证明：若都是实数，则有等号成立的充分必要条件是且分别同号。证明：设在直角坐标系下，向量则由三角不等式得，并且等号成立的条件是向量同向，将坐标代入就有等号成立的充分必要条件是且分别同号。习题1.41.设表示向量在与向量垂直的平面上的投影，则有。证明：由于表示向量在与向量垂直的平面上的投影（如下图），则由构成的平行四边形的面积与构成的矩形的面积相等，的方向相同，因而，。2.证明：。证明：，故。3.证明：若，,则与共线。证明：，故与共线。4.证明：,并说明其几何意义。证明：以为邻边的平行四边形的对角线构成的平行四边形的面积等于为邻边的平行四边形的面积的2倍。5.在直角坐标系中，已知，求与都垂直，且满足如下条件之一的向量：（1）为单位向量；（2），其中。解：因为向量与都垂直，所以可设，而。（1）因为为单位向量，所以，即故。（2）由，，得于是。6.用向量法证明：（1）三角形的正弦定理；（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，式中，为三角形的面积，其中为三角形三边的长。证明：（1）设角对应边表示的向量为，由向量外积的模的几何意义知道，于是，故。（2）。7.证明Jacobi恒等式。证明：由双重外积公式。8.设，求满足方程的点的轨迹。解：由外积的定义及外积模的几何意义，点的轨迹在与垂直的平面上，且与过点平行于的直线的距离为的直线，而且保持右手系。习题1.51.证明：。证明：如果共面，则。如果不共面，则，符合相同的右手或左手规则，因而有相同的符号，故。2.证明：不共面当且仅当不共面。证明：因为，所以。故不共面当且仅当不共面。3.在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为，，求它的体积。解：因为所以四面体的体积4.证明Lagrange恒等式。证明：。5.证明：。证明：因为，所以。6.证明：。证明：左边=右边。7.证明：对任意四个向量有。证明：因为，同理所以。8.证明：若与不共线，则与不共线。证明：因为与不共线，所以由于，因而与不共线。9.已知都是非零实数，向量的混合积，如果向量满足，求此向量。解：由条件得到，而且，因此可设，现在两边分别与作内积，则有，，故。10.设不共面，证明：任一向量可以表示成。证明：因为不共面，所以任一向量可以表示成。两边分别与向量作内积，得到因而。11.设不共面，设向量满足，那么有。证明：因为不共面，所以不共面，从而可设，两边分别与作内积，则有，于是。第二章直线与平面习题2.11.求通过两点和的直线方程。解：直线的方向向量为，所以直线的方程为2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。（1）过点；（2）过点和轴；（3）过点和，平行于轴；（4）过点，平行于平面。解：（1）平面的方位向量为，所以平面的参数方程平面的普通方程为即（2）平面的方位向量为，所以平面的参数方程因为过轴，所以也可选经过的点为，那么参数方程也可以写为平面的普通方程为即（3）平面的方位向量为，所以平面的参数方程平面的普通方程为即（4）平面的方位向量平行于平面，方位向量满足，因此可以选为。所以平面的参数方程平面的普通方程为即3.在直角坐标系中，求通过点并与平面和均垂直的平面方程。解：平面的法向量分别是，所求平面与均垂直，所以它的法向量与均垂直，因此平面的方程为即4.在直角坐标系中，求经过点，垂直于平面的平面方程。解：设平面的法向量为，则它与垂直，它又与平面的法向量，故所以所求平面的方程为即5.在直角坐标系中，设平面的方程为，其中。设此平面与三坐标轴分别交于，求三角形的面积和四面体的体积。解：由于，所以平面的三个截距分别为。因此四面体的体积为三角形的面积而所以6.设平面与连接两点和的线段相交于点，且，证明。证明：因为，所以由定比分点的坐标公式得到点的坐标将它们代入平面方程中得整理即得。习题2.21.求经过点，并且通过两平面与的交线的平面方程。解：经过交线的平面束方程为，其中不全为零。所求平面经过点，将它代入上式得到，可以取，因此平面的方程为2.判断下列各对平面的相关位置。（1）与；（2）与；（3）与。解：（1）平面的法向量分别是，它们不共线，所以两平面相交。（2）两平面的系数之比的关系为，所以两平面重合。（3）第二个平面的方程化为，所以两平面的系数之比的关系为，所以两平面平行。3.将下列直线的普通方程化为标准方程。（1）（2）解：（1）方程可写成所以标准方程为（2）标准方程为4.求通过点且与两平面均平行的直线方程。解：直线的方向向量与已知两平面均平行，所以得到于是直线的方程为5.判断下列各对直线的位置。（1）；（2）解：（1）直线经过点，方向向量是，直线经过点，方向向量是。混合积所以两直线异面。（2）直线方程可分别化为经过的点分别是方向向量分别是混合积且所以两直线异面且互相垂直。6.求直线与平面的交点。解：将直线方程代人平面方程得到所以，故交点为。7.求通过直线且与直线平行的平面方程。解：通过直线的平面方程可设为，由于平面与直线平行，所以，即，故平面方程为。8.在直角坐标系中，求直线在平面上的垂直投影直线的方程。解：垂直投影直线在过直线且垂直于平面的平面中，平面的方程为所以垂直投影直线方程是9.在仿射坐标系中，求过直线且在轴和轴上有相同的非零截距的平面方程。解：通过直线的平面方程可设为，由于平面在轴和轴上有相同的非零截距，所以，即，故平面方程为10.在中，设分别是直线上的点，并且。证明三线共点的充要条件是。证明：取仿射标架，则点的坐标分别是直线的方程分别为三线共点的充要条件是的交点在直线上。的交点为，将该点的坐标代人直线的方程中化简得到。11.用坐标法证明契维定理：若三角形的三边依次分割成，其中均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。证明：由于，由上题的结论知道三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。12.证明：如果直线与直线交于一点，那么。证明：由于两直线交于一点，所以方程组有解，则齐次方程组有解，由齐次线性方程组有解的条件得到。13.在直角坐标系中，给定点和，直线，设各为在上的垂足，求以及的坐标。解：为向量在直线的方向向量的方向上的分量，故过点作与直线垂直的平面，它的方程为，过点作与直线垂直的平面，它的方程为，将直线的参数方程分别代人，方程中，得所以14.求与三直线都相交的直线所产生的曲面的方程。解：与三直线都相交的直线设为，交点可设为，由于三点共线，所以，即有。直线的方程，即消去得到直线构成的曲面方程15.证明：包含直线，且平行于直线的平面方程为。若是之间的距离，证明。证明：包含直线的平面方程可设为，它的法向量为，它又与直线平行，此直线的方向向量是，所以，得到，于是平面方程为。直线的方向向量是，经过点。直线经过点，所以两直线的距离为，，因此，，故。习题2.31.在直角坐标系下，求下列直线方程。（1）过点且垂直于平面；（2）过点且与三坐标轴夹角相等。解：（1）直线的方向向量是平面的法向量，所以直线的方程为（2）设直线的方向向量是，由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以于是。因此直线有4条，方程为，，，。2.在直角坐标系中，求平面与面的夹角。解：平面的法向量为，面的法向量为，所以夹角的余弦为，夹角为或3.求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。解：设点到两平面的距离之比为。如果两平面平行，则选直角坐标系使得其中一个平面为面，另一个平面的方程为，于是，当时，得。当时，得如果两平面相交，则选两平面的角平分面为两坐标面和，则两平面的方程可设为，于是即4.证明：空间中满足条件的点位于中心在原点，顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为的八面体的内部。证明：条件等价于八个不等式：，这些点对于平面来说都在负侧，即包含原点的那一侧。故它们位于由八个平面构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为的八面体的内部。5.在仿射坐标系中，设，都不在平面上，且。证明：与在平面的同侧的充分必要条件是与同号。证明：（1）与平面平行的充要条件是即与同号。（2）如果与平面不平行，则设直线与平面相交于点，且。因而与在平面的同侧的充分必要条件是。因为，所以与同号。6.在直角坐标系中，求与平面平行且与它的距离为的平面方程。解：设点到平面的距离为，则因而所求平面的方程为7.求点到直线的距离。解：直线方程的标准形式为所以直线经过点，方向向量为，则，点到直线的距离为8.求下列各对直线之间的距离。（1）（2）（3）解：（1）两直线分别经过点，，方向向量分别是，因此两直线平行，它们的距离为一直线的某点到另一直线的距离，所以，它们的距离为（2）两直线分别经过点，，方向向量分别是，，所以它们异面，它们的距离为（3）两直线方程的标准形式可写为两直线分别经过点，，方向向量分别是，不平行，，所以它们相交，它们的距离为0。9.求下列各对直线的公垂线的方程。（1）与（3）与解：（1）两直线的方向向量是，所以公垂线的方向向量为。公垂线在过直线且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是。公垂线又在过直线且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是，因此公垂线的方程是（2）两直线方程的标准形式可为，，所以公垂线的方向向量为。公垂线在过直线且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是。公垂线又在过直线，且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是，因此公垂线的方程是10.求下列各对直线的夹角。（1）（2）解：（1）两直线的方向向量是，所以夹角满足因此夹角为。（2）两直线的方向向量是，所以夹角满足因此夹角为或11.求下列直线与平面的夹角。（1）（2）解：（1）直线的方向向量为，平面的法向量为，则，所以夹角满足因此夹角（2）直线的方向向量为，平面的法向量为，则，所以夹角满足因此夹角12.已知两条异面直线与，证明：连接上任一点和上任一点的线段的中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。证明：以公垂线为轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为面，两异面直线在面上的投影直线的角平分线为轴和轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方程可设为与其中是两直线的距离，。现在从两直线上分别任取一点，则它们的中点满足，这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。13.设在直角坐标系中，平面与的方程分别为和求由与构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点。解：角平分面上的点到两平面的距离相等，所以，由于该二面角内有点，且，所以在的负侧，在的正侧，因此角平分面上的点在的负侧，在的正侧，或在的正侧，在的负侧，所以角平分面上的点满足，整理得到14.证明：两异面直线，的公垂线段的长度就是，之间的距离。证明：以公垂线为轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为面，两异面直线在面上的投影直线的角平分线为轴和轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方程可设为与其中是两直线的距离即公垂线段的长度，。现在从两直线上分别任取一点，两点距离为即公垂线段的长度是最小的，因此两异面直线，的公垂线段的长度就是，之间的距离。二次曲线和二次曲面习题4.11.在直角坐标系中，以直线为新坐标系的轴，取通过且垂直于的直线为轴，写出点的坐标变换公式，并且求直线在新坐标系中的方程。解：直线的方向是，与它垂直的方向是，新坐标系的轴的坐标向量取为，轴坐标向量取为，与直线垂直且的直线方程可设为，由于过点，得到直线方程是，两直线的交点是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：直线在新坐标系中的方程：，化简有2.作直角坐标变换，已知点的新坐标分别为，求点的坐标变换公式。解：设同定向的点的坐标变换公式是：它的向量的坐标变换公式是：由题意知向量变为，于是有得到于是点的坐标变换公式是：将点及它的像点代入得到所以点的坐标变换公式是：设反定向的点的坐标变换公式是：它的向量的坐标变换公式是：由题意知向量变为，于是有得到于是点的坐标变换公式是：将点及它的像点代入得到所以点的坐标变换公式是：3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为其中，与分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角。解：（1）新坐标系的原点的旧坐标为代入公式中计算的结果，即。由点的坐标变换公式知道是同定向的，于是转角满足由于，所以（2）与上一问题同理，新坐标系的原点的旧坐标为。转角满足由于，所以4.在右手直角坐标系中，设两直线互相垂直，取为右手直角坐标系的轴，轴，试求到的点的坐标变换公式。解：由于两直线互相垂直，且为右手直角坐标系的轴，轴，即在右手直角坐标系下的方程为，所以当时，到的点的坐标变换公式：当时，到的点的坐标变换公式：5.设为四面体，依次是的三边的中点，取，。（1）求到点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式，再到求点（向量）的坐标变换公式。（2）求的坐标。解：（1）依题意有所以到点的过渡矩阵是，到点的坐标变换公式到点的向量的坐标变换公式其中分别是向量在仿射坐标系和下的坐标。由以上关系得到所以到点的过渡矩阵是，到点的坐标变换公式向量的坐标变换公式一样。（2）的坐标分别是，由到点和向量的坐标变换公式得到的坐标分别是。6.在右手直角坐标系中，已给三个互相垂直的平面。确定新的坐标系，使得分别为坐标面，且在新坐标系的第一卦限内，求到的点的坐标变换公式。解：由于三个平面分别为坐标面，所以坐标之间的关系可设为，又在新坐标系的第一卦限内，所以在新坐标系的三个坐标都为正，于是，故到的点的坐标变换公式7.在右手直角坐标系中，方程表示什么曲面？解：将方程进行配方，，由于平面两两垂直，所以将它们分别作为新坐标系的坐标平面，于是作坐标变换：将它们代入方程得到因此该方程表示双曲抛物面。8.已知，将绕右旋角度得，试用,,表示。解：如下图由于是单位向量，且所以绕右旋角度得到，三向量，，共面且有相同的模长，于是可表示为与的线性组合，即，分别与，作内积，得到，故9.将右手直角坐标系绕方向右旋，原点不动，得坐标系，求到的点的坐标变换公式。解：先考虑一个向量绕另一个向量右旋得到的向量的表达式，过的终点作垂直于的向量，绕右旋得到的向量，的终点就是的终点，于是而，，所以由此表达式绕方向右旋得到，所以坐标变换为。设与是两条不垂直的异面直线，分别通过和作两个互相垂直的平面，证明交线的轨迹是单叶双曲面。解：设异面直线的距离为，夹角为，建直角坐标系使得公垂线为轴，公垂线段的中点为坐标原点，两异面直线在坐标面上的投影的两角平分线为坐标轴，则两直线的方程可表示为通过和的平面束方程分别为：要使得两平面垂直，则有即于是相交直线的轨迹满足因而所以交线的轨迹是单叶双曲面。习题4.31.利用不变量求下列曲面的简化方程：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为即（2）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为（3）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为（4）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是特征根为于是，简化方程为（5）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为即2.证明：二次曲面为圆柱面的条件为。证明：用不变量表示的圆柱面的简化方程是，于是特征方程有两个相同的根，即有两个相同的根，因而3.求之值，使二次曲面表示二次锥面。解：二次锥面的不变量所以4.求出曲面方程的简化方程。解：设平面：两平面的法向量为如果两平面重合，则简化方程为，其中如果两平面平行不重合，则共线，令于是所以简化方程为如果两平面不平行，则以它们的角平分面为新坐标面建立新坐标系，单位法向量记为，因而角平分面的方程为它们的法向量分别是。前一个角平分面为面，后一个角平分面为面，因而令于是简化方程为5.证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充分必要条件是。证明：必要性，因为二次锥面的顶点为原点，且有三条互相垂直的直母线，所以选取该三条直母线为新坐标系（原点不变）的坐标轴，新坐标系下的方程变为：新坐标系下的点都在曲面上，应满足上述曲面的方程，因而得到，即不变量充分性，因为曲面是二次锥面，所以可以选取适当的直角坐标系使曲面的方程是且不变量其上选点即一直母线的方向向量，则由向量确定的直母线与直母线垂直。现在以这两条直母线为新坐标系的坐标轴轴，在此坐标系下的点在曲面上，所以曲面的方程为，由此可见点也在曲面上，它决定的直母线与直母线、都垂直，故曲面上有三条互相垂直的直母线。习题4.41.求下列曲面的中心（1）（2）（3）解：（1）曲面的中心满足此方程组有唯一解，即为中心。（2）曲面的中心满足它等价于表示中心在该直线上。（3）曲面的中心满足等价于，表示中心在此平面上。2.判断下列各二次曲面何者是中心曲面，何者是非中心曲面，并进一步区分是线心曲面、面心曲面还是无心曲面。（1）（2）（3）解：（1）曲面的矩阵，不变量曲面是中心曲面。（2）曲面的矩阵，不变量所以曲面是非中心曲面。曲面的中心满足方程组等价于即中心在一个平面上，所以是面心曲面。（3）曲面的矩阵，不变量曲面是非中心曲面，曲面中心满足方程组无解，所以曲面是无心曲面。3.求下列各二次曲面的渐近锥面：（1）（2）（3）解：（1）曲面的不变量所以曲面是中心曲面，有渐近锥面，曲面的中心为原点，故渐近锥面方程为（2）曲面的中心满足原点是它的唯一解，曲面是中心曲面，故渐近锥面方程为（3）曲面的不变量所以曲面是非中心曲面，因此没有渐近锥面。习题4.51.求下列二次曲面的奇向（1）（2）解：（1）曲面的不变量所以曲面没有奇向。（2）曲面的不变量所以曲面有奇向，奇向满足方程组等价于所以平行于平面的方向都是奇向。2.已知曲面，求与方向共轭的直径面方程。解：曲面的矩阵，与方向共轭的直径面方程，即。3.已知曲面，求过原点的直径面。解：曲面的矩阵，则与方向共轭的直径面是，因为经过原点，所以，即，代入直径面的方程中得到由此得直径面的方程4.求曲面的公共的直径面。解：因为有中心的曲面的直径面都要经过中心，所以求出曲面的中心就可以解决问题。与方向共轭的直径面方程。的中心满足方程组，即中心是，该中心应该在直径面上，所以，故公共的直径面方程是5.求下列二次曲面的主方向与主径面，并且求出直角坐标变换，写出简化方程。（1）（2）解：（1）曲面的矩阵，不变量特征方程是即特征根是简化方程是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是曲面的中心是，直角坐标变换是（2）曲面的矩阵，不变量特征方程是即特征根是简化方程是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是曲面的中心是，直角坐标变换是6.证明：过中心曲面的中心的任何平面都是直径面。证明：设中心曲面的中心为原点，则过曲面的中心的平面方程为：。因为中心曲面的不变量，所以与任何方向共轭的直径面均存在，可设为。由于，所以方程组有唯一解，即存在与方向共轭的直径面就是所给的平面。7.请写出二次曲线的弦、直径、奇向、共轭方向、共轭直径、对称轴、主轴与主方向的定义。解（略）8.证明定理。证明（略）9.证明定理。证明（略）10.求二次曲线的中心、主方向与主轴。解：二次曲线的中心满足方程组：有唯一解，这就是中心。二次曲线的矩阵，不变量特征方程：，所以特征根是特征根对应的主方向满足：所以主方向为相应的主轴是即特征根对应的主方向满足：所以主方向为相应的主轴是即11.已知曲线的一条直径与轴平行。求这条直径的方程，并求出它的共轭直径。解：曲线的矩阵是，不变量所以任何方向都有共轭的直径：与轴平行的直径应满足即，所以直径方程是，直径的方向是，与该直径共轭的直径是即通过两点和的二次曲线，以两直线为其一对共轭直径，求的方程。解：因为曲线关于直径在其共轭方向上具有对称性，所以如果以共轭直径为仿射坐标轴，则曲线的方程为，这相当于用仿射坐标变换的结果，因而曲线的方程可设为将点和代入上述方程，则有所以，故所求曲线的方程是习题4.61.写出下列二次曲面在已知点处的切平面和法线的方程：（1），点（2），点解：（1）点在曲面上，切平面方程是，即法线方程是（2）点不在曲面上，所以过点有曲面的切锥，切锥方程是即2.在曲面上求一点，使曲面在该点的切平面平行于某一坐标面。解：设切点是则切平面方程是（1）设切平面与平行，则有解得点是。（2）设切平面与平行，则有解得点是。（3）设切平面与平行，则有解得点是。3.求与两直线及相切的诸球面的中心轨迹，其中为已知实数。解：设球面的球心是，直线与球面的切点是，直线与球面的切点是。直线的参数方程，对应于切点，将参数方程代入球面方程中有，它有重根，则。同理，得到。两式中消去，有因此，球心轨迹满足方程4.给定球面，求（１）过点的切平面方程；（２）以为顶点的切锥面方程。解：（1）点在球面上，，因而切平面方程是即（2）所以以为顶点的切锥面方程是5.证明平面与二次曲面相切，并求出切点坐标。证明：设切点是，则切平面是假设该平面就是，则解得切点是，故平面是二次曲面的切平面。6.求平面与二次曲面相切的条件。解：设二次曲面的切平面的切点是，则切平面方程是，设它就是平面，于是有，即有因为在曲面上，故即7.求二次曲面上具有方向的切线的轨迹。解：设具有方向的直线与二次曲面相切，切点是。将切线方程代入曲面方程有即该方程的有重根，由于是切点，则于是因而现在从直线的方程中按上述关系消去，得到参数的关系：代入直线方程中，则有以下关系：由于满足曲面方程，所以这些切线的轨迹方程是正交变换和仿射变换习题5.1证明变换的乘法适合结合律，即证明：设，显然都是的变换，对任给，有因此从而求出平面上对直线的反射公式。解：在直角坐标系中，设点关于直线的对称点是，则的中点在直线上，且与直线垂直，因此有：得到即平面上对直线的反射公式：设平面上直线的方程，求平面对于直线的反射的公式。解：在直角坐标系中，设点关于直线的对称点是，则的中点在直线上，且与直线垂直，因此有：解此方程得到平面对于直线的反射的公式：设是平面上两条平行直线，而分别是平面对于直线的反射，证明是一个平移。证明：以为轴，建立直角坐标系，设的方程是：，则平面对于直线的反射是面对于直线的反射是设点，计算，的坐标是，的坐标是，于是的公式是，故是以向量的平移。设是平面的点变换，的公式为问点分别变成什么点，直线变成什么图形？解：将点分别代入的公式中得到。从变换公式中求出的表达式：将它代入直线中得到因此直线变成直线求平面的点变换

的逆变换。解：矩阵的逆矩阵是，用左乘点变换的两边得到：将记号与互换得到逆变换或将矩阵表示形式写成方程组的形式，解出用表示也可同样得到结论。在直角坐标系中，求出平面绕点旋转角的变换公式。解：设绕点旋转角后的点是，则因此于是平面绕点旋转角的变换公式是：证明：平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。证明：记平面绕原点旋转的集合为。恒等变换是绕原点旋转角度上0的旋转，所以恒等变换。设分别是绕原点转角是的旋转，则设，是，则所以绕原点转角是的旋转，即设分别是绕原点转角是的旋转，则转角为（或）的旋转就是的逆变换，因此。故平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。证明：平面上运动的集合是平面的一个变换群。证明：由于运动是旋转与平移的乘积，所以恒等变换也是运动。运动在直角坐标系下的表示公式是设是两个运动，则于是的表示公式是因此乘积也是运动。设运动的表示公式是则解出的表达式有：因此有逆变换故平面上运动的集合是平面的一个变换群。习题5.21.平面绕原点旋转，再平移，写出变换公式，并求出点。解：平面绕原点旋转的变换：平移的变换：先绕原点旋转，再平移，即为：于是点经此变换后的对应点的坐标是。2.求把点变成点的绕原点的旋转，并求出曲线经此旋转的对应曲线。解：设平面绕原点旋转的变换：由于将点变成点，所以解此方程得到，故变换是：即。曲线经此旋转的对应曲线方程是，即。3.设正交变换在直角坐标系Ⅰ中的公式为若作直角坐标变换求在新坐标系中的公式。解：点，在新坐标系中的坐标分别记为，，于是有以下关系：将它们代入变换公式中得到：两边左乘矩阵的逆，整理得到这就是变换在新坐标系中的公式。4.平面上的点变换把直角坐标系Ⅰ变到直角坐标系Ⅱ，并且使每一点在Ⅰ下的坐标与它的像在Ⅱ下的坐标相同，则是正交变换。证明：设直角坐标系Ⅰ为，直角坐标系Ⅱ为，并且则过渡矩阵是正交矩阵。再设在直角坐标系Ⅰ下，于是得到点变换在直角坐标系Ⅰ下的变换公式：故该点变换是正交变换。5.设平面上的点变换在直角坐标系下的公式为其中是正交矩阵，证明是正交变换。证明：设两点，的坐标，的坐标。则因为是正交矩阵，所以。两点的距离是故是正交变换。6.设和分别是平面上对于直线和的反射，设与交于点，且夹角为，证明：是绕点的旋转，转角为。证明：以直线为轴，点为坐标原点建立直角坐标系，设由于和分别是平面上对于直线和的反射，则且所以是绕点转角为的旋转。此题也可以用写出变换公式来证明，请读者试一试。习题5.31.求把三点分别变到点的仿射变换。解：设仿射变换是依题意得到，且即即解以上方程组得于是仿射变换是2.证明：在仿射变换下，两个不动点的连线上每一点都是不动点。证明：设是仿射变换的两个不动点，则设的连线上的任一点，满足则故与重合，即是不动点。3.求把三条直线依次变到的仿射变换的公式。解：两直线的交点是，的交点是；的交点是，的交点是；的交点是，的交点是。设仿射变换的公式是则，且即即解以上方程组得于是仿射变换是4.如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线。求仿射变换的不动直线。解：设不动直线是经仿射变换后直线的方程仍可化简为将仿射变换代入后一个方程，则有即于是存在关系：因而得到或若则故于是不动直线是若则得到于是不动直线是综上所述，仿射变换的不动直线有两条：5.椭圆经过仿射变换：化为，由此证明：椭圆的面积。证明：仿射变换的变积系数是设椭圆的面积是，圆的面积是，则故椭圆的面积6.设是平面上一个定点，如果平面上一个点变换把保持不变，且使平面上任一点变到，它们满足，其中，常数，则称是同位相似（或相似），称为位似中心，称为位似系数。（1）适当选取标架，求出位似的公式；（2）证明位似是仿射变换；（3）证明位似保持角度不变；（4）证明位似可以分解成某两个伸缩的乘积。解：（1）以为原点建立直角坐标系，设，由于，所以，即位似的公式（2）位似的变换矩阵是，由于常数，所以可逆，故位似是仿射变换。（3）设的夹角是，由于常数，所以经位似变换后的向量的夹角仍然是。（4）由于位似的变换矩阵，所以位似分解为两个伸缩的乘积。7.如果平面的一个点变换，使得对应线段的长度之比为一个正常数，则称为相似，称为相似系数。（1）证明相似是仿射变换；（2）证明相似把一个三角形变到一个与之相似的三角形；（3）证明相似可以分解成一个正交变换与一个位似的乘积。证明：建立直角坐标系，设点变换将不共线三点变成三点，由于点变换将对应线段的长度之比是一个正常数，所以三点不可能共线，否则，设依次共线，则有，于是，三点依次共线，与假设矛盾，故三点不可能共线。该点变换将共线三点变成共线三点，不妨设，则。于是点变换将直线变成直线。由以上结论得出点变换将三角形变成一个与之相似的三角形。（2）证明完毕。（1）设，则再设，，点变成。因而或。由于点变换将三角形变成一个与之相似的三角形，所以不妨假设，则有关系，因而得，，写成矩阵形式，于是得到点变换在直角坐标系下的表达形式或，故该点变换是仿射变换。（3）由于变换公式是所以它可以分解为正交变换，与位似变换的乘积。8.设平面的一个仿射变换使直线上的每一点都不动，证明：（1）直线与或者同时平行于，或者相交于上一点。（2）直线与彼此平行。证明：（1）如果与直线平行（不重合），而与不平行，设相交于点，由于仿射变换使直线上的每一点都不动，则点是不动点，也在上，这是不可能的，所以与平行。如果与直线相交，设交于点，则点是不动点，因而与相交于点。（2）如果与直线平行，在上取两点，则。由于仿射变换保持向量的线性关系不变，所以，得到故直线与彼此平行。如果与直线不平行，设相交于点，则与也相交于点。因此设由于仿射变换保持向量的线性关系不变，则三角形与三角形相似，从而直线与彼此平行。9.在题8中的，假如有一个点和它的像点的连线，这时称为错切，称为错切轴。证明：在适当选取的仿射坐标系中，错切的公式为并且证明错切不改变图形的面积。证明：以变换的不动直线为轴，直线为轴建立仿射坐标系，设，。显然，变换将原点变成原点，所以可设变换公式是变换将变成，将点变成，所以有我们得到故错切的公式为。由于变换矩阵的行列式等于1，所以错切不改变图形的面积。习题5.41.证明：椭圆的共轭直径与椭圆的交点处的切线构成的平行四边形的面积是常数。证明：以椭圆的中心为原点，长轴，短轴为轴和轴建立直角坐标系，设椭圆的方程为作仿射变换其变积系数是，则椭圆变成单位圆，同时将椭圆的共轭直径变成单位圆的共轭直径，单位圆的共轭直径是互相垂直的，交点处的切线构成的平行四边形变成正方形，其面积为4，所以交点处的切线构成的平行四边形的面积是为常数。2.证明：椭圆的任一外切平行四边形的两条对角线所在的直线是椭圆的一对共轭直径。证明：作一个仿射变换将椭圆变成单位圆，由于切线，平行线，共轭直径都是仿射不变的，并且圆的外切平行四边形就是正方形，而正方形的对角线是圆的互相垂直的共轭直径，因此椭圆的任一外切平行四边形的两条对角线是椭圆的一对共轭直径。3.证明：双曲线的切线与它的渐近线确定的三角形的面积是一个常数。证明：设在直角坐标系下，双曲线的方程为作仿射变换其变积系数是，则双曲线的方程变成轴和轴是双曲线的两条渐近线。双曲线上任何一点的切线方程是，截距分别是。所以切线与它的渐近线确定的三角形的面积说，故双曲线的切线与它的渐近线确定的三角形的面积是为常数。4.证明：双曲线的两条渐近线之间的切线段被切点等分。证明：设在直角坐标系下，双曲线的方程为作仿射变换则双曲线的方程变成轴和轴是双曲线的两条渐近线。双曲线上任何一点的切线方程是，它与坐标轴的交点分别是，它们的中点坐标是，所以双曲线的两条渐近线之间的切线段被切点等分。5.证明：所有内接于椭圆的四边形中面积最大的是以一对共轭直径和椭圆的交点为顶点的平行四边形。证明：作仿射变换将椭圆变成单位圆，由于圆的内接四边形中面积最大的是正方形，而对角线是一对互相垂直的共轭直径，所以经过仿射变换的逆变换得到内接于椭圆的四边形中面积最大的是以一对共轭直径和椭圆的交点为顶点的平行四边形。6.下列概念中哪些是图形的度量性质，哪些是仿射性质：（1）等边三角形，（2）平行四边形，（3）多边形，（4）三角形的中线，（5）三角形的高线，（6）圆的半径。解：图形的度量性质有：等边三角形，三角形的高线，圆的半径。图形的仿射性质有：平行四边形，多边形，三角形的中线。7.证明：如果平面的仿射变换将一个圆变成它自身，则是正交变换。证明：以圆的圆心为原点建立直角坐标系Ⅰ，由于平面的仿射变换将一个圆变成它自身，所以以为方向的共轭直径变成圆的共轭直径，向量变成互相垂直的单位向量，于是直角坐标系Ⅰ变成直角坐标系Ⅱ。由于仿射变换保持向量的线性关系不变，所以任何一点在Ⅰ中的坐标与像点在Ⅱ中的坐标相同。故这样的仿射变换就是正交变换。习题5.51.证明下述空间的点变换是第一类正交变换，并且求转轴。证明：因为变换矩阵的每一行的向量都是单位向量且两两之间是正交的，所以变换矩阵式正交矩阵。变换矩阵的行列式等于1，故该变换是第一类的正交变换。变换的两个不动点的连线就是转轴。显然原点是不动点，再求一个不动点，即解方程组解得，所以旋转轴方程是2.在直角坐标系中，求出把点分别变成点的正交变换公式。解：由于将原点变成原点，所以可设变换公式是其中变换矩阵是正交矩阵，将点代入得到解此方程组得到由于矩阵是正交矩阵，可得到所以所求正交变换是3.设是空间的第一类的正交变换，证明：对于空间的任意两个向量有（1）（2）证明：取一个右手直角坐标系，第一类正交变换将变成右手直角坐标系。设在右手直角坐标系的坐标为，则（1）。（2）由于，所以4.证明：空间中任给两组不共面的四点和，则存在唯一的仿射变换，把变成。证明：设在一个仿射标架下，设仿射变换将变成，则从而有，因为四点不共面和不共面，所以两个矩阵均可逆，并且唯一确定，其行列式不为0，故变换矩阵可逆。于是存在唯一的仿射变换，把变成。5.在仿射变换下，在不共线的3个不动点所在的平面上的每一点都是不动点。证明：设是仿射变换的三个不共线的不动点，在它们确定的平面内任取一点，则对任意的点成立：设则故6.求椭球面围成的区域的体积。解：作一个仿射变换：其变积系数是则椭球面变成单位球面，单位球面围成的区域的体积是故椭球面围成的区域的体积是7.证明：分别对于两个平行平面的反射变换的乘积是一个平移。证明：以其中一个平面为坐标面建立直角坐标系，则另一个平面方程设为。对于平面的反射为对于平面的反射为两个反射的乘积是这是一个平移。8.证明：分别对于两个相交平面的仿射变换的乘积是一个绕定直线的旋转。证明：以两平面的交线为轴，平面为坐标面建立直角坐标系，设两平面的夹角为。关于平面的反射记为，则反射的变换公式是反射的变换公式如下计算：的方程是，对任何一点，则，的中点在上，于是，即解得于是变换乘积的变换公式是由此看到的交线轴是变换乘积的不动点构成的直线，即旋转轴，绕旋转轴旋转的角度为两平面的夹角的2倍。平面射影几何简介习题6.11.设在扩大的欧氏平面上两点，求（1）直线在齐次坐标中的普通方程和参数方程；（2）直线上的无穷远点的齐次坐标和它所对应的参数值。解：（1）设直线方程为点在直线上，得解得故直线方程是参数方程是（2）令则故无穷远点的坐标是对应的参数值满足所以2.证明：扩大的欧氏平面上的三直线共点，并求该点的齐次坐标。证明：由于方程组的解为故仅有一个公共点所以三直线共点。3.在扩大的欧氏平面上，给出了的欧氏直线在仿射坐标中的方程，求由它确定的射影直线在齐次坐标中的方程，并求出它上面的无穷远点：（1）（2）（3）（4）解：将关系代入直线在仿射坐标中的方程中可得到相应的射影直线在齐次坐标中的方程，然后令就可得到无穷远点的坐标，所以（1）无穷远点的坐标是（2）无穷远点的坐标是（3）无穷远点的坐标是（4）无穷远点的坐标是习题6.21.证明：射影平面上若三点不共线，则三线不共点。证明：设不共线，则直线的参数方程：直线的参数方程：直线的参数方程：直线的齐次坐标是直线的齐次坐标是直线的齐次坐标是由于所以三线不共点。2.三角形的顶点分别在共点的三直线上移动，和分别通过定点和时，则也通过上的一个定点。证明：在上任取一点，连接交于，连接交于。设，与分别交于，则与满足Desargues定理的条件，得与的交点与共线，于是三点重合，故通过上的一定点。3.三角形的二顶点与分别在定直线上移动，三边分别通过共线的定点，试证顶点的轨迹是一条直线。证明：在定直线上取点作，使得过共线的定点，则与满足Desargues逆定理的条件，于是直线共点，则与定直线共点，即经