高考物理一轮复习讲义第47课时　专题15：电场中的功能关系和图像问题（教师版）

第47课时专题15：电场中的功能关系和图像问题对应学生用书P158【复习定位】1.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。2.掌握电场中的几种常见图像。考点一电场中的功能关系电场中常见的功能关系(1)若只有静电力做功，则电势能与动能之和保持不变。(2)若只有静电力和重力做功，则电势能、重力势能、动能之和保持不变。(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。(4)合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。【例1】(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中(D)A．动能减小，电势能增大B．动能增大，电势能增大C．动能减小，电势能减小D．动能增大，电势能减小解析根据题意，若小球的初速度方向沿虚线，其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知小球所受电场力方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的运动方向相同，则电场力对小球正功，小球的动能增大，电势能减小。故选D。【例2】(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(AD)A．OB的距离l＝eq\r(\f(\r(3)kq2,mg))B．OB的距离l＝eq\r(\f(\r(3)kq2,3mg))C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgsD．AC之间的电势差UAC＝－eq\f(mgs,2q)解析由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析，沿斜面方向有mgsin30°＝eq\f(kq2,l2)cos30°，解得l＝eq\r(\f(\r(3)kq2,mg))，故A正确，B错误；因为小滑块滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，设静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有W＋mgssin30°＝0，解得W＝－eq\f(mgs,2)，故C错误；根据电场力做功与电势差的关系可知，AC之间的电势差UAC＝eq\f(W,q)＝－eq\f(mgs,2q)，故D正确。1．如图所示，带正电小球A固定在绝缘天花板上，绝缘轻弹簧的下端固定在水平地面上，弹簧处于自由状态，现将与A完全相同的带正电小球B放在弹簧上端并由静止释放，若A、B球心和弹簧轴线始终在一条竖直线上，则小球B从释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法中正确的是(B)A．小球B速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零B．小球B的加速度先减小后增大C．小球B与弹簧组成的系统的机械能一定减小D．小球A与B组成的系统的电势能一定先减小后增大解析小球B向下运动的过程中受到重力、库仑力、弹簧的弹力作用，当弹簧的弹力、重力、库仑力的合力为0时，小球B的加速度为0，速度最大，故A错误；开始运动时，弹簧的弹力小于重力和库仑力之和，合力竖直向下，小球向下做加速运动，由于弹簧的弹力逐渐增大，库仑力减小，合力减小，加速度减小，当合力减小为0时，速度最大，之后弹簧的弹力大于重力与库仑力之和，合力竖直向上，小球向下做减速运动，弹簧的弹力逐渐增大，库仑力减小，合力竖直向上，加速度增大，因此小球B的加速度先减小后增大，故B正确；由于库仑力对小球B做正功，由功能关系可知，小球B与弹簧组成的系统的机械能一定增大，故C错误；库仑力对小球B做正功，小球A与B组成的系统的电势能一直减小，故D错误。2．如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为1.5J。下列说法中正确的是(D)A．粒子带负电B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5JC．粒子在A点的动能比在B点少0.5JD．粒子在A点的机械能比在B点少1.5J解析由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中电场力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5J，C错误；电场力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5J，D正确。考点二电场中的图像问题1．v-t图像(1)根据v-t图像中的速度变化、斜率变化确定电荷所受电场力的方向与大小的变化。(2)由电场力方向确定电场方向、电势高低及电势能变化。【例3】(多选)一带负电粒子仅在静电力的作用下从A点沿直线运动到B点，速度由v1变为v2，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(AC)A．A、B两点的电势关系为φA>φBB．A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏C．A、B两点的电场强度大小关系为EA>EBD．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面解析根据速度由v1变为v2，速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加，根据带电粒子在电场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则φA>φB，故A正确；电场线密集的位置等势面密集，电场强度更大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在v-t图像中斜率的绝对值更大，A处斜率的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系为EA>EB，A点附近的等势面要比B点附近的等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则静电力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误。2．φ-x图像(电场方向与x轴平行)(1)电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。(2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图)(3)电场中常见的φ-x图像①点电荷的φ-x图像(取无限远处电势为零)，如图。②两个等量异种点电荷连线上的φ-x图像，如图。③两个等量同种点电荷的φ-x图像，如图。【例4】(2025·八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(A)A．将在ad之间做周期性运动B．在d点的电势能大于在a点的电势能C．在b点与c点所受电场力方向相同D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点解析由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于在a点的电势能，故B错误；φ-x图像的斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知粒子在b点与在c点所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于在a点的电势能，则粒子在d点的动能与在a点的动能均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。3．E-x图像(电场方向与x轴平行)(1)E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。(2)E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。(3)电场中常见的E-x图像(沿x轴正方向为电场强度正方向)①点电荷的E-x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。②两个等量异种点电荷的E-x图像，如图。③两个等量正点电荷的E-x图像，如图。【例5】某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和x轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图所示，其中x1～x3间的图线关于x2点中心对称，规定x2点为电势零点，已知x2＝2x1＝2d，将一带电荷量为＋q的粒子从坐标原点由静止释放，不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到x3点的过程，下列说法正确的是(C)A．释放后粒子的加速度先不变后减小B．粒子到达x3点时的动能为eq\f(3,2)qdE0C．粒子经过的位置中O点电势一定最大D．粒子在x1和x3处速度达到最大值解析O～x1间，电场强度沿x轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿x轴正方向做匀加速直线运动；x1～x2间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；x2～x3间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故A、D错误。x1～x3间的图线关于x2点中心对称，则x1～x2间电场力对粒子做的正功数值上等于x2～x3间电场力对粒子做的负功，粒子到达x3点时的动能等于粒子到达x1时的动能，即Ek＝qdE0，故B错误；由题意知，x2点的电势为0，有φx1＝－φx3，φx1<φO，可知O点的电势最大，故C正确。4．Ep-x图像、Ek-x图像(1)Ep-x图像由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEp,Δx)，其绝对值表示静电力大小，正负代表静电力的方向。(2)Ek-x图像当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEk,Δx)，斜率表示静电力。【例6】(2025·河北唐山高三调研)一带正电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图所示，电场的电势用φ表示，电场强度用E表示，粒子的动能用Ek表示，则四个选项中合理的是(B)解析由带电粒子在电场中的运动规律知，带电粒子沿着电场线方向电势逐渐降低，逆着电场线方向电势逐渐升高，正电荷沿着电场线方向做正功，电势能逐渐减小，负电荷逆着电场线方向做正功，电势能逐渐减小，A错误，B正确；带正电粒子在电场中仅受静电力作用，则由ΔEp＝－F电Δx可知Ep-x图像切线斜率的绝对值表示电场力大小，根据题图可知，带电粒子受到的电场力逐渐减小，则电场强度随位移变化逐渐减小，C错误；根据动能定理可得Ek＝F电Δx，可知Ek-x图像的切线斜率表示电场力，由于电场力逐渐减小，则Ek-x图像的切线斜率逐渐减小，D错误。课时作业对应学生用书P399[基础过关]1．如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为(C)A．eq\f(mveq\o\al(2,0),2q) B．eq\f(3mveq\o\al(2,0),q)C．eq\f(2mveq\o\al(2,0),q) D．eq\f(3mveq\o\al(2,0),2q)解析粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有veq\o\al(2,0)＝2gh，电场力做正功，重力做负功，使粒子的动能由eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)变为2mveq\o\al(2,0)，则根据动能定理，有qU－mgh＝2mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，解得A、B两点电势差应为U＝eq\f(2mveq\o\al(2,0),q)，故C正确。2．(多选)如图所示，地面上固定一倾角为θ＝37°、高为h的光滑绝缘斜面，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E＝eq\f(\r(3)mg,q)，现将一个带正电的物块(可视为质点)从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，则下列说法正确的是(BD)A．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为eq\f(4\r(3),3)mghB．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为3mghC．物块落地的速度大小为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(8\r(3),3)))ghD．物块落地的速度大小为2eq\r(2gh)解析物块受到的电场力F＝qE＝eq\r(3)mg，则物块所受合力的大小为2mg，合力的方向和水平方向的夹角为30°，则物块沿合力方向做匀加速直线运动，不会沿着斜面下滑。物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为W＝qE·eq\r(3)h＝3mgh，设物块落地的速度大小为v，根据动能定理可得mgh＋qE·eq\r(3)h＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝2eq\r(2gh)，故A、C错误，B、D正确。3．(2024·湖南卷)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(D)解析根据点电荷周围某点处的电势公式φ＝keq\f(Q,r)，设x′处(x′>0)的电势为0，得keq\f(4q,1＋x′)＋keq\f(－q,x′)＝0，解得x′＝eq\f(1,3)，故可知当0<x<eq\f(1,3)时，φ<0；当x>eq\f(1,3)时，φ>0。故选D。4．如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电，位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L。现有一带电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受静电力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是(B)A．Q1∶Q2＝4∶9B．b点的电场强度一定为零C．a点的电势比b点的电势高D．粒子在a点的电势能比在b点的电势能小解析由题图可知，粒子在b点之前做加速运动，b点之后做减速运动，可知在b点加速度为0，由于粒子只受静电力，所以b点电场强度为0，且Q2带负电，因此keq\f(Q1,req\o\al(2,1))－keq\f(Q2,req\o\al(2,2))＝0，解得Q1∶Q2＝9∶4，故A错误，B正确；因为Q1带正电、Q2带负电，所以在ab段电场线方向由b指向a，沿电场线方向电势逐渐降低，故a点的电势比b点的电势低，故C错误；粒子从a到b过程中在做加速运动，故静电力做正功，电势能在减小，所以粒子在a点的电势能比在b点的电势能大，故D错误。5．(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随x变化的关系如图所示，其中0～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是(ACD)A．0～x1段电势逐渐升高B．0～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动C．x1～x2段电场强度为零D．x2～x3段的电势沿x轴均匀降低解析电势能Ep＝φq，由于微粒带正电，0～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据ΔEp＝FΔx知，Ep-x图线斜率绝对值表示静电力大小，0～x1段图线斜率变小，静电力减小，加速度逐渐减小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x1～x2段图线斜率为零，不受静电力，即电场强度为零，C正确；x2～x3段电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀降低，D正确。6．(多选)如图甲所示，在x轴上有O、A、B、C、D五点，坐标分别为O、x0、2x0、3x0、4x0，静电场的电场强度方向与x轴平行，电势φ随x的分布如图乙所示。一质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，不计粒子重力，下列说法正确的是(CD)A．若粒子能运动到A处，v0至少为eq\r(\f(qφ0,m))B．若粒子能运动到A处，粒子一定能运动到D处C．若粒子能运动到B处，粒子在A、B间做匀速直线运动D．若粒子能运动到C处，粒子在C处的速度为eq\r(veq\o\al(2,0)－\f(qφ0,m))解析粒子从O到A，根据动能定理得－qφ0＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，解得v0＝eq\r(\f(2qφ0,m))，故A错误；粒子在从O到A做减速运动，若粒子运动到A点速度刚好为零，则该粒子不能运动到D处，故B错误；若粒子能运动到B处，因为A、B电势相等，所以粒子在A、B间运动时电场力不做功，即粒子在A、B间做匀速直线运动，故C正确；粒子从O到C，根据动能定理得－q(φ0－eq\f(φ0,2))＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，解得v＝eq\r(veq\o\al(2,0)－\f(qφ0,m))，故D正确。[能力提升]7．(2025·山东青岛阶段预测)如图，绝缘竖直圆环上均匀分布着正电荷，Ox轴为圆环轴线，光滑细杆位于圆环轴线上，杆上套有带正电小球。t＝0时将小球从圆环右侧P点由静止释放，则小球运动的速度v随时间t变化关系图像及x轴上电势φ与坐标x的变化关系图像可能正确的是(A)解析因沿着Ox方向场强先增加后减小，可知小球受电场力先增加后减小，加速度先增加后减小，v-t图线的斜率先增加后减小，选项A正确，B错误；沿Ox正向电势逐渐降低，因小球向右移动相同距离时电场力做功可能越来越小，可知相同距离的电势差不相等，则φ-x图像不是按线性减小，选项C、D错误。8．如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为＋q的点电荷；在0≤x<eq\f(\r(2),2)a区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为－Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是(C)A．Q＝eq\f(\r(2)＋1,2)q，释放后P将向右运动B．Q＝eq\f(\r(2)＋1,2)q，释放后P将向左运动C．Q＝eq\f(2\r(2)＋1,4)q，释放后P将向右运动D．Q＝eq\f(2\r(2)＋1,4)q，释放后P将向左运动解析对在y轴正半轴上的点电荷，由平衡条件可得eq\r(2)keq\f(q2,a2)＋keq\f(q2,(\r(2)a)2)＝keq\f(Qq,(\f(\r(2),2)a)2)，解得Q＝eq\f(2\r(2)＋1,4)q，因在0≤x<eq\f(\r(2),2)a区间内沿x轴正方向电势升高，则电场强度方向沿x轴负方向，则将P沿x轴向右略微移动后释放，P受到向右的库仑力而向右运动，故选C。9．如图所示，带电平行板倾斜放置与水平面间的夹角为θ，两板间的电压U＝8×103V，两板间的距离d＝0.4m，圆形光滑轨道竖直固定放置，最低点B正好在上极板的边缘，C点是圆弧轨道的最高点；质量m＝0.1kg、电荷量q＝＋10-4C的小球从平行板下极板A点由静止释放，在平行板间的匀强电场中正好沿水平直线AB做匀加速直线运动，经过B点进入圆弧轨道，刚好到达最高点C，电场只存在于带电平行板内，外部没有电场，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求：(1)平行板与水平面间的夹角θ及小球经过B点时的速度大小vB；答案60°4m/s解析平行板间的电场强度E＝eq\f(U,d)＝2.0×104V/m对小球受力分析，可知电场力与重力的合力方向水平向右，由矢量三角形的几何关系可得cosθ＝eq\f(