2027届高考数学知识衔接第五篇向量与几何专题12等和线微点2等和线定理及其应用（二）

第五篇向量与几何

专题12等和线

微点2平面向量等和线定理及其应用（二）

【微点综述】

等和线定理是专门解决平面向量中系数之和的秒杀方法，对于系数之和（差）以及系数类有关问题，均可

以尝试使用平面向量等系数和线原理.

本节在上一节的基础上继续介绍平面向量等和线定理的应用.

【典例刨析】

一、高等数学知识

1.平面向量共线定理

【引理】已知OAOBOC，若1，则A,B,C三点共线；反之亦然.

如图1，若点A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且OCxOAyOB，

证明：A，B，C三点共线是xy1的充要条件.

证明：（1）由xy1A，B，C三点共线.由xy1得

OCxOAyOBxOA1xOBOCOBxOAOBBCxBA.

即BC，BA共线，故A，B，C三点共线.

（2）由A，B，C三点共线xy1.

由A，B，C三点共线得BC，BA共线，即存在实数x使得BCBA.

故BOOCBOOAOCOA1OB.令x,y1，则有xy1.

2.平面向量等和线定理

例1.如图2，P为AOB所在平面上一点，过O作直线l//AB，由平面向量基本定理知：

存在x,yR，使得OPxOAyOB.

试卷第1页（共10页）

【解析】下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和xy的值.

①若Pl时，则射线OP与l无交点，由l//AB知，存在实数，使得OPAB

而ABOBOA，所以OPOBOA，于是xy=-=0.

②若Pl时，

（i）如图2，当P在l右侧时，过P作CD//AB，交射线OA，OB于C,D两点，则

OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k.

由P,C，D三点共线可知：存在R使得：

OPOC(1)ODkOAk(1)OB，所以xykk(1-)k.

（ii）当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图2作P关于O的对称点P，由（i）的分

析知：存在存在R使得：

OPOC(1)ODkOA(1)OB，

所以OP-kOA-(1)OB，

于是xy-k-k(1-)-k.

综合上面的讨论可知：图2中OP用OA,OB线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关.

【反思】我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻

画.因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图2中，过O作AB边的垂线

|OP|

l，设点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点P1，则|k|（k的符号由点P的位置确定），

|OP1|

因此只需求出|OP|的范围便知xy的范围.我们称这种方法为等高线法.

更一般地我们有如下的等和线定理.

例2.如图3，设OA和OB构成平面的一组基底，对于平面内的向量OP，设OPOAOB(,R)，MN为

ON

过P点且与AB平行的直线，若k，则k.

OB

ONOM11

证明：因为MN与AB平行，所以k，所以OAOM,OBON，

OBOAkk

试卷第2页（共10页）

所以OPOAOBOMON，因为M,N,P三点共线，所以1，所以k

kkkk

【定义】平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB(,R)，若点P在直线AB上或者在平

行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和

线.

【平面向量等和线定理】如图4，AB,A1B1为等和线.设点Q为直线OP与直线AB的交点，

|OP|OA1OB1

则|k|.

|OQ||OA||OB|

（1）当等和线恰为直线AB时，k1；

（2）当等和线在O和直线AB之间时，0k1；

（3）当直线AB在点O与等和线之间时，k1；

（4）当等和线过点O时，k0；

（5）若点O在直线AB与等和线之间，则k0；

（6）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.

二、高考、强基、自主招生、竞赛试题举例

利用平面向量等和线定理可以解决平面向量系数的和差积商等问题，主要有以下几种类型：

（1）xy型问题（系数为1）；

（2）mxny型问题（系数不为1）；

（3）mxny型问题；

mn

（4）型问题；

xy

y

（5）型问题；

x

（6）其它类型问题.

试卷第3页（共10页）

下面我们举例说明.首先介绍——

利用等和线解题的一般步骤

第一步：确定系数和为1的直线；

第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值；

第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值.

题型一：xy问题（系数为1）

题型二、mxny型问题（系数不为1）

题型三、mxny型问题

mn

题型四、型问题

xy

例3.（2023春·山东济南·高一统考期末）

1．在ABC中，点O是线段BC上的点，且满足|OC|3|OB|，过点O的直线分别交直线AB、AC于点E、

1t

F，且ABmAE，ACnAF，其中m0且n0，若的最小值为3，则正数t的值为()

mn

811

A．2B．3C．D．

33

例4.

21

2．在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，E为边BC上的动点（不含端点），AEACDO，则

的最小值为______.

21

【反思】不是一定是求的最值才能用等和线，像本题的求的最值，也可以考虑使用等和线.

例5.（2023春·江西宜春万载中学月考）

3．如图，经过OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P，Q，设OPmOA,OQnOB，m,nR，

11

则的值为________．

nm

例6

试卷第4页（共10页）

4．在ABC中，点O是BC的三等分点，OC2OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且

1t8

ABmAE，ACnAF(m0,n0)，若的最小值为，则正数t的值为___________

mn3

例7.（2023春·江西景德镇一中期中考试）

21

5．在AOB中，AOB为直角，OCOA,ODOB，AD与BC相交于点M，OAa,OBb．

52

(1)试用a、b表示向量OM；

23

(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设OEOA,OFOB，求

的值．

例8.（2023秋·江西·高二南昌二中开学考试）

11

6．如图在ABC中，OCOA，ODOB，AD与BC交于M点．设OAa，．

42OBb

（1）用a，b表示OM；

13

（2）已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M．设OEpOA，OFqOB，则

pq

是否为定值，如果是定值，求出这个定值．

例9

11

7．如图，在AOB中，OCOA，ODOB，AD与BC相交于点M，设OAa，OBb.

42

(1)试用a，b表示向量OM；

试卷第5页（共10页）

13

(2)在线段AC上取一点E，在BD上取一点F，使得EF过点M，设OEOA，OFOB，求证：1．

77

例10.（2023春·甘肃天水一中期中考试）

11

8．在AOB中，AOB为直角，OCOA，ODOB，AD与BC相交于点M，OAa，OBb．

42

（1）试用a、b表示向量OM；

（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取得一点F，使得直线EF过M，设OEOA，OFOB，

13

求的值．

题型五、y型问题

x

例11.（2023秋·四川绵阳南山中学月考）

3

9．已知在ABC中，点D满足BDBC，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若AEABAC，

4

则______.

例12.（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学月考）

10．半径为1的扇形AOB的圆心角为150o，点C在弧AB上，COB60，若OCOAOB，则

______.

题型六、其它类型问题

例13.（2020年高考北京卷第13题）

1

11．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP(ABAC)，则|PD|_________；PBPD_________．

2

例14

1

12．如图，在ABC中，BDBC，点E在线段AD上移动（不含端点），若AEABAC，则

3

___________，2的最小值为___________.

试卷第6页（共10页）

【反思】根据等和线求与基底的系数有关的最值（范围）问题一般步骤：

（1）确定值为1的等和线；

（2）平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

（3）从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.

【针对训练】

一、单选题：

（2023秋·重庆·高三重庆南开中学月考）

13．已知点O为ABC所在平面内一点，满足OAOBOC0，M为AB中点，点P在AOC内（不含边

界），若BPxBMyBC，则xy的取值范围是（）

2113

A．1,2B．,2C．,1D．,

3232

（2023秋·辽宁沈阳·高三期中考试）

14．如图，在扇形OAB中，AOB30，C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点，且OCxOAyOB，

若xy（0）存在最大值，则的取值范围是（）

333333323

A．(,)B．(,)C．(,)D．(,)

43324223

二、多选题：

（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中月考）

15．如图，圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，

BMxBAyBDx,yR，则4xy可以的取值为（）

A．0B．1C．2D．3

（2023秋·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学开学考试）

16．已知O是ABC内一点，且OAOBOC0，点M在△OBC内（不含边界），若AMABAC，

则2的值可能为（）

试卷第7页（共10页）

9111315

A．B．C．D．

7777

三、填空题

（2023秋·山东济宁·高三月考）

17．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AMAN1，设

ACxAMyAN，则2x3y的最小值为_______

18．如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一

点，BMxBAyBD(x,yR)，则2xy的最大值为________

（2023春·甘肃白银·高一统考期末）

19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它

是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE2EB,M为线段AB的中点，设

P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MPMEMB，则的取值范围为__________.

（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）

20．已知P,H是ABC所在平面内的两点，满足PA2PB3PC0，直线PC与AB交于点

D,PHPA12PB,若H在△PBD内(不含边界)，则实数λ的取值范围是________.

21．如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且

1

OPxOAyOB，则x的取值范围是___；当x时，y的取值范围是___.

2

（2022·福建泉州三模）

试卷第8页（共10页）

22．如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设AP＝αAB＋βAF（α，β∈R），

则α＋β的取值范围是______.

（2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）

23．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切

的圆内（不包含边界）运动，设AP＝xAB＋yAD（x，y∈R），则x＋y的取值范围是______.

24．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任

意一点（含边界），设OP＝λOC＋μOD，则λ＋μ的取值范围为______.

1

25．在直角ABC中，A为直角，AB1,AC2，M是ABC内一点，且AM，若AMABAC，

2

则23的最大值为_________．

26．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P满足CP1，APxAByAD.

（1）2xy的取值范围为______；

（2）xy的取值范围为______.

27．ABC，AB1，BC3，A，点P在ABC的外接圆上，APxAByAC，则xy的取值范围

3

为______.

28．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设

向量ACDEAP,则最小值为___________．

2

29．已知A、B、C是圆O:x2y24上的三点，AOB,CO的延长线与线段AB交于点D，若

3

OCmOAnOB，则mn的取值范围为______.

试卷第9页（共10页）

四、解答题

（2023秋·上海浦东华师大二附中月考）

30．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点

共线，O为直线外一点，且OPxOAyOB时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同

学帮助小郭解答.

(1)当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理

由

(2)如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，

1

且OPxOAyOB，求实数x的取值范围，并求当x时，实数y的取值范围.

2

(3)过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且OPxOAyOB，请分别

写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明）

试卷第10页（共10页）

《第五篇向量与几何专题12等和线微点2等和线定理及其应用（二）》参考答案：

1．B

3mn1t1t3mn

【分析】用AE和AF表示AO，根据E、O、F三点共线可得1，利用和

44mnmn44

1t1t

基本不等式可求的最小值，再根据的最小值为3即可求出t的值．

mnmn

11313mn

【详解】AOABBOABBCABACABABACAEAF，

444444

3mn

∵E、O、F三点共线，∴1，

44

∵m>0，n>0，t>0，

1t1t3mn3n3mtt3tn3mt3t23t

∴2，

mnmn4444m4n444m4n44

n3mt

当且仅当时取等号，

4m4n

3t23t

∴3t33t30t3t3．

44

故选：B．

9

2．

2

【详解】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2,E(2,a)(0a2)，则D(0,2),O(1,1),C(2,2)，

22

所以AE(2,a),AC(2,2),DO(1,1)，因为AEACDO，所以，

2a

2a

421822(103a)2(103a)

从而，所以，设f(a)(0a2)，

2a2a2a4a24a2

2

22

234a2a(103a)23a20a122(3a2)(a6)

则f(a)222，

4a24a24a2

2222

所以f(a)0a2,f(a)00a，从而f(a)在0,上↘，在,2上↗，

3333

29219

故f(a)minf()，所以的最小值为.

322

解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2,E(2,a)(0a2)，则D(0,2),O(1,1),C(2,2)，

2a

224

所以AE(2,a),AC(2,2),DO(1,1)，因为AEACDO，所以，从而，

2a2a

2

218218218(2a)2(2a)

所以[(2a)(2a)]10

2a2a42a2a42a2a

18(2a)2(2a)9

102，

42a2a2

答案第1页（共18页）

8(2a)2(2a)2219

当且仅当时等号成立，结合0a2可解得：a，所以的最小值为.

2a2a32

解法三：AEACDOAC2DO，设t，则AEACt2DOACtDB，如图，设AFDB，

22

则C、E、F三点共线，因为AEACtDB，所以t1，即1，从而22，所以

2

21121122

(2)5，当E在BC上（不含端点）运动时，显然0,0，所以

22

211221229222

525，当且仅当时取等号，容易验证满足AEACDO

222333

219

的点E在BC上，所以的最小值为.

2

3．3

111

【分析】设，求出OG(ab)，PQnbma,PGmab，再根据P，G，Q三

OAa,OBb333

点共线得到PQPG，化简即得解.

211

【详解】解：设，由题意知OG(OAOB)(ab)，

OAa,OBb323

11

PQOQOPnbma,PGOGOPmab，

33

由P，G，Q三点共线，得存在实数使得PQPG，

11

即nbmamab，

33

1

mm,

311

从而消去，得3．

1nm

n,

3

故答案为：3

4．2

2mn2mn

【分析】由平面向量线性运算可得AOAEAF，结合已知条件以及E,O,F三点可得1，

3333

根据1的代换由基本不等式即可求最小值，列方程即可求解.

答案第2页（共18页）

【详解】

111

因为点O是BC的三等分点，OC2OB则AOABBOABBCABACAB

333

212mn

ABACAEAF，

3333

又由点E,O,F三点共线，所以AOAEEOAEEFAEAFAE1AEAF，

2m

1

32mn

所以，可得1，

n

33

3

1t2mn1t2t2mtn2t2mtn2t2t

所以22，

mn33mn333n3m333n3m339

当且仅当2tm2n2时，等号成立，

1t2t2t2t2t8

即的最小值为2，则有2，

mn3393393

即t22t60，所以t32t20，因为t0，

所以t2，

故答案为：2.

13

5．(1)OMab

48

23

(2)8

【分析】（1）（2）利用三点共线的结论：若A、B、C三点共线，则OAmOBnOC，且mn1．

2

【详解】（1）∵C、M、B三点共线，则OMxOB1xOCxOB1xOA，

5

1

又∵D、M、A三点共线，则OMyOD1yOAyOB1yOA，

2

13

xyx

28

可得，解得

23

1x1yy

54

3113

∴OMOBOAab．

8448

（2）∵Ｅ、M、Ｆ三点共线，则OMmOE1mOFmOA1mOB

答案第3页（共18页）

1

m

423

∴，整理得：8．

3

1m

8

13

6．（1）OMab；（2）是定值，7.

77

1

【分析】（1）设OMmanb，由向量间的关系表示向量AM(m1)anb，ADab．再三点共线

2

求得m2n1和4mn1，从而求得OM．

13

（2）由向量间的关系表示EMpab，EFpaqb，再由EM与EF共线，可求得关系.

77

【详解】（1）设OMmanb，则AMOMOAmanba(m1)anb，

11

ADODOAOBOAab．

22

∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线，故存在实数t，使得AMtAD，

1t

即m1anbtab，(m1)anbtab，

22

m1t

∴t，消去t得m12n，即m2n1①，

n

2

111

∵CMOMOCmanbamanb，CBOBOCba，

444

又C、M、B三点共线，∴CM与CB共线，同理可得4mn1②，

1313

联立①②，解得m，n．故OMab．

7777

13

（2）7．理由如下：

pq

1313

∵EMOMOEabpOApab，EFOFOEqOBpOApaqb，

7777

又EM与EF共线，故存在实数k，使得EMkEF，

13

即pabk(paqb)kpakqb．

77

1

ppk

71313

∴，消去k得pp，整理得7．

377qpq

kq

7

【点睛】本题考查向量间的线性表示，向量共线的条件，属于中档题.

13

7．(1)OMab；

77

(2)证明：若OEOA，OFOB，

1313

则OMabOEOF．

7777

答案第4页（共18页）

13

又因为E，M，F三点共线，所以1．

77

【分析】（1）设OMmanb，由A、D、M三点共线以及B、C、M三点共线可得出关于m与n的方

程组，解出这两个未知数，即可得出OM关于a、b的表达式；

13

（2）根据条件，结合OMab可建立等式，利用E,M,F三点共线，可得出结论.

77

【详解】（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数1使得

11

OMOAAMa1ADa1ab11ab．

22

由B，M，C三点共线可知，存在实数2使得

12

OMOBBMb2BCb2baa12b．

44

12

14

由平面向量基本定理知．

11

22

6

1713

解得，所以OMab．

4

77

27

（2）略

1313

8．（1）OMab；（2）7.

77

【分析】（1）设OMmanb，分别利用C,M,B三点共线和D,M,A三点共线求出m,n即可得解；

（2）利用F,M,E三点共线和平面向量基本定理可求出结果.

【详解】（1）解：设OMmanb，

C，M，B三点共线，

k

存在非零实数k使得CMkCBkOBOCkba，

4

1k1k

OMOCCMakbaakb，

444

1k

m1n

4，所以m，

4

nk

又D，M，A三点共线，

t

存在非零实数t使得DMtDAtOAODtab，

2

1t1t

OMODDMbtabtab，

222

又OMmanb，

答案第5页（共18页）

mt

1m

1t，所以n，

n2

2

1n

m

413

联立，解得m，n，

1m77

n

2

13

所以OMab．

77

13

（2）证明：由（1）知OMab，

77

F，M，E三点共线，

存在非零实数x使得FMxFExOEOFxaxb，

13

FMOMOFab，

77

1

x

7

，消去x得37．

3

x

7

13

所以7．

9．3

【分析】AEmAD0m1,利用向量的线性运算求得AE关于AB,AC的表达式，利用平面向量基本定

理中的分解唯一性得到,关于m的表达式，进而得到答案.

【详解】如图，由题意得存在实数m，使得AEmAD0m1.

3313

又ADABBDABBCABACABABAC，

4444

13m3m

所以AEmABACABAC，

4444

又∵AEABAC，且AB,AC不共线，

m

,

4

故由平面向量的分解的唯一性得

3m

.

4

所以3.

故答案为：3.

答案第6页（共18页）

3

10．

2

1331

【分析】建立直角坐标系，由COB60，OC1，可得C,．由BOA150，可得A,，

2222

又B(1,0)，OCOAOB，利用向量相等可得出，，进而