12　第二章　第11课时　动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课)

第二章相互作用——力第11课时动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课)[学习目标]

1．学会用图解法、解析法等方法解决动态平衡问题。2．会分析平衡中的临界与极值问题。进阶点1共点力的动态平衡角度1解析法的应用物体受三个及以上力的作用并处于平衡状态，且能利用力的矢量三角形或正交分解写出各力之间的关系。根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。[典例1]

(2025·陕西渭南一模)如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是(

)A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小C．地面对大理石半球的摩擦力始终为0D．地面对大理石半球的支持力变小√C

[对小蚂蚁受力分析如图所示。可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为f＝mgsin

θ，蚂蚁受到的支持力为FN＝mgcos

θ，小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向P点的过程中θ逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故A、B错误；选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力大小始终等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。故选C。]角度2图解法的应用一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。例如：挡板P由竖直位置沿逆时针方向向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化(如图所示)。[典例2]

(2025·海南三亚模拟)《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示，轻绳一端固定，另一端系在重物上，现向左推动车梯，重物沿斜面缓慢上升，忽略重物和车梯间的摩擦阻力，则此过程中(

)A．小球受到的轻绳拉力不变B．小球受到的轻绳拉力增大C．小球受到的斜面支持力不变D．小球受到的斜面支持力增大√D

[缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力的大小、方向不变，支持力的方向不变，而轻绳拉力的方向不断变化，受力如图所示。由图可知，重物所受支持力FN不断增大，轻绳拉力T先减小后增大。故选D。]

√

角度3相似三角形法的应用一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法。(如表所示)受力分析力的矢量三角形和几何三角形相似比例

受力分析力的矢量三角形和几何三角形相似比例

受力分析力的矢量三角形和几何三角形相似比例

√

[典例4]物理兴趣小组，在学习了力的合成和分解后，设计了如图所示的情境来体验力的作用效果，细线OB一端系于铅笔右端，另一端拴在手指上，使OA水平，手掌始终伸直，再在O处悬挂一物块，假设铅笔的重力可以忽略不计，在保证装置不散架的情况下，将整个装置绕过点A垂直于纸面的轴在竖直平面内逆时针缓慢转动的过程中，下列说法正确的是(

)A．A点的刺痛感会增强B．A点的刺痛感会减弱C．OB绳一定不会被拉断D．OB绳可能被拉断√

【教师备选资源】(辅助圆法)如图所示，斜面静止于水平地面。将一个质量为m的小球用轻质细线悬挂于斜面顶端O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的共同作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。开始时，F方向水平。现缓慢增大θ角，同时保持α角(α>90°)不变，直至细线水平。此过程中，斜面始终保持静止，则下列说法正确的是(

)A．外力F逐渐增大B．外力F与细线拉力FT的比值保持不变C．地面对斜面的摩擦力逐渐增大D．地面对斜面的作用力保持不变√A

[如答图所示，作出外力F、细线拉力FT的合力，二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至细线水平，因此外力F逐渐增大，细线拉力FT逐渐减小，外力F与细线拉力FT的比值增加，故A正确，B错误；在此过程中，拉力F变为F'时，水平分力最大，即水平分力先增大后减小，应用整体法可分析出地面对斜面的摩擦力先增大后减小，故C错误；在此过程中，拉力F的竖直分力逐渐增大，根据整体法可分析出地面对斜面的支持力一直在减小，由C项知地面对斜面的摩擦力先增大后减小，地面对斜面的作用力为支持力与摩擦力的合力，由勾股定理知，地面对斜面的作用力发生变化，故D错误。]辅助圆法：一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题，利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。进阶点2平衡中的临界与极值问题2．极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3．解题方法极限法首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点数学分析法根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)物理分析方法根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值[典例5]

(多选)如图所示，一质量为5kg的小球用长为L的轻质细线连接，现用一水平力F拉小球，使细线偏离竖直方向30°，然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向，在转动过程中小球静止不动，g取10m/s2，那么F的大小可能为(

)A．15N

B．30NC．50N

D．100N√√BC

[如图，小球受重力mg、细线拉力FT、拉力F，三个力的合力为0，逆时针缓慢转动力F至竖直方向的过程中，F先减小后增大。初位置F＝mgtan

30°≈28.9

N；F与细线垂直时最小，为F＝mgsin

30°＝25

N；竖直位置F＝mg＝50

N。故A、D错误，B、C正确。]拓展思考

如图，若再用一根轻质细线把另一个球A竖直悬挂在同一点，并用另一根轻质细线连接两球，两球均处于静止状态，三根细线均处于拉直状态，那么F转动过程中竖直细线和连接两球的细线拉力如何变化?[典例5]中的四个选项哪些是正确的?若把连接两球的细线换成轻杆呢?[解析]

对球A受力分析，受重力和竖直细线的拉力，根据受力平衡，连接两球的细线拉力为0，竖直细线拉力等于球A的重力，所以F转动过程中，竖直细线和连接两球的细线拉力不变，F的最大值、最小值与[典例5]中相同，答案仍为BC。若把连接两球的细线换成轻杆，结论也是如此。[答案]见解析

√

课时作业(十一)动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课)题号1352468791011

√

题号13524687910112．(2025·四川巴中一模)2025年某市物理竞赛中，小球在轻绳悬挂下施加水平力F，最终稳定于与竖直方向夹角为θ的位置(如图所示)。不计空气阻力。下列描述中，能正确描述绳子拉力T的是(

)A．T与cosθ成反比关系B．T随θ变大而减小C．T与θ成反比关系D．T与cosθ成正比关系√题号1352468791011

题号1352468791011

√题号1352468791011

题号13524687910114．(2025·湖北黄冈模拟)某品牌双肩书包在人体工学设计和舒适度提升方面进行了特别研究。如图所示为学生背上书包时的侧视图，书包与背部接触面竖直，两条长度相同的背带(图中仅展示了一条)分别跨过左、右肩部并连接到书包，确保两条背带的上(下)端连接点P与P'(Q与Q')等高，左、右肩部的背带平面平行且与背部平面垂直。在忽略背部与书包、肩部与背带之间的摩擦力，以及不考虑背带质量的情况下，若背上书包后，仅对两条背带增加相同长度，则(

)A．背部对书包的作用力大小变大B．背部对书包的作用力大小先变大后变小C．背带对肩部的作用力大小变小D．背带对肩部的作用力大小先变小后变大√题号1352468791011C

[设两条背带对肩部的作用力大小合力为F1，两条背带对书包的作用力大小为F2，背部对书包的作用力大小为F3。不考虑背带与肩部的摩擦力，则背带上各处张力相等且F1与F2大小相等、方向相反。分析书包受力如图，若仅对两条背带增加相同长度，F2与竖直方向的夹角变小，F2与F3的大小均变小。故选C。]题号1352468791011

√题号1352468791011

题号13524687910116．(2025·辽宁朝阳模拟)如图所示，水平杆AO与光滑竖直杆OB，金属球P、Q分别套在杆OB和OA上，并用轻绳连接，水平杆粗糙，现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许，则P球受到的摩擦力f和OB杆和OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T的变化情况为(

)A．f减小，NB增大B．f增大，NA增大C．f增大，T减小D．NA不变，T增大√题号1352468791011

题号13524687910117．(2025·江苏苏州高三专题检测)如图所示，一个晾衣架放在水平地面上静止，水平横杆与四根相同的轻质斜杆垂直，两斜杆间的夹角为θ，当θ缓慢减小时，每根斜杆受到地面的(

)A．支持力增大

B．支持力减小C．摩擦力增大

D．摩擦力减小√题号1352468791011

题号13524687910118．(2025·黑龙江哈尔滨期末)如图所示，圆心为O、半径为R＝1m的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球(小球和小定滑轮均可视为质点)，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小g取10m/s2，则下列说法正确的是(

)A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝5NB．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小FT＝10ND．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大√题号1352468791011

题号13524687910119．(2025·河南郑州一