广东省湛江市徐闻县梅溪实验学校高中部2025-2026学年高一（下）月考数学试卷（5月份）(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省湛江市徐闻县梅溪实验学校高中部高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知i为虚数单位，则（2+3i）（4-i）=（）A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.若，是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是（）A.和 B.3和-6

C.和3 D.+和3.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则平面图形ABCD的面积为（）A.1

B.

C.

D.34.已知，，，则=（）A.（-3，6） B.（3，-6） C.（6，-3） D.（6，3）5.如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为4cm、深9cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（）A.4杯

B.6杯

C.8杯

D.16杯6.边长为2的正方形ABCD，E为CD的中点，则的值为（）A.2 B.3 C.1 D.47.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，则异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.

8.第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注.峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形ABCD，侧面ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1均为矩形且垂直于底面，已知，BC=1，AA1=3，∠ABC=∠BCD=135°.若有一只虚拟的蝴蝶沿线段AD1飞行，则蝴蝶（视为质点）到点B1的最短距离为（）A.1

B.

C.

D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下面是关于复数z=1-i的四个命题，其中的真命题为（）A.|z|=2 B.z2=2i C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-110.已知m,n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（）A.若α∥β，n⊥β，则n⊥α B.若m∥α，α∩β=n,则m∥n

C.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D.若m⊥α，m⊥n,则n∥α11.已知向量，，，λ∈R，则（）A.若（）⊥，则λ=4

B.若，则λ+t=-6

C.向量在方向上的投影向量的坐标为

D.若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则m=

.13.已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为

.14.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得tan∠ACB=0.6，CD=40米，∠BCD=62.71°，∠BDC=64.16°，则塔高AB≈

米（结果保留整数）.（参考数据sin64.16°≈0.9，sin62.71°≈0.89，sin53.13°≈0.8）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量与的夹角为，且，.

（1）求；

（2）；

（3）求向量与向量的夹角.16.(本小题15分)

如图所示：组合体由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和正四棱锥P-ABCD构成，ABCD的中心为O，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2.

（1）求正四棱锥的侧棱长；

（2）求该组合体的表面积；

（3）求该组合体的体积.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，垂足为A，PA=AB=4，AC交BD于点O，点M是PD的中点.

（1）求证：OM∥平面PAB.

（2）求证：PD⊥平面ABM.

（3）求直线BC与平面ABM所成角的大小.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求角B的大小；

（2）若a=2，，求△ABC的面积；

（3）若，求△ABC周长的取值范围.19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=a,∠BAC=∠A1AB=∠A1AC，点E，F分别为棱A1C1，CC1的中点.

（1）记三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1，三棱锥A-BEF的体积为V2，求；

（2）若a=2，且三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱.

（i）求点E到平面ABF的距离；

（ii）求一只蚂蚁沿三棱柱ABC-A1B1C1表面从点B爬行到点E的最短路程.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】CD

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】-5

13.【答案】

14.【答案】27

15.【答案】2；

；

．

16.【答案】解：（1）由已知可得，OA=，

又因为PO=2，所以正四棱锥的侧棱长为；

（2）由题意可知棱锥的斜高h=，

则组合体的表面积为2×2+4×2×3+4××2×=28+；

（3）该组合体的体积V==．

17.【答案】证明：∵底面ABCD是正方形，AC，BD为对角线，∴O为BD中点，

又点M是PD的中点，∴OM∥BP．

又BP⊂平面PAB，OM⊄平面PAB，∴OM∥平面PAB

证明：∵PA⊥平面ABCD，AD，BA⊂平面ABCD，

∴PA⊥BA，PA⊥AD，且△PAD为直角三角形．

∵底面ABCD是正方形，∴BA⊥AD．

又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，∴BA⊥PD．

在Rt△PAD中，PA=AD=4，点M是PD的中点，∴AM⊥PD．

又BA⊂平面ABM，AM⊂平面ABM，BA∩AM=A，∴PD⊥平面ABM

18.【答案】

19.【答案】（1）因为AB=AC=AA1，点E，F分别为棱A1C1，CC1中点，

所以，，所以，

所以，，所以，

所以，

所以．

（2）（ⅰ）如图1，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以，

因为a=2，所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积，

由（1）知三棱锥E-ABF的体积为，

在△ABF中AB=2，，

，AB2+AF2=BF2，

所以AB⊥AF，△ABF的面积，

设点E到平面ABF的距离为h,则，即，

所以．

（ⅱ）沿三棱柱ABC-A1B1C1表面从点B到点E有三种路径：

①经过平面ABC与平面ACC1A1，如图2沿棱AC翻转平面ABC，

使得平面ABC与平面ACC1A1在同一平面内，此时最短路程为．

②经过平面ABB1A1与平面A1B1C1，如图3沿棱A1B1翻转平面A1B1C1，

使得平面