湖南省湘潭市2026-2027学年高二上学期第一次月考数学自编卷（范围：人教A版必修一、必修二、选必一1-2单元）（解析版）

湖南省湘潭市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BACBCACCBCBCD题号11答案BCD1．B【分析】由空间向量共面定理及坐标表示列方程求参数.【详解】由已知坐标，易知，不共线，故可设，，即，从而，故.故选：B2．A【分析】将、用、作为基底表示，利用平面向量基本定理列方程求解、，再计算.【详解】由题意，可得，则，，将上述两式代入，整理得：，由于、为不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，等式两边对应向量的系数相等，得：解得，则，因此.3．C【分析】由分段函数单调性，结合各区间函数的性质列不等式组求参数范围.【详解】要使在上单调递增，故在上递增，在上递增，且，所以.故选：C4．B【解析】判定函数为偶函数并且为单调增函数，列出不等式，解不等式即可得的取值范围.【详解】，函数为偶函数，当时，均为增函数，所以函数为增函数，则当时，函数为减函数，，解得.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的应用，得出函数是偶函数和在的单调性是解决本题的关键，是中档题.5．C【分析】①根据对称中心可得知，为其图象的两个对称中心，则是的整数倍可判断；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移后得到再判断其奇偶性，从而可判断【详解】①由知，是图象的两个对称中心，则是的整数倍（是函数的最小正周期），即，所以结论①错误；②因为，所以是的对称中心，所以结论②不正确；③由解得，当时，在上单调递增，则在上单调递增.所以在上单调递增，所以结论③正确；④的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，是偶函数，所以图象关于轴对称，所以结论④正确.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合应用，.解答本题的关键是的对称中心对应的函数值为，对称轴对应的函数值为；分析的单调性，可令满足的单调区间，从而可求的单调区间，属于中档题.6．A【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数与图象在上有6个不同的交点，由图可得，解之即可求解.【详解】由，知函数为偶函数，由，知函数为周期函数，且.又当时，，则当时，，，由，得，所以，若方程在上有6个不等实根，则函数与图象在上有6个不同的交点，若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故，如图，由图可知，，解得，即实数a的取值范围为.故选：A.7．C【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取、、、时的函数值，画出函数的部分图像，数形结合即可得解.【详解】根据题意，函数，不等式，即，变形可得，令函数，所求即．当时，，所以在上上单调递减，在上单调递增，且，，．当时，，在上单调递减，且．可以绘制出函数图像．

结合图像和取、、、时的值可知，要使的解集中有且仅有两个整数，这两个整数解只能是和，所以的取值范围为．故选：C8．C【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减，，则，即故选：C9．BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.10．BCD【分析】由指数与对数互化可得，，利用对数函数但单调性可知A错误；利用基本不等式并结合等号成立的条件可得BC正确，由作差法并根据二次函数单调性可得D正确.【详解】根据题意由，可得，且均为正数；所以可得，对于A，，易知，所以，可得，即，所以A错误；对于B，，显然，所以等号不成立，因此，B正确；对于C，易知，显然，所以等号不成立，因此，C正确；对于D，易知，由二次函数性质可得在上单调递增，由可得，即，所以，即，所以，即D正确；故选：BCD11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，求出.对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出，即可解答.【详解】由题意，建立如下坐标系.

则,,,,,,，

所以,,,,，

对于A，，故与不垂直，故A错误；

对于B，，，所以直线与所成角的正弦值为，故B正确；对于C，由上，所以，

所以即，又，

所以，

因为，又由正方体性质可知平面，即平面，，所以，

又，由余弦定理可得：，所以，所以，设G到平面的距离为，则，所以，故C正确；对于D，若存在实数使得，则，所以

，所以，故D正确.故选：BCD.12．【分析】由，可得，由可得，从而求得，结合，即可得到答案.【详解】如图，AC为圆柱的一条母线，，为与所成的角，则，因为，，所以，又，所以，面，面，，故．故答案为：．13．3【分析】根据题意结合集合间的关系分类讨论即可.【详解】由题意可得，则集合A有四种可能：,当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；综上有3种可能。故答案为：314．【分析】利用分离常数项整理函数得，结合函数的奇偶性，即可得解.【详解】，设，因为，所以为奇函数，设的最大值为，则最小值为，则，所以.故答案为：.15．（1）；（2）.【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可；（2）分为和两种情形，根据指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）．（2）当时，为减函数，则不等式可化为：，即，解得：，当时，为增函数，则不等式可化为：，即，解得：【点睛】本题主要考查了指数的运算性质，指数函数的单调性，属于中档题.16．(1)(2)的图象如图：(3)【分析】（1）用代入法求出当时的表达式，即可得到函数的解析式；（2）直接作出二次函数的图象，即可得到的图像；（3）由函数的单调递增区间列不等式组，求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，当时，，，函数为奇函数，，函数的解析式为，（2）略（3）由图象可知，函数的单调递增区间是.要使在上单调递增，则，解得，实数的取值范围是.17．(1)(2)【分析】（1）有题易得即为异面直线与所成角，求出再由余弦定理代入即可得出答案.（2）由线面平行的判定定理可证明平面，所以，求出代入即可得出答案.【详解】（1）因为直四棱柱，则，所以四边形为平行四边形，∴，所以即为异面直线与所成角，因为菱形中，，且，易得，又，易得，所以即异面直线与所成角的余弦值为.（2）∵又平面，平面∴平面，，∴.18．(1)(2)35万元【分析】（1）根据奖励方案，可得分段函数；（2）确定，利用函数解析式，即可得到结论．【详解】（1）由题意,若销售利润没超出10万,即则若销售利润超出10万,即则所以这位销售人员获得的奖金y与其销售利润x之间的函数关系式是,（2）由(1),知,当时,.∴∴解之,得(万元)答:如果这位销售人员获得了万元的奖金,那么他的销售利润是35万元.【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．19．(1)(2)①；②【分析