福建省百校联考2027届高三上学期9月月考数学试题（含解析）

福建9月高三数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由，，可得.2.复数的实部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由，可得复数的实部为.3.某研究所研究耕种深度（单位：cm）与一种农作物每公顷产量（单位：t）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度/cm3467每公顷产量/t5689发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（）A. B. C.0.6 D.0.8【答案】D【解析】【详解】由，，因此，可得，因此经验回归方程为，当时，，所以样本点处的残差为.4.将英文单词“mommy”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】A【解析】【详解】英文单词“mommy”共有5个字母，其中相同字母有3个“m”,所以将字母组合，可得到不同字母排法的种数为：.5.已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：，设点到抛物线的准线：的距离为，则，等号在时成立，所以的最小值为9.6.已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知函数为奇函数且在上单调递增，根据函数性质可得对，恒成立，结合判别式运算求解即可.【详解】当时，，有；当时，，有；且，可知函数为奇函数，又因为函数在内单调递增，则函数在内单调递增，可得函数在上单调递增，不等式可化为，可得，即对，恒成立，则，解得，所以实数的取值范围为.7.已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（）A.402 B.404 C.408 D.412【答案】C【解析】【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和．【详解】因为，，，，，，，，，，由题意前5项共插入项，则数列的前50项的和．8.已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义，表示出，，，，的长度，结合，利用余弦定理列式，可得的关系，进而可求双曲线的离心率.【详解】如图，记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，，由且，可得，，.设，又由，得，所以，可得，可得双曲线的离心率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（）A.的外接圆的半径为 B.C.的面积为 D.【答案】BD【解析】【详解】对于A选项，可得外接圆的半径为，故A选项错误；对于B选项，由余弦定理，有，即，即，解得（负值舍去），故B选项正确﹔对于C选项，由，得，可得的面积为，故C选项错误；对于D选项，由，，可得，故D选项正确.10.下列说法正确的是（）A.数据1，3，4，7，9，12，14，21的25%分位数为3B.若随机变量服从正态分布，且，则C.若随机变量服从二项分布，，则D.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占40%，乙厂产品占60%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是60%.在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.64【答案】BC【解析】【详解】对于A选项，由8×25%=2，可得数据的25%分位数为，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，由，，有，，可得，故C选项正确；对于D选项，这个灯泡是合格品的概率为40%×80%+60%×60%=0.68，故D选项错误.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的减区间为B.若函数有3个零点﹐则C.D.函数有3个零点，1，，且【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用导数求函数单调区间；B选项，结合函数单调性处理零点个数问题；C选项，遇到与结构，直接代入化简，发掘倒数变换的对称性质；D选项，利用一隐性对称，快速得到两个非1零点满足.【详解】对于A选项，由，令，有，可得函数的减区间为，故A选项正确；对于B选项，由函数的减区间为，增区间为，，又由，.当时，；当时，，若函数有3个零点，有，故B选项错误；对于C选项，由，有，故C选项正确﹔对于D选项，由，函数的减区间为，增区间为，.当时，；当时，.可得函数有3个零点，，1，，且.又由及，有，又由，有，可得，故D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，的夹角为，，，则______.【答案】【解析】【分析】由平面向量的数量积以及模长运算即可求解.【详解】由，有，可得，有，可得.13.已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______.【答案】或【解析】【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可.【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径，因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比，所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为.设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角，所以，在直角三角形中，，这说明圆心到直线的距离为.直线：可化为.由点到直线的距离公式，得，解得或.14.在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，则直线与底面所成的角的正切值的最大值为______.【答案】1【解析】【分析】分为锐角、直角、钝角三种情况讨论;设,将线面角的正切值表达为的函数，求出最大值.【详解】设.①当二面角为直角时，取棱的中点为，连，，因为是等边三角形，可得，可得平面，可得是直线与平面所成的角.又由，.可得；②当二面角为锐角时﹐如图，取棱的中点为，棱的中点为，连，，过点作.由，，可得平面，可得平面，可得是直线与平面所成的角.设，有，，有.又因为（当且仅当即时取等号），有，可得此时的最大值为1；③当二面角为钝角时，如图，取棱的中点为，棱的中点为，连，，过点作.由，，可得平面，可得平面，可得是直线与平面所成的角.设，有，，有.由①②③可知直线与底面所成的角的正切值的最大值为1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知函数的极小值点为.（1）求实数的值；（2）求函数的图象在点处的切线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，然后根据极值点求出的值.（2）根据导数的定义计算即可.【小问1详解】由.又由函数的极小值点为，有，可得.有，令，可得或，令，得，可得函数的增区间为，，减区间为，可得函数的极小值点为，故有.【小问2详解】由，有，又由.可得函数的图象在点处的切线方程为，整理为.故函数的图象在点处的切线方程为.16.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱的中点，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）以D为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.，，，，，.所以，，.又，.可得，.又由，，，平面，所以平面.（2）【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用线面垂直的判定定理即可.（2）由（1）得平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量，求即可转换成平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】略【小问2详解】由平面，可得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，由，.有，取，，，可得平面的一个法向量为.又由，，，所以.因为平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知函数，若函数在区间上的所有零点从小到大依次为，设数列的前项和为.（1）求函数在区间上的值域；（2）求的最小值；（3）记，证明：.【答案】（1）（2）（3）证明：由.有.有，所以.【解析】【分析】（1）先根据正弦的二倍角公式及两角和的正余弦公式将原式化简为，再利用正弦函数的性质求出在上的值域即可；（2）根据零点定义，令，得，进而可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而求出通项公式为；再令，求出可能的取值，即可求出的最小值；（3）先化简可得，再利用裂项相消法求和，即可得出证明.【小问1详解】由.当时，则，可得，可得，故函数在区间上的值域为；【小问2详解】令，有，可得，取，可得，又由，可得，当时，，可得数列是首项为，公差为的等差数列，可得，令，可得，又由，可得或2或3或4，可得的最小值为；【小问3详解】略18.小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数.（1）求的分布列及数学期望；（2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围.【答案】（1）分布列为：2345数学期望（2）【解析】【分析】（1）对离散型随机变量，先理清每个取值对应的实际投篮事件，排除提前终止的矛盾情形，再计算对应概率；代表前四次从未出现连续两中，可用对立事件快速求概率；（2）先算出可以通关的总概率,再利用条件概率，；分式不等式注意分母范围，正数分母取倒数要反转不等号，再因式分解求解参数范围.【小问1详解】的所有可能取值为：2，3，4，5.有....可得的分布列为：2345可得.【小问2详解】设事件：小王同学通过测试，事件：小王同学恰好投篮次.因为投篮5次通过的概率为.则..则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮次的概率为.又由，可化为，可化为，又由，解得.故的取值范围为.19.已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值；（3）若线段的中点为T，证明：是的角平分线.【答案】（1）（2）（3）证明：由，，可得.由直线的方程为，点到直线的距离为.又