1.3空间向量及其运算的坐标表示(讲义)(解析版)

第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示课标要点1.掌握空间直角坐标系搭建规则，理解坐标向量、坐标平面、卦限等基础概念。2.熟记空间点与空间向量坐标定义，分清坐标轴、坐标平面上点的坐标特征。3.熟练掌握向量加减、数乘、数量积等坐标运算，会用坐标判定平行与垂直。4.灵活运用向量坐标、两点距离、中点公式，计算线段长度与向量夹角。学习重难点重点：1.空间直角坐标系概念，点与向量坐标的定义，特殊位置点的坐标书写规律。2.空间向量各类坐标运算公式，利用坐标判断向量共线、垂直的判定条件。3.空间两点距离公式、向量模长与夹角公式，能结合坐标完成计算题型。难点：1.区分点坐标与向量坐标，正确推导两点构成向量的坐标表达式。2.向量夹角范围易混淆，计算异面直线夹角时不会对余弦值取绝对值转换。3.结合坐标综合证明平行、垂直，综合运用多个公式解决几何计算问题。知识点一空间直角坐标系在空间选定一点O和单位正交基底i→,j→,k→，以O为原点，分别以i→,O：坐标原点；i→坐标平面：两条坐标轴确定一个平面，分为Oxy、画图规范：x轴、y轴夹角画135∘或45∘，1.空间点的坐标对空间任意一点A，存在唯一有序实数组(x,y,z)，满足OA→=xi→+yj→x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0，z)点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)2.空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．即学即练1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（

）A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是【答案】C【详解】选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误；选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误；选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确；选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误.2．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为，因为，所以，所以，所以的坐标为.知识点二空间向量的运算及坐标的关系设向量,那么向量运算坐标表示加法减法数乘数量积共线垂直向量长度向量夹角公式特别提醒特别提醒在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.即学即练3．已知空间向量，向量，则__________．【答案】【详解】由题设.4．已知空间向量，，若，则实数的值为_________．【答案】/【详解】因为，所以，解得.知识点三向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设．（1）；（2）；（3）若则即学即练5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【详解】由向量加法得，所以.题型01空间向量的坐标表示典｜例｜精｜析【例1】已知点，点，则向量的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由点，点，得.故选：C【例2】在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则，，因为，所以，解得，则.故选：A变｜式｜巩｜固【变式1-1】已知、、，若，则的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设点坐标为，则，因为、，所以，，所以，，，，则点的坐标为．故选：A．【变式1-2】已知点，点，则线段中点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，，根据中点坐标公式可得：线段中点坐标为.故选：B.【变式1-3】已知，，且，则点的坐标为______．【答案】【详解】因为，，设，所以，，因为，所以，解得，得到.故答案为：题型02空间向量的坐标运算典｜例｜精｜析【例3】已知向量，且与垂直，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知：，则，又与垂直，则，得.【例4】已知，，且，则（

）A．-5 B．1 C．3 D．5【答案】A【详解】已知，，且，所以.解得.故选：A.变｜式｜巩｜固【变式2-1】已知空间向量，若共面，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】因为共面，所以存在，使得，即，解得，所以．【变式2-2】已知，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意知，.故选：C.【变式2-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______.【答案】【详解】由已知与的夹角为锐角，则，即，解得.若与的夹角为0°，则存在，使.所以，所以，.综上，若与的夹角为锐角，则且.故t的取值范围是.故答案为：.题型03坐标形式解决空间向量的数量积典｜例｜精｜析【例5】《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（

）A． B．4 C． D．【答案】B【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，，，.方法二：由题意得，，，堑堵为直三棱柱，且，．故选：B.【例6】如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个.【答案】5【详解】解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体中，棱长为分别为各棱的中点，,,,,,,,,,,,,则，，，，，，，，，，，，，故，，，，，，，，，，，，故的值为共种不同的值.故答案为：.变｜式｜巩｜固【变式3-1】如图，棱长为1的正方体中，（

）

A．0 B．1 C． D．2【答案】B【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以.故选：B

【变式3-2】已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（

）A．0 B．2 C． D．【答案】D【详解】连接，交于点，连接，，因为正四棱锥与正四棱锥，所以平面，平面，因为，，所以，，，以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，所以.故选：D.【变式3-3】在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____.【答案】【详解】因为点，，，所以，则.故答案为：.题型04坐标形式解决空间向量数量积的最值范围问题解题贴士解题贴士1.设参转化：向量含动点时，设动点参数t，把a→、b2.展开数量积：代入a→⋅b→=3.定义域约束：结合动点位置确定参数t取值范围，如线段上动点t∈4.求最值：利用二次函数开口方向、对称轴，在定义域内求出最大值与最小值，得到数量积取值区间。典｜例｜精｜析【例7】已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有，因此，，于是得，则当时，有最小值，此时，点．故选：C【例8】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______．【答案】【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，，因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，，所以．因为，，所以当时，取得最小值；当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为．故答案为：变｜式｜巩｜固【变式4-1】已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，令且，，所以，当且仅当时取等号，则的最小值为.故选：B【变式4-2】已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是______.【答案】【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，

由正六边形的性质可得，，设，其中，所以，，所以，所以的取值范围.故答案为：.【变式4-3】如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________.【答案】3【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，则，因为，所以当时，取最大值，最大值为3.故答案为：3.题型05坐标形式解决空间向量的模（距离，长度）典｜例｜精｜析【例9】已知空间直角坐标系中的三点，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【详解】由题可得，经计算，，所以是等边三角形．故选：D.【例10】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（

）A． B．2.5 C． D．2.6【答案】C【详解】设三棱锥的侧棱长为，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组，使得，依题意，在上的投影向量的长度为2，则，即，即，解得，同理得，因，又因三点在平面的同一侧，于是或，由，解得.故选：C.变｜式｜巩｜固【变式5-1】设，，，，且，，____．【答案】【详解】因为⊥，所以，解得，可得，又因为，且，所以，解得，，则，又因为，所以，由模长公式得．【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，又，，则，，所以，，即，，故选：A.【变式5-3】定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（

）A． B．130 C． D．【答案】B【详解】由在基底下的坐标为，则，如图建立空间直角坐标系，由正六棱柱，其中，,可得：，则，所以，即，故选：B题型06坐标形式解决空间向量模的最值（范围）问题典｜例｜精｜析【例11】如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（

）

A． B．C． D．【答案】A【详解】连接，在中，易得，．以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，．设平面平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以，当时，可得点在平面内，可得，，又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角，又因为平面平面，所以，所以，．又因为，，即．，当时，，其中；当时，，其中；的取值范围为，故选：A．【例12】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设，，其中，，则，，，，据此可得，，，由空间中两点之间距离公式可得，当时，，当时，，结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.故选：B.变｜式｜巩｜固【变式6-1】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】

依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，所以，即，所以，而，由二次函数的单调性可知，当时，，则.故选：B【变式6-2】在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,所以，所以，所以，所以，又，所以，将其看作关于的二次式，，则当时最小值为，则当时取得最小值，此时.故选：A.【变式6-3】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，P是直线上一动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】在长方体中，，可得，则点关于点的对称点为，所以，可得，因为，所以.故选：D.题型07坐标形式解决空间向量的夹角问题典｜例｜精｜析【例13】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，为的中点，，，，，设异面直线与所成的角为，，即与所成的角的余弦值为.故选：C【例14】设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________．【答案】【详解】因为是单位向量，所以有，因为与的夹角等于，所以，所以有，，故答案为：变｜式｜巩｜固【变式7-1】已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C．7 D．【答案】A【详解】因为，且，所以，所以，故选：A.【变式7-2】已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，又直线的方向向量为，所以直线与所成的角的余弦值为.故选：B.【变式7-3】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，均为单位向量，可知，又，则；同理，则，代入，即，解得，则，故选：C.题型08坐标形式解决空间向量的投影向量典｜例｜精｜析【例15】在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A． B． C． D．与t有关【答案】A【详解】因为向量在面上的投影向量为，则.因为在向量上的投影向量为，则，所以.而，可得向量的夹角为.故选：A.【例16】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．【答案】【详解】已知，，则，.故向量在向量上的投影向量为.变｜式｜巩｜固【变式8-1】已知，在的投影向量为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可得：，因为在的投影向量为，所以，即：，且，代入，，化简得：，解得：，所以.【变式8-2】已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.【答案】【详解】由，，，共面，则可设，即有，解得，即，则，故在上的投影向量的模为.【变式8-3】空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________．【答案】【详解】由向量，得，，因此在上的投影向量，所以.故答案为：题型09坐标形式解决空间向量的平行关系典｜例｜精｜析【例17】已知向量，,则___________．【答案】【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得.故答案为：.【例18】已知空间三点.(1)求的面积；(2)若向量，且，求点的坐标.【答案】(1)(2)或【分析】【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点，可得，，可得，因为，所以，所以三角形的面积为.（2）因为，所以，其中，因为，可得，所以，于是或，即点的坐标为或.变｜式｜巩｜固【变式9-1】已知空间两点，向量满足，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．不存在【答案】A【详解】已知，则，因为，，所以，解得.故选：A【变式9-2】正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________．【答案】【详解】因为正四棱台，如图建立空间直角坐标系，则.因为，所以棱台的高为.所以.因为是的中点，所以.设，因为.所以.因为三点共线，所以满足.因为，，则有，解得.所以，所以.故答案为：.【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】选择作为基底，；，由已知点在平面内，即与，共面，可得，又由是的中点，可得，代换可得：；与共线，即，可得：，即，解得.故选：C题型10坐标形式解决空间向量的垂直关系典｜例｜精｜析【例19】已知，，且，则（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】由，可得：，因，则，即：，解得：【例20】已知空间三点，，．若，分别与，垂直，则向量______．【答案】或【详解】解：由题意，．设向量，则有，解得，，或，，，则向量或．故答案为：或．变｜式｜巩｜固【变式10-1】已知点，向量与向量互相垂直，则实数的值为多少？【答案】【详解】∵，，∴，解得．【点睛】本题考查了两个向量垂直则两个向量的数量积为，以及向量的坐标运算，解题的关键是熟练运用向量的坐标运算的公式．【变式10-2】给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________．【答案】或【详解】因为，所以，设，因为向量与向量都垂直，所以，所以，因为，所以，解得，所以的坐标为或，故答案为：或.【变式10-3】在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（

）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】A【详解】，，，，，即，，平面,平面，又，，即，，故选：A．基础通关一、单选题1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为，因为点M到点与到点的距离相等，所以，两边同时平方，解得，所以点M的坐标为.2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】因为点，，所以线段的中点，点关于平面对称的点的坐标为.3．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】B【详解】因为，，所以，，，又向量与夹角的余弦值为，所以，解得.故选：B.4．已知向量满足，，，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】由，，得，由得，，得，则，得，故选：C5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，．方法二：由题意可知，，．堑堵为直三棱柱，且，，．故选：B.二、多选题6．已知空间向量，则（）A． B．向量不是共面向量C． D．【答案】AC【详解】，A正确；设，即，解得，即，所以是共面向量，B错误；，所以，C正确；，D错误.7．在正方体中，设棱长为，则下列结论正确的有（

）A．向量的模长为2 B．向量的坐标为C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为【答案】CD【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误，对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误，对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确，对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则，所以异面直线与所成角为，故D正确.三、填空题8．已知向量，向量，若，则__________．【答案】4【详解】，，，，即，解得．9．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．【答案】/【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线，根据共面向量定理，存在实数，使得，将各向量坐标代入，得，根据向量相等，对应坐标相等，得，解得.10．在正四棱台中，，，，_________．【答案】【详解】由正四棱台中，，，，在侧面中得，由，，设，，，故：．故答案为：四、解答题11．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标；【答案】，，，，【详解】由题可知，，，，，.12．已知向量.(1)求向量的坐标；(2)求与夹角的正弦值.【答案】(1)，(2)【分析】【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以；因为，所以，解得，所以.（2）由（1）得，则，，所以，所以.13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．

【答案】证明见解析【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，四边形ABCD是矩形，∴，∴|PB|＝，∴|PB|＝|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF，∵|PE|＝，|CE|＝，∴|PE|＝|CE|，又F为PC的中点，∴PC⊥EF．素养提升1．已知，，若，以下向量中可以作为的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知，各选项中的向量均不与向量共线，只需考虑、不共线的情形，作，，如下图所示：作，，则、是分别与向量、同向的单位向量，以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，且平分，由向量加法的平行四边形法则可知，且有，因为，且，则，设，即，因为、不共线，则，所以，故，A选项合乎题意，故选：A.2．在空间直角坐标系中，，点在平面内运动，则当取最小值时，的坐标为_________．【答案】【详解】设点，则，是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得，重心坐标为，即．该点在平面上，符合要求．3．如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.

(1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标；(2)在（1）的条件下，在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.【答案】(1)，.(2).【分析】【详解】（1）因为，所以，又，设，则，解得，所以点P的坐标为，故点P关于y轴的对称点的坐标为.（2）由得，故设线段上一点M的坐标为，，则有，当时，最小，所以点M的坐标为.4．已知空间三点，，．(1)求线段中点的坐标，和线段的长度；(2)求直线和直线夹角的余弦值；(3)若点在直线上，且，求点的坐标．【答案】(1)线段中点的坐标为，线段的长度为，(2)直线和直线夹角的余弦值为，(3)点的坐标为.【分析】【详解】（1）因为，，所以线段中点的坐标为，由已知，所以，所以线段的长度为，（2）因为，，，所以，，所以，所以直线和直线夹角的余弦值为，（3）因为，，，所以，因为点在直线上，设，，，因为，所以，所以，解得：，故，所以点的坐标为.5．已知空间四点，，，.(1)若、、、四点共面，求的值；(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由题意，得，,，，，四点共面，存在实数使得，即，则，解得，，，故的值为.（2），，

设直线和直线的夹角为，，

因为，，所以，所以，所以两直线和的夹角余弦值的范围是.6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且.(1)求的长度；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，由题意