1.4.2用空间向量研究距离和夹角(讲义)(原卷版)

第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离和夹角课标要点1.理解点到直线、点到平面距离的向量推导过程，熟记两类距离计算公式。2.掌握平行线、线面、平行平面距离向点距转化的解题思路与转化条件。3.分清异面直线、线面、面面夹角定义，牢记对应向量计算公式与取值范围。4.能结合空间直角坐标系，完整完成距离、空间角的向量计算类题型。学习重难点重点：1.点到直线、点到平面距离向量公式，三类平行距离的等价转化方法。2.异面直线、线面、两平面夹角的向量公式，角度取值范围与符号要求。3.结合坐标运算，利用方向向量、法向量求解空间距离与各类夹角。难点：1.区分线面角公式正弦形式，易和异面直线夹角余弦公式发生混淆。2.区分二面角与两平面夹角，判断法向量夹角取锐角还是钝角。3.点到直线距离利用投影结合勾股定理推导，几何逻辑不易理清。知识点一空间距离的向量求法1.点到直线的距离设直线l单位方向向量为u→，P为直线外一点，A在l上，AP→在l上投影向量为点P到直线l距离公式：|PQ|=________2.点到平面的距离设平面α法向量为n→，P为平面外一点，A点P到平面α距离公式：d=________特别提醒特别提醒两平行线距离：在一条直线上任取一点，转化为该点到另一条直线的距离。直线平行平面的距离：在直线上任取一点，转化为点到平面的距离。两平行平面距离：在一个平面内任取一点，转化为该点到另一平面的距离。即学即练1．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．知识点二空间角的向量求法1.异面直线所成角设异面直线方向向量为a→,b公式：cosθ=|a→⋅b→||a2.直线与平面所成角设直线方向向量a→，平面法向量n→，线面角为公式：sinθ=|a→⋅n→||3.两平面的夹角（二面角锐角/直角）两平面法向量n1→,公式：cosθ=|n1→⋅n2→||特别提醒特别提醒异面直线、线面角、平面夹角公式均要对数量积取绝对值，直接用a→即学即练3．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）4．如图，在三棱锥中，两两垂直，

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值．题型01求点到直线的距离典｜例｜精｜析【例1】已知，，，则点A到直线BC的距离为__________．【例2】在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式1-1】在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【变式1-2】在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．【变式1-3】鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．题型02求点到平面的距离典｜例｜精｜析【例3】已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【例4】如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.

(1)证明：四点共面；(2)设平面与棱的交点为，求点到平面的距离.变｜式｜巩｜固【变式2-1】在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．【变式2-2】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，(1)求证：直线平面；(2)求直线到平面的距离；【变式2-3】如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．

(1)证明：平面；(2)当为时，求点到平面的距离．题型03求异面直线所成角典｜例｜精｜析【例5】如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（

）A． B． C． D．【例6】圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________．变｜式｜巩｜固【变式3-1】在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式3-2】在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________．【变式3-3】如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.(1)求圆柱的表面积；(2)求异面直线与所成角的余弦值.题型04求直线与平面所成的角典｜例｜精｜析【例7】如图，在三棱柱中，平面，，，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【例8】如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．变｜式｜巩｜固【变式4-1】如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点．(1)若，求，，的值；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式4-2】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．(1)求证：平面；(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值．【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.题型05求平面与平面的夹角典｜例｜精｜析【例9】如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（）A． B． C． D．【例10】如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．变｜式｜巩｜固【变式5-1】已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（

）A． B． C． D．【变式5-2】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．

(1)证明：平面；(2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角．【变式5-3】如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示．(1)若平面平面ABCE，证明：平面；(2)若二面角为120°，求二面角的余弦值．题型06已知夹角求参数典｜例｜精｜析【例11】已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______．【例12】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．(1)若，证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值．变｜式｜巩｜固【变式6-1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______．【变式6-2】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）．(1)求证：对任意的，都有；(2)若二面角的大小为，求λ的值．【变式6-3】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长.题型07求夹角的取值范围典｜例｜精｜析【例13】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.

(1)证明：；(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围.【例14】如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．(1)证明：；(2)若，，（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．变｜式｜巩｜固【变式7-1】如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点.(1)若点为的中点，求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.【变式7-3】如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且.(1)当时，证明；(2)当时，求点到平面的距离；(3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围.题型08距离型探索性问题典｜例｜精｜析【例15】如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1(1)证明：MP⊥BH；(2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．【例16】如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求线段的长度；(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．变｜式｜巩｜固【变式8-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．

(1)求平面与平面的夹角余弦值；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式8-2】如图，在四棱锥中，平面，是的中点．(1)求证：平面；(2)若，（i）求平面与平面夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式8-3】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求线段的长度；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．题型09夹角型探索性问题典｜例｜精｜析【例17】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【例18】如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为．(1)求证：；(2)求的长度；变｜式｜巩｜固【变式9-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积；(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．【变式9-2】如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【变式9-3】如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值；(3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．基础通关一、单选题1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（

）A．10 B．3C． D．2．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．3．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（

）A． B． C．2 D．4二、多选题4．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线与平面所成角的大小为D．若，则直线与平面所成角的大小为5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（

）．A． B．与平面所成角为C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为三、填空题6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________.7．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______.8．在四面体中，，且.则二面角的平面角的余弦值为________.四、解答题9．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的大小．10．如图，四棱锥中，底面是梯形，，.(1)证明:平面平面；(2)若,求平面与平面所成二面角的正弦值.11．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．12．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．(1)证明：；(2)若点是中点，求点到平面的距离．13．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点．(1)求直线与平面的夹角；(2)若，平面与交于点，求线段的长度．14．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.

(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.素养提升1．棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________．2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________．3．如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）．(1)证明：平面；(2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，