《最短路径问题》课件

《最短路径问题》1.利用轴对称,平移等变化解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想.学习目标这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将A，B

两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.BlA知识点1两点一线型你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？新知探究如图：点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？BlA作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短．如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短.如图，点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？BlAC你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？BlA如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？B′容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.ABlC你能证明这个结论吗证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.CB′ABlC′如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.ABaB′P跟踪训练新知探究知识点

两线一点型如图,牧马人从A地出发,先到草地边某处牧马,再到河边饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？A新知探究这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象为两条直线.l1l2A你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.l1l2Al1l2A作法：过点A分别作关于直线l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.A1NA2M如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.l1l2AA1NA2M解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△AMN周长的最小值为AM+MN+AN=A1A2.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后去B地开会，最后回到A地，应该怎样走才能使路程最短？B知识点3两线两点型A新知探究这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象为两条直线.l2l1BA你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.l2l1BA作法：分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1，连接A1B1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.B1MA1N关于最短路径问题的类型汇总详见《教材帮》RJ八上13.4最短路径问题新知课.如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形AMNB的周长的最小值为AM+MN+NB+AB=A1B1+AB，依据的是两点之间，线段最短.l2l1BAB1MA1N1.某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.∙CABO随堂练习解：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；（2）作点C关于OB的对称点C2；（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE.所以小明先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.∙CABOC1EC2D2.如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？∙Al1l2B∙解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；（2）作点B关于直线l2的对称点B′；（3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.∙Al1l2B∙B′A′CD1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.随堂练习解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.分析：点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.ACDBE解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求.ACDD′BE2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（）A.BC