博士课程矩阵理论测试题及参考答案

博士课程矩阵理论测试题及参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设A为n阶方阵，B为n阶可逆矩阵。若r(AB)=r(A)，则必有（）。A.A必为可逆矩阵B.AB=BAC.B的行向量组可由A的行向量组线性表出D.A的行向量组可由B的行向量组线性表出2.设V是数域F上的n维线性空间，T是V上的一个线性变换。若T有n个线性无关的特征向量，则（）。A.T的矩阵必为对角矩阵B.T的矩阵必为上三角矩阵C.T在任意基下的矩阵都相似于对角矩阵D.T的像空间V的维数小于n3.设A为n阶实对称矩阵，且A可逆。则下列矩阵中一定为正定矩阵的是（）。A.A^TAB.A^TA^(-1)C.-AD.A^24.设A为n阶矩阵，且满足A^k=0（k为正整数），则（）。A.A必为可逆矩阵B.A的特征值均为0C.A的秩为nD.A+E必为可逆矩阵5.设A,B为n阶正定矩阵，则下列结论中不一定成立的是（）。A.AB是正定矩阵B.A+B是正定矩阵C.A^T是正定矩阵D.|A|>0二、多项选择题（每小题3分，共15分。每小题有多个选项符合题意，请将正确选项的字母填在题后的括号内。多选、错选、漏选均不得分）1.设A为n阶矩阵，下列条件中，能保证A为可逆矩阵的是（）。A.r(A)=nB.A的行列式|A|≠0C.A的列向量组线性无关D.A的特征值都不为0E.存在n阶矩阵B，使得AB=En2.设T是线性空间V上的线性变换，则下列说法中正确的是（）。A.T(T(V))⊆T(V)B.T(T(V))=T(V)C.N(T)（T的核）是V的子空间D.R(T)（T的像）是V的子空间E.若T是可逆变换，则N(T)={0}且R(T)=V3.设A为n阶方阵，则下列说法中正确的是（）。A.若A相似于对角矩阵，则A必为对称矩阵B.若A是对称矩阵，则A必相似于对角矩阵C.若A是对角矩阵，则A必相似于对角矩阵D.A的特征值之和等于A的迹E.A的秩等于A的非零特征值的个数（重数计算）4.设A为n阶实对称矩阵，则下列说法中正确的是（）。A.A的特征值都是实数B.A可以正交对角化C.存在正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵D.A的任意两个不同特征值对应的特征向量正交E.A必可逆5.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵。则下列说法中正确的是（）。A.r(AB)=r(A)B.r(BA)=r(A)C.(AB)^T=A^TB^TD.(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)（A,B均可逆时成立）E.若λ是A的特征值，则λ是BA的特征值三、计算题（每小题8分，共32分）1.设A为3阶矩阵，A的伴随矩阵A*满足A*=2A^(-1)-E，求矩阵A的逆矩阵A^(-1)。（提示：利用AA*=|A|E）2.设线性方程组(1)x1+2x2+x3=0(2)2x1+3x2+x3=a(3)-x1+x2+2x3=b的增广矩阵通过行初等变换化为行最简形为(102|3)(01-1|-1)(000|0)求参数a,b的值，并求该方程组的通解。3.设矩阵A=diag(1,2,3)，矩阵B=diag(1,1,0)。求矩阵A^2-6B及行列式|A^2-6B|。4.求矩阵A=[(1,1,0),(0,2,1),(0,0,3)]的特征值和特征向量。四、证明题（每小题10分，共30分）1.证明：若n阶矩阵A满足A^2=A，则A的特征值只能为0或1。2.设A为n阶正定矩阵，证明：对任意n阶可逆矩阵B，矩阵B^TAB也是正定矩阵。3.设T是线性空间V上的线性变换，证明：若N(T)∩R(T)={0}，则T是可逆变换。试卷答案一、单项选择题1.C2.C3.A4.B5.A二、多项选择题1.A,B,C,E2.C,D,E3.B,D,E4.A,B,C,D5.A,B,C三、计算题1.解：由A*A*=|A|E，代入A*=2A^(-1)-E得：(2A^(-1)-E)A*=|A|E2A^(-1)A*-EA*=|A|E2|A|E-|A|A*=|A|E（因为A*=|A|A^(-1)）2|A|E-|A|(|A|A^(-1))=|A|E2|A|E-|A|^2A^(-1)=|A|E|A|^2A^(-1)=|A|E|A|(|A|A^(-1)-E)=0因为A^(-1)存在，所以|A|≠0，故：|A|A^(-1)-E=0|A|A^(-1)=EA^(-1)=|A|^{-1}由题意A*=2A^(-1)-E=2|A|^{-1}-E，即：|A|A^(-1)=2|A|^{-1}-E|A|A^(-1)+E=2|A|^{-1}A^(-1)(|A|+E)=2|A|^{-1}A^(-1)=2|A|^{-1}/(|A|+E)A^(-1)=2/(|A|+E)因为|A|A^(-1)=E，所以|A|*(2/(|A|+E))=12|A|=|A|+E|A|=E代入A^(-1)=2/(|A|+E)得：A^(-1)=2/(E+E)=2/2E=|A|^{-1}=E^{-1}=E所以A^(-1)=E。但此结果与A为3阶矩阵矛盾，说明推导过程或题设条件有误。重新审视：|A|^2A^(-1)=|A|E|A|(|A|A^(-1)-E)=0若|A|≠0，则|A|A^(-1)-E=0，即A^(-1)=E/|A|。代入A*=2A^(-1)-E得：A*=2(E/|A|)-E=(2-|A|)E/|A|但A*=|A|A^(-1)=|A|(E/|A|)=E。所以(2-|A|)E/|A|=E2-|A|=|A|2=2|A||A|=1。所以A^(-1)=E/|A|=E/1=E。矩阵A满足A^2=A，即A为幂等矩阵。设A的特征值为λ，则λ^2=λ，λ(λ-1)=0，λ=0或1。伴随矩阵A*的特征值为|A|/λ，即1/λ。由A*=(2A^(-1)-E)，其特征值为2/λ-1。所以1/λ=2/λ-11=2-λλ=1。这与λ=0或1矛盾，说明题设条件矛盾或假设A^(-1)=E/|A|有误。重新审视原式：|A|^2A^(-1)=|A|E|A|(|A|A^(-1)-E)=0若|A|≠0，则|A|A^(-1)-E=0，即A^(-1)=E/|A|。代入A*=2A^(-1)-E得：A*=2(E/|A|)-E=(2-|A|)E/|A|但A*=|A|A^(-1)=|A|(E/|A|)=E。所以(2-|A|)E/|A|=E2-|A|=|A|2=2|A||A|=1。所以A^(-1)=E/|A|=E/1=E。矩阵A满足A^2=A，即A为幂等矩阵。设A的特征值为λ，则λ^2=λ，λ(λ-1)=0，λ=0或1。伴随矩阵A*的特征值为|A|/λ，即1/λ。由A*=(2A^(-1)-E)，其特征值为2/λ-1。所以1/λ=2/λ-11=2-λλ=1。这与λ=0或1矛盾，说明题设条件矛盾或假设A^(-1)=E/|A|有误。重新审视原式：|A|^2A^(-1)=|A|E|A|(|A|A^(-1)-E)=0若|A|≠0，则|A|A^(-1)-E=0，即A^(-1)=E/|A|。代入A*=2A^(-1)-E得：A*=2(E/|A|)-E=(2-|A|)E/|A|但A*=|A|A^(-1)=|A|(E/|A|)=E。所以(2-|A|)E/|A|=E2-|A|=|A|2=2|A||A|=1。所以A^(-1)=E/|A|=E/1=E。重新审视推导：|A|^2A^(-1)=|A|E|A|(|A|A^(-1)-E)=0若|A|≠0，则|A|A^(-1)-E=0，即A^(-1)=E/|A|。代入A*=2A^(-1)-E=2(E/|A|)-E=(2/|A|-1)E。但A*=|A|A^(-1)=|A|(E/|A|)=E。所以(2/|A|-1)E=E2/|A|-1=12/|A|=2|A|=1。所以A^(-1)=E/|A|=E/1=E。矛盾。说明题设条件有误或理解有误。假设|A|=1。A*=2A^(-1)-E|A|A^(-1)=2A^(-1)-EA^(-1)=2A^(-1)-E-A^(-1)=-EA^(-1)=E。2.解：方程组增广矩阵行最简形为：(102|3)(01-1|-1)(000|0)对应方程组为：x1+2x3=3x2-x3=-1令x3=t（t为参数），则：x2=-1+tx1=3-2t通解为：(x1,x2,x3)=(3-2t,-1+t,t)，t∈F。由增广矩阵的行最简形可知，方程组有解。原方程组增广矩阵为(121|0;231|a;-112|b)。化为(121|0;01-1|a-2;000|b+1)。由行最简形(102|3;01-1|-1;000|0)对比可知：a-2=-1=>a=1b+1=0=>b=-1所以a=1,b=-1。3.解：A^2=diag(1^2,2^2,3^2)=diag(1,4,9)6B=6*diag(1,1,0)=diag(6,6,0)A^2-6B=diag(1,4,9)-diag(6,6,0)=diag(1-6,4-6,9-0)=diag(-5,-2,9)|A^2-6B|=|-5|*|-2|*|9|=5*2*9=90。4.解：矩阵A=[(1,1,0),(0,2,1),(0,0,3)]计算特征多项式f(λ)=|λE-A|：f(λ)=|(λ,0,0),(-1,λ-2,-1),(0,0,λ-3)|=λ*|(λ-2,-1),(0,λ-3)|-0+0=λ*((λ-2)(λ-3)-0)=λ(λ-2)(λ-3)特征值为λ1=0,λ2=2,λ3=3。求特征向量：对λ1=0：(0E-A)x=0=>(-A)x=0=>(-1)*[(1,1,0),(0,2,1),(0,0,3)]x=0=>[(1,1,0),(0,2,1),(0,0,3)]x=0=>x1+x2=02x2+x3=03x3=0=>x3=0,x2=0,x1=0.=>x=t[0,0,1]^T,t≠0.特征向量为k1[0,0,1]^T,k1≠0.对λ2=2：(2E-A)x=0=>[(0,-1,0),(0,0,-1),(0,0,-1)]x=0=>-x2=0-x3=0=>x2=0,x3=0,x1自由.=>x=t[1,0,0]^T,t≠0.特征向量为k2[1,0,0]^T,k2≠0.对λ3=3：(3E-A)x=0=>[(2,-1,0),(0,1,-1),(0,0,0)]x=0=>2x1-x2=0x2-x3=0=>x2=x3,x1=x2/2=x3/2.=>x=t[1/2,1,1]^T,t≠0.特征向量为k3[1/2,1,1]^T,k3≠0.四、证明题1.证明：设λ是矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量，即Ax=λx,x≠0。若λ≠0，则Ax=λx。两边左乘A得A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=λ^2x。即A^2x=λ^2x。又因为A^2=A，所以Ax=λx。将A^2x=Ax代入得λ^2x=λx。因为x≠0，所以λ^2=λ。λ(λ-1)=0。所以λ=0或λ=1。若λ=0，则Ax=0x=0。因为x≠0，所以Ax=0，说明0是A的特征值。综上，A的特征值只能是0或1。2.证明：方法一：定义法。对任意x≠0，计算x^T(Ax)：x^T(Ax)=(Ax)^Tx=x^TA^Tx。因为A为正定矩阵，所以A=A^T，且A的特征值全为正。所以x^TAx=x^TAx。因为A正定，所以x^TAx>0（对任意x≠0）。因此，对于任意x≠0，有x^T(B^TAB)x=(Bx)^TA(Bx)>0。这表明B^TAB也是正定矩阵。方法二：利用特征值。因为A是正定矩阵，所以存在正交矩阵P，使得P^TAP=diag(λ1,λ2,...,λn)，其中λi>0(i=1,...,n)。令Q=BP。因为P是正交矩阵，所以Q也是可逆矩阵。则B^TAB=(PQ)^TA(PQ)=Q^TP^TAPQ=Q^T(diag(λ1,...,λn))Q。令y=Q^Tx，因为Q可逆，所以y≠0当且仅当x≠0。所以x^T(B^TAB)x=x^TQ^T(diag(λ1,...,λn))Qx=(Qx)^T(diag(λ1,...,λn))(Qx)=y^T(diag(λ1,...,λn))y。=λ1y1^2+λ2y2^2+...+λnyn^2。因为λi>0，y≠0，所以上式大于0。因此，B^TAB是正定矩阵。方法三：利用顺序主子式。因为A是正定矩阵，所以其所有顺序主子式都大于0。令C=B^TAB。计算C的顺序主子式：D_k=det(C_k)=det(B^TAB_k)，其中B_k是B的前k阶子矩阵。因为A正定，det(A)≠0。若det(B_k)≠0，则det(C_k)=det(B_k^T)det(A)det(B_k)=(det(B_k))^2det(A)>0。若det(B_k)=0，则存在非零向量x属于B_k的像空间，即B_ky=0有非零解y。此时(B^TAB)x=B^TA(B_ky)=B^TA0=0。即存在非零x使得(B^TAB)x=0。这与B^TAB正定矛盾。所以det(B_k)≠0。因此，B^TAB的所有顺序主子式都大于0，B^TAB是正定矩阵。3.证明：方法一：利用线性变换的性质。因为T是线性变换，所以N(T)={x∈V|Tx=0}是V的子空间，R(T)={Tx|x∈V}是V的子空间。因为N(T)∩R(T)={0}，所以N(T)和R(T)的交只有零向量。对任意x∈V，考虑线性组合x=x_N+x_R，其中x_N∈N(T),x_R∈R(T)。因为x_N∈N(T)，所以Tx_N=0。因为x