2026年江苏省部编版高二数学第5章综合练习题

2026年江苏省部编版高二数学第5章综合练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若存在实数a使得f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(-1，+∞)D．(-1，0)∪(0，1)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1。当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(-1)不存在，故g(x)在(-1，+∞)上仅有一个零点0，因此a=0。正确答案为B。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故M=2，m=-4，M+m=-2。注意题目要求M+m而非M-m，正确答案为D。3.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则a₁+a₂+…+a₅的值为（）A．31B．63C．127D．255解析：由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n。因此a_n=2^n-1，a₁+a₂+…+a₅=(2^1-1)+(2^2-1)+…+(2^5-1)=2^1+2^2+…+2^5-5=32-5=27。正确答案为B。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且a=3，b=4，则△ABC的面积为（）A．6B．6√2C．12D．12√2解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。故△ABC为直角三角形，面积S=1/2×3×4=6。正确答案为A。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y-12=0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)-12|/√(3²+4²)=|-1|/5=1/5<2，故直线与圆相交。正确答案为C。6.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2，1]时，f(x)取最小值1-2=3。正确答案为C。7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．π/2D．-π/4解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最大值，即2×π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，解得φ=π/4+kπ。当k=0时，φ=π/4。正确答案为A。8.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．eC．e-1D．1/e解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。正确答案为B。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1，2]，故最小值在x=1处取得，f(1)=1-2+3=2。正确答案为B。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n²-3n+1，则a₅的值为（）A．21B．23C．25D．27解析：a₅=S₅-S₄=(2×5²-3×5+1)-(2×4²-3×4+1)=41-25=16。正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m=________。参考答案：4解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故M=2，m=-4，M-m=6。2.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则a₅=________。参考答案：31解析：由a_n+1=2a_n+1得a_n=2^n-1，故a₅=2^5-1=31。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且a=3，b=4，则cosB=________。参考答案：1/2解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。故△ABC为直角三角形，cosB=4/5。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心到直线l：3x-4y-12=0的距离为________。参考答案：2√5/5解析：圆心(1，-2)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)-12|/√(3²+4²)=|-1|/5=1/5<2，故直线与圆相交。5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最大值为________。参考答案：4解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈(-∞，-2)时，f(x)取最大值3+2=5。6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则sinφ=________。参考答案：√2/2解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最大值，即2×π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，解得φ=π/4+kπ。当k=0时，sinφ=√2/2。7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f'(1)=________。参考答案：0解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。8.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最大值是________。参考答案：6解析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1，2]，故最大值在x=-1处取得，f(-1)=6。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n²-3n+1，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=________。参考答案：55解析：a₁=S₁=0，a₂=S₂-S₁=5，a₃=S₃-S₂=12，a₄=S₄-S₃=19，a₅=S₅-S₄=26，故和为0+5+12+19+26=62。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f'(1)=________。参考答案：0解析：f'(x)=3x²-6x，f'(1)=3-6=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=0。（×）解析：M=2，m=-4，M+m=-2≠0。2.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则{a_n}是等比数列。（×）解析：{a_n+1}是等比数列，但{a_n}是等差数列。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，则△ABC为直角三角形。（√）解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y-12=0与圆C相切。（×）解析：圆心到直线l的距离d=1/5<2，故直线与圆相交。5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为3。（×）解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2，1]时，f(x)取最小值3。6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ=π/4。（√）解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最大值，即2×π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，解得φ=π/4+kπ。当k=0时，φ=π/4。7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。（√）解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。8.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[-1，2]上的最小值是2。（×）解析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1，2]，故最小值在x=1处取得，f(1)=2。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n²-3n+1，则a₅=31。（√）解析：a₅=S₅-S₄=31-25=6。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f'(x)在x=1处取得极值。（×）解析：f'(x)=3x²-6x，f'(1)=0为拐点，非极值点。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，3]上的单调区间。解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。当x∈(-1，0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，3)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故单调增区间为(-1，0)∪(2，3)，单调减区间为(0，2)。2.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，求a₅的值。解：由a_n+1=2a_n+1得a_n=2^n-1，故a₅=2^5-1=31。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且a=3，b=4，求△ABC的面积。解：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。故△ABC为直角三角形，面积S=1/2×3×4=6。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值范围。解：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2，1]时，f(x)取最小值3。故最小值为3，取得最小值时的x的取值范围为[-2，1]。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-4。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n²-3n+1，求a₅的值。解：a₅=S₅-S₄=(2×5²-3×5+1)-(2×4²-3×4+1)=41-25=16。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且a=3，b=4，求△ABC的周长。解：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。故△ABC为直角三角形，设c=x，则3²=4²+x²，解得x=5。周长为3+4+5=12。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3，3]上的最大值与最小值。解：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-3，-2]时，f(x)=3+x；当x∈[-2，1]时，f(x)=3；当x∈[1，3]时，f(x)=x+1。故最小值为3，最大值为6。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.D3.B4.A5.C6.C7.A8.B9.B10.D二、填空题1.42.313.1/24.2√5/55.56.√2/27.08.69.6210.0三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.单调增区间(-1，0)∪(2，3)，单调减区间(0，2)2.a₅=313.面积64.最小值3，x∈[-2，1]五、应用题1.最大值2，最小值-42.a₅=163.周长124.最小值3，最大值6【解析】一、单选题1.由f(a)=0得ln(a+1)=a，令g(x)=ln(x+1)-x，g'(x)=1/(x+1)-1，g(x)在(-1，0)单调递增，在(0，+∞)单调递减，g(0)=0，故a=0。2.f'(x)=3x²-6x，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故M=2，m=-4，M+m=6。3.a_n=2^n-1，a₅=31。4.由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。5.f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2，1]时，f(x)取最小值3。6.sin(2x+φ)在x=π/4时取得最大值，即2×π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，解得φ=π/4+kπ。当k=0时，sinφ=√2/2。7.f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。8.f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1，2]，故最小值在x=1处取得，f(1)=2。9.a₁=S₁=0，a₂=S₂-S₁=5，a₃=S₃-S₂=12，a₄=S₄-S₃=19，a₅=S₅-S₄=26，故和为62。10.f'(x)=3x²-6x，f'(1)=3-6=0。二、填空题1.M=2，m=-4，M+m=-2。2.a₅=2^5-1=31。3.由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。4.圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)-12|/√(3²+4²)=|-1|/5=1/5<2，故直线与圆相交。5.f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈(-∞，-2)时，f(x)取最大值3+2=5。6.sin(2x+φ)在x=π/4时取得最大值，即2×π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，解得φ=π/4+kπ。当k=0时，sinφ=√2/2。7.f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。8.f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1，2]，故最小值在x=1处取得，f(1)=2。9.a₁=S₁=0，a₂=S₂-S₁=5，a₃=S₃-S₂=12，a₄=S₄-S₃=19，a₅=S₅-S₄=26，故和为62。10.f'(x)=3x²-6x，f'(1)=3-6=0。三、判断题1.×，M+m=-2。2.×，{a_n}是等差数列。3.√，由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得cosA=0，即A=90°。4.×，圆心到直线l的距离d=1/5<2，故直线与圆相交。5.×，f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2，1]时，f(x)取最小值3。6.√，sin(2x+φ)在x=π/4时取得最大值，即2×π/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，解得φ=π/4+kπ。当k=0时，φ=π/4。7.√，f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，解得a=e。8.×，f(x)为开口向上的抛物线，对称轴x=1∈[-1，2]，故最小值在x=1处取得，f(1)=2。9.√，a₅=S₅-S₄=31-25=6。10.×，f'(x)=3x²-6x，f'(1)=0为拐点，非极值点