2025-2026年江苏省人教版高二数学第八十七章复数与数列综合练习题

2025-2026年江苏省人教版高二数学第八十七章复数与数列综合练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复平面内，复数z=3+2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数z=3+2i的实部为3，虚部为2，且实部和虚部均为正数，因此对应的点位于第一象限。2.若复数z满足|z|=5且arg(z)=π/3，则z的代数形式为（）A.5cos(π/3)+5isin(π/3)B.5√3+5iC.-5/2+5√3/2iD.5/2+5√3/2i解析：根据复数的三角形式，z=|z|cosθ+|z|isinθ，代入|z|=5，θ=π/3，得z=5cos(π/3)+5isin(π/3)=5/2+5√3/2i。3.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）A.14B.16C.18D.20解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=2，a_3=8，得8=2+2d，解得d=3。因此a_5=2+4×3=14。4.等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=1，q=2，则S_4的值为（）A.15B.31C.63D.127解析：等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=2，n=4，得S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=15。5.若复数z=1+i，则z^2的值为（）A.2B.0C.-2D.2i解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。6.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+3，且c_1=5，则c_10的值为（）A.28B.32C.35D.38解析：数列{c_n}是等差数列，公差d=3，首项c_1=5。由等差数列的通项公式c_n=c_1+(n-1)d，得c_10=5+9×3=32。7.若复数z满足z^2=4i，则z的模长为（）A.2B.2√2C.4D.4√2解析：设z=a+bi，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=4i。比较实部和虚部，得a^2-b^2=0，2ab=4，解得a=b=±√2。因此|z|=√(a^2+b^2)=√(2^2+2^2)=2√2。8.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则d_5的值为（）A.25B.27C.29D.31解析：d_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。因此d_5=4×5-5=15。9.若复数z=2-3i，则|z|^2的值为（）A.13B.13iC.-13D.13解析：|z|^2=(2-3i)(2+3i)=2^2-3^2i^2=4+9=13。10.已知数列{e_n}是等比数列，e_1=3，e_4=81，则e_2的值为（）A.9B.27C.243D.729解析：等比数列的通项公式为e_n=e_1q^(n-1)，其中q为公比。由e_1=3，e_4=81，得81=3q^3，解得q=3。因此e_2=3×3=9。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则arg(z)的值为______。参考答案：π/4解析：复数z=1+i对应的点位于第一象限，其辐角为π/4。2.已知数列{f_n}是等差数列，f_1=1，f_2=4，则f_10的值为______。参考答案：19解析：等差数列的通项公式为f_n=f_1+(n-1)d，其中d为公差。由f_1=1，f_2=4，得d=3。因此f_10=1+9×3=28。3.若复数z=2+3i，则z的代数形式为______。参考答案：2+3i解析：复数z已经给出为代数形式2+3i。4.已知数列{g_n}是等比数列，g_1=2，g_3=16，则g_5的值为______。参考答案：128解析：等比数列的通项公式为g_n=g_1q^(n-1)，其中q为公比。由g_1=2，g_3=16，得16=2q^2，解得q=2。因此g_5=2×2^4=32。5.若复数z=1-i，则|z|的值为______。参考答案：√2解析：|z|=√(1^2+(-1)^2)=√2。6.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则h_3的值为______。参考答案：7解析：h_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。因此h_3=2×3=6。7.若复数z=3-4i，则z的共轭复数为______。参考答案：3+4i解析：复数z=3-4i的共轭复数为3+4i。8.已知数列{i_n}是等差数列，i_1=0，i_5=10，则i_10的值为______。参考答案：20解析：等差数列的通项公式为i_n=i_1+(n-1)d，其中d为公差。由i_1=0，i_5=10，得d=2。因此i_10=0+9×2=18。9.若复数z=4i，则z^3的值为______。参考答案：-64解析：z^3=(4i)^3=64i^3=64(-i)=-64。10.已知数列{j_n}是等比数列，j_1=1，j_4=16，则j_2的值为______。参考答案：4解析：等比数列的通项公式为j_n=j_1q^(n-1)，其中q为公比。由j_1=1，j_4=16，得16=1q^3，解得q=2。因此j_2=1×2=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/2，则z的代数形式为i。（√）解析：根据复数的三角形式，z=|z|cosθ+|z|isinθ，代入|z|=1，θ=π/2，得z=1cos(π/2)+1isin(π/2)=i。2.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。（×）解析：等差数列的前n项和S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，是关于n的一次函数。3.若复数z_1=3+2i，z_2=2-3i，则z_1+z_2=5。（√）解析：z_1+z_2=(3+2i)+(2-3i)=5-i。4.等比数列的任意两项之比等于公比。（√）解析：等比数列的定义是相邻两项之比等于公比。5.若复数z=1+i，则|z|^2=2i。（×）解析：|z|^2=(1+i)(1-i)=1^2-1^2i^2=1+1=2。6.数列{a_n}是等差数列，若a_1=1，a_2=3，则a_3=5。（√）解析：等差数列的公差d=a_2-a_1=3-1=2。因此a_3=a_2+d=3+2=5。7.等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=1，q=2，则S_4=8。（×）解析：等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=2，n=4，得S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=15。8.若复数z=2-3i，则z的共轭复数为-2+3i。（×）解析：复数z=2-3i的共轭复数为2+3i。9.数列{c_n}是等差数列，若c_1=2，c_3=8，则c_5=14。（√）解析：等差数列的公差d=c_3-c_1=8-2=6。因此c_5=c_3+2d=8+2×6=20。10.等比数列{d_n}的前n项和为S_n，若d_1=1，q=3，则S_5=121。（×）解析：等比数列的前n项和公式为S_n=d_1(1-q^n)/(1-q)，代入d_1=1，q=3，n=5，得S_5=1×(1-3^5)/(1-3)=121。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知复数z=3+2i，求z的模长和辐角主值。解：|z|=√(3^2+2^2)=√13。设arg(z)=θ，则tanθ=2/3，θ∈(0,π)。因此arg(z)=arctan(2/3)。2.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=5，a_4=11，求a_10。解：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=5，a_4=11，得11=5+3d，解得d=2。因此a_10=5+9×2=23。3.已知数列{b_n}是等比数列，b_1=2，b_3=8，求b_5。解：等比数列的通项公式为b_n=b_1q^(n-1)，其中q为公比。由b_1=2，b_3=8，得8=2q^2，解得q=2。因此b_5=2×2^4=32。4.已知复数z_1=1+i，z_2=3-2i，求z_1z_2的值。解：z_1z_2=(1+i)(3-2i)=3-2i+3i-2i^2=3+i+2=5+i。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知复数z满足|z|=5且arg(z)=π/3，求z^2的值。解：设z=5cos(π/3)+5isin(π/3)=5/2+5√3/2i。z^2=(5/2+5√3/2i)^2=25/4+25√3/2i+75/4i^2=25/4+25√3/2i-75/4=-25+25√3/2i。2.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_3=8，求该数列的前10项和S_10。解：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=2，a_3=8，得8=2+2d，解得d=3。等差数列的前n项和公式为S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)。因此S_10=10/2(2×2+(10-1)×3)=5(4+27)=145。3.已知数列{b_n}是等比数列，b_1=3，b_4=81，求该数列的前5项和S_5。解：等比数列的通项公式为b_n=b_1q^(n-1)，其中q为公比。由b_1=3，b_4=81，得81=3q^3，解得q=3。等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)。因此S_5=3×(1-3^5)/(1-3)=3×(1-243)/(-2)=3×121=363。4.已知复数z=2-3i，求z^3的值。解：z^2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=4-12i-9=-5-12i。z^3=z×z^2=(2-3i)(-5-12i)=-10-24i+15i+36i^2=-10-9i-36=-46-9i。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.A4.A5.C6.B7.B8.A9.D10.A解析：2.复数z=3+2i的实部为3，虚部为2，位于第一象限。3.z=5cos(π/3)+5isin(π/3)=5/2+5√3/2i。4.a_n=2+3(n-1)=3n-1，a_5=14。5.S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=15。6.z^2=(1+i)^2=2i。7.c_n=5+3(n-1)=3n+2，c_10=32。8.|z|=√(2^2+3^2)=√13。9.d_n=2n-3，d_5=7。10.|z|^2=(2-3i)(2+3i)=13。11.q=3，e_2=3×3=9。二、填空题1.π/42.193.2+3i4.1285.√26.77.3+4i8.209.-6410.4解析：2.第一象限辐角为π/4。3.d=3，a_10=28。4.z=2+3i。5.q=2，g_5=32。6.|z|=√2。7.h_n=2n，h_3=6。8.共轭复数为3+4i。9.d=2，i_10=18。10.z^3=-64。11.q=2，j_2=2。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.×8.×9.√10.×解析：2.z=i。3.S_n=n^2+n，是二次函数。4.z_1