2025-2026年广东省苏教版高二数学必修第二册第12单元同步练习题

2025-2026年广东省苏教版高二数学必修第二册第12单元同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学必修第二册第12单元中，关于极坐标方程ρ=4cosθ的几何意义，下列说法正确的是（）A.表示以原点为圆心，半径为4的圆B.表示以（2，0）为圆心，半径为2的圆C.表示以（4，π/2）为圆心，半径为4的圆D.表示以（2，π/2）为圆心，半径为2的圆参考答案：B解析：极坐标方程ρ=4cosθ可转化为直角坐标方程ρ²=4ρcosθ，即x²+y²=4x，整理得（x-2）²+y²=4，表示以（2，0）为圆心，半径为2的圆。选项A错误，ρ=4表示半径为4的圆；选项C错误，圆心坐标应为（2，0）；选项D错误，圆心坐标与半径均错误。2.在第12单元中，若点P的极坐标为（6，5π/3），则将其转换为直角坐标后，点P到直线x-y=1的距离为（）A.√10/2B.√13/2C.√15/2D.√17/2参考答案：C解析：点P的直角坐标为（6cos5π/3，6sin5π/3），即（3，-3√3）。直线x-y=1的法向量为（1，-1），点P到直线的距离公式为|3-（-3√3）|/√2=3√3/√2=3√6/2，化简得√15/2。选项A、B、D计算错误。3.第12单元中，关于参数方程x=t²+1，y=2t-1，下列说法正确的是（）A.表示一条直线B.表示一条抛物线C.表示一条射线D.无法表示为普通方程参考答案：B解析：消去参数t，由y=2t-1得t=(y+1)/2，代入x=t²+1得x=((y+1)/2)²+1，即x=(y²+2y+1)/4+1，整理得y²+2y-4x+3=0，为抛物线方程。选项A、C、D错误。4.在第12单元中，若直线l的参数方程为x=1+2t，y=-3+4t，则直线l的斜率为（）A.2B.4C.-2D.-4参考答案：A解析：参数方程可表示为y=-2x+5，斜率为-2/1=-2。选项A正确。5.第12单元中，关于极坐标方程ρ²=4ρcosθ+3，下列说法正确的是（）A.表示以（-2，π/2）为圆心，半径为2的圆B.表示以（2，π/2）为圆心，半径为2的圆C.表示以（-2，0）为圆心，半径为√3的圆D.表示两条直线参考答案：C解析：方程可化为ρ²-4ρcosθ-3=0，即ρ=4cosθ±√（16cos²θ+12），整理得（x+2）²+y²=3，表示以（-2，0）为圆心，半径为√3的圆。选项A、B、D错误。6.在第12单元中，若曲线C的参数方程为x=3cosθ，y=4sinθ（0≤θ≤2π），则曲线C的面积为（）A.6πB.12πC.24πD.48π参考答案：B解析：曲线为椭圆，面积公式为πab=π×3×4=12π。选项A、C、D计算错误。7.第12单元中，关于极坐标方程ρsinθ=2，下列说法正确的是（）A.表示一条水平直线B.表示一条垂直直线C.表示一个圆D.表示两条射线参考答案：B解析：直角坐标方程为y=2，表示一条水平直线。选项A、C、D错误。8.在第12单元中，若点A的极坐标为（4，π/4），点B的极坐标为（2，π/2），则|AB|的长度为（）A.√10B.√18C.√26D.√30参考答案：C解析：点A（4cosπ/4，4sinπ/4）即（2√2，2√2），点B（2cosπ/2，2sinπ/2）即（0，2），|AB|=√（（2√2-0）²+（2√2-2）²）=√（8+4）=√12=√26。选项A、B、D计算错误。9.第12单元中，关于参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t≠0），下列说法正确的是（）A.表示一条双曲线B.表示一条抛物线C.表示一条直线D.无法表示为普通方程参考答案：A解析：消去参数t，由x+y=2/t，x-y=2/t得x+y=x-y，矛盾，故为双曲线。选项B、C、D错误。10.在第12单元中，若直线l的极坐标方程为θ=π/3（ρ∈R），则直线l的直角坐标方程为（）A.y=xB.y=-xC.y=√3xD.y=-√3x参考答案：C解析：直角坐标方程为y=√3x。选项A、B、D错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在第12单元中，极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲线为__________。参考答案：圆解析：方程可化为ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，即x²+y²=2y+4x，整理得（x-2）²+(y-1)²=5，表示以（2，1）为圆心，半径为√5的圆。2.第12单元中，参数方程x=2cosθ+1，y=2sinθ-1（0≤θ≤2π）表示的曲线的普通方程为__________。参考答案：（x-1）²+(y+1)²=4解析：消去参数θ，由x-1=2cosθ，y+1=2sinθ得（x-1）²+(y+1)²=4。3.在第12单元中，极坐标方程ρcos(θ-π/4)=√2表示的直线的直角坐标方程为__________。参考答案：x+y=2解析：方程可化为ρ（√2/2cosθ+√2/2sinθ）=√2，即x+y=2。4.第12单元中，点P的极坐标为（5，π/6），则其直角坐标为__________。参考答案：（5√3/2，5/2）解析：x=5cosπ/6=5√3/2，y=5sinπ/6=5/2。5.在第12单元中，曲线C的参数方程为x=t²-1，y=2t+1（t∈R），则曲线C的普通方程为__________。参考答案：y²=8x+8解析：消去参数t，由y=2t+1得t=(y-1)/2，代入x=t²-1得x=((y-1)/2)²-1，整理得y²=8x+8。6.第12单元中，极坐标方程ρ=4cosθ-3sinθ表示的曲线的圆心坐标为__________。参考答案：（3，-2）解析：方程可化为ρ²=4ρcosθ-3ρsinθ，即x²+y²=4x-3y，整理得（x-2）²+(y+3/2)²=13/4，圆心为（2，-3/2）。7.在第12单元中，直线l的参数方程为x=1+3t，y=2-4t（t∈R），则直线l的斜率为__________。参考答案：4解析：斜率为-4/3。8.第12单元中，极坐标方程ρ=0表示的图形为__________。参考答案：原点解析：表示仅包含原点的图形。9.在第12单元中，参数方程x=cos²θ，y=sin²θ（0≤θ≤2π）表示的曲线的普通方程为__________。参考答案：x+y=1解析：由sin²θ=1-cos²θ得x+y=1。10.第12单元中，点A的极坐标为（3，π/2），点B的极坐标为（4，π/4），则|AB|的长度为__________。参考答案：√13解析：点A（0，3），点B（4√2/2，4√2/2）即（2√2，2√2），|AB|=√（（0-2√2）²+（3-2√2）²）=√（8+1）=√9=3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在第12单元中，极坐标方程ρ=2cosθ表示的曲线是一个圆。（）参考答案：正确解析：直角坐标方程为x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1，表示以（1，0）为圆心，半径为1的圆。2.第12单元中，参数方程x=t+1，y=t²表示的曲线是一条抛物线。（）参考答案：错误解析：消去参数t，由y=t²得t=√y，代入x=t+1得x=√y+1，无法表示为普通方程。3.在第12单元中，极坐标方程ρsinθ=1表示的直线平行于x轴。（）参考答案：错误解析：直角坐标方程为y=1，表示一条水平直线。4.第12单元中，参数方程x=2cosθ，y=2sinθ（0≤θ≤π）表示的曲线是一个半圆。（）参考答案：正确解析：消去参数θ得x²+y²=4，且θ∈[0，π]，表示上半圆。5.在第12单元中，极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是一个圆。（）参考答案：正确解析：直角坐标方程为x²+y²=4y，即（x-0）²+(y-2)²=4，表示以（0，2）为圆心，半径为2的圆。6.第12单元中，参数方程x=t，y=1/t（t≠0）表示的曲线是一条双曲线。（）参考答案：正确解析：消去参数t得xy=1，为双曲线方程。7.在第12单元中，极坐标方程ρ=π/4表示的图形是一个圆。（）参考答案：错误解析：ρ为常数表示射线。8.第12单元中，直线l的参数方程为x=1+t，y=2-t（t∈R），则直线l经过点（1，2）。（）参考答案：正确解析：当t=0时，x=1，y=2。9.在第12单元中，极坐标方程ρ=2cosθ+2sinθ表示的曲线是一个圆。（）参考答案：正确解析：方程可化为ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，即x²+y²=2x+2y，整理得（x-1）²+(y-1)²=2，表示以（1，1）为圆心，半径为√2的圆。10.第12单元中，参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ∈R）表示的曲线是一个圆。（）参考答案：正确解析：消去参数θ得x²+y²=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.在第12单元中，已知点A的极坐标为（4，π/3），点B的极坐标为（3，π/6），求|AB|的长度。解答：点A的直角坐标为（4cosπ/3，4sinπ/3）即（2，2√3），点B的直角坐标为（3cosπ/6，3sinπ/6）即（3√3/2，3/2），|AB|=√（（2-3√3/2）²+（2√3-3/2）²）=√（（4-3√3）²/4+（8√3-3）²/4）=√（（16-24√3+27+64-48√3+9）/4）=√（116-72√3）/4=√29-18√3/2。2.第12单元中，已知曲线C的参数方程为x=2cosθ，y=3sinθ（0≤θ≤2π），求曲线C的普通方程。解答：消去参数θ，由x/2=cosθ，y/3=sinθ得x²/4+y²/9=1，为椭圆方程。3.在第12单元中，已知直线l的极坐标方程为θ=π/2（ρ∈R），求直线l的直角坐标方程。解答：直角坐标方程为x=0，表示y轴。4.第12单元中，已知点P的极坐标为（5，π/4），求点P到直线x+y=1的距离。解答：点P的直角坐标为（5cosπ/4，5sinπ/4）即（5√2/2，5√2/2），距离公式为|5√2/2+5√2/2-1|/√2=|5√2-1|/√2=5-1/√2=5√2-1/2。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在第12单元中，已知曲线C的参数方程为x=t²-2t，y=t²+2t（t∈R），求曲线C的普通方程。解答：消去参数t，由y=x+4t得t=(y-x)/4，代入x=t²-2t得x=((y-x)/4)²-2((y-x)/4)，整理得x²-4x-y²-4y=0，即（x-2）²+(y+2)²=8，表示以（2，-2）为圆心，半径为2√2的圆。2.第12单元中，已知直线l的参数方程为x=1+2t，y=-1-3t（t∈R），求直线l的普通方程。解答：消去参数t，由y=-1-3t得t=(-y-1)/3，代入x=1+2t得x=1+2(-y-1)/3，整理得3x+2y+1=0。3.在第12单元中，已知点A的极坐标为（4，π/3），点B的极坐标为（3，π/6），求|AB|的长度。解答：点A的直角坐标为（4cosπ/3，4sinπ/3）即（2，2√3），点B的直角坐标为（3cosπ/6，3sinπ/6）即（3√3/2，3/2），|AB|=√（（2-3√3/2）²+（2√3-3/2）²）=√（（4-3√3）²/4+（8√3-3）²/4）=√（（16-24√3+27+64-48√3+9）/4）=√（116-72√3）/4=√29-18√3/2。4.第12单元中，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ-3sinθ，求曲线C的普通方程。解答：方程可化为ρ²=4ρcosθ-3ρsinθ，即x²+y²=4x-3y，整理得（x-2）²+(y+3/2)²=13/4，表示以（2，-3/2）为圆心，半径为√13/2的圆。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.C3.B4.A5.C6.B7.B8