2025-2026年四川省人教版高二数学第二十三章复数与数列综合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第二十三章复数与数列综合练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复平面内，复数z=3+2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数z=3+2i的实部为3，虚部为2，且实部和虚部均为正数，因此对应的点位于第一象限。2.若复数z满足|z|=5且arg(z)=π/3，则z的代数形式为（）A.5cos(π/3)+5isin(π/3)B.5√3+5iC.5/2+5√3/2iD.5√3/2+5/2i解析：根据复数的三角形式，z=|z|cosθ+|z|isinθ，代入|z|=5，θ=π/3，得z=5cos(π/3)+5isin(π/3)=5/2+5√3/2i。3.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）A.12B.14C.16D.18解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=2，a_3=8，得8=2+2d，解得d=3。因此a_5=2+4×3=14。4.等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=1，q=2，则S_4的值为（）A.15B.31C.63D.127解析：等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=2，n=4，得S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=15。5.若复数z=1+i，则z^2的值为（）A.2B.0C.-2D.2i解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。6.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+3，且c_1=1，则c_10的值为（）A.28B.30C.32D.34解析：数列{c_n}是等差数列，公差d=3，首项c_1=1。由等差数列的通项公式c_n=c_1+(n-1)d，得c_10=1+9×3=28。7.若复数z满足z^2=4i，则z的模长为（）A.2B.2√2C.4D.4√2解析：设z=a+bi，则z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=4i。比较实部和虚部，得a^2-b^2=0，2ab=4，解得a=b=±√2。因此|z|=√(a^2+b^2)=√(2^2+2^2)=2√2。8.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且d_n=S_n-2，则数列{d_n}的通项公式为（）A.nB.2nC.n-1D.2n-1解析：由d_n=S_n-2，得S_n=d_n+2。当n=1时，d_1=S_1-2，即d_1=d_1+2，解得d_1=-2。当n≥2时，d_n=S_n-2，d_(n-1)=S_(n-1)-2，两式相减得d_n-d_(n-1)=d_n，即d_n=2d_(n-1)。因此数列{d_n}是首项为-2，公比为2的等比数列，通项公式为d_n=-2×2^(n-1)=-2n。9.若复数z=2-3i，则|z|^2的值为（）A.13B.13iC.-13D.-13i解析：|z|^2=|2-3i|^2=2^2+(-3)^2=4+9=13。10.已知数列{e_n}是等比数列，e_1=3，e_4=81，则e_2的值为（）A.9B.27C.36D.45解析：等比数列的通项公式为e_n=e_1q^(n-1)，其中q为公比。由e_1=3，e_4=81，得81=3q^3，解得q=3。因此e_2=3×3^1=9。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则arg(z)的值为______。参考答案：π/4解析：复数z=1+i对应的点位于第一象限，其辐角为π/4。2.已知数列{f_n}是等差数列，f_1=5，f_4=11，则数列{f_n}的公差为______。参考答案：2解析：等差数列的通项公式为f_n=f_1+(n-1)d，其中d为公差。由f_1=5，f_4=11，得11=5+3d，解得d=2。3.若复数z=2i，则z^3的值为______。参考答案：-8i解析：z^3=(2i)^3=8i^3=8(-i)=-8i。4.已知数列{g_n}是等比数列，g_1=2，g_3=16，则数列{g_n}的公比为______。参考答案：4解析：等比数列的通项公式为g_n=g_1q^(n-1)，其中q为公比。由g_1=2，g_3=16，得16=2q^2，解得q=4。5.若复数z=1-i，则|z|的值为______。参考答案：√2解析：|z|=|1-i|=√(1^2+(-1)^2)=√2。6.已知数列{h_n}的前n项和为S_n，且h_n=S_n-1，则数列{h_n}的通项公式为______。参考答案：-n解析：由h_n=S_n-1，得S_n=h_n+1。当n=1时，h_1=S_1-1，即h_1=h_1+1，解得h_1=-1。当n≥2时，h_n=S_n-1，h_(n-1)=S_(n-1)-1，两式相减得h_n-h_(n-1)=h_n，即h_n=2h_(n-1)。因此数列{h_n}是首项为-1，公比为2的等比数列，通项公式为h_n=-1×2^(n-1)=-n。7.若复数z=3+4i，则z的代数形式为______。参考答案：3+4i解析：复数z=3+4i已经给出，其实部为3，虚部为4。8.已知数列{i_n}是等差数列，i_1=7，i_5=19，则数列{i_n}的通项公式为______。参考答案：2n+5解析：等差数列的通项公式为i_n=i_1+(n-1)d，其中d为公差。由i_1=7，i_5=19，得19=7+4d，解得d=3。因此i_n=7+(n-1)×3=2n+5。9.若复数z=-2i，则z^2的值为______。参考答案：-4解析：z^2=(-2i)^2=4i^2=4(-1)=-4。10.已知数列{j_n}是等比数列，j_1=1，j_4=64，则数列{j_n}的前4项和为______。参考答案：127解析：等比数列的通项公式为j_n=j_1q^(n-1)，其中q为公比。由j_1=1，j_4=64，得64=1q^3，解得q=4。因此数列{j_n}的前4项和为S_4=1×(1-4^4)/(1-4)=127。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/2，则z的代数形式为i。（√）解析：根据复数的三角形式，z=|z|cosθ+|z|isinθ，代入|z|=1，θ=π/2，得z=1cos(π/2)+1isin(π/2)=i。2.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=3，a_2=5，则S_4=24。（√）解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=3，a_2=5，得d=a_2-a_1=5-3=2。因此a_4=3+(4-1)×2=9。等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，代入n=4，a_1=3，a_4=9，得S_4=4×(3+9)/2=24。3.若复数z=2+3i，则|z|^2=13。（√）解析：|z|^2=|2+3i|^2=2^2+3^2=4+9=13。4.等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，q=3，则S_5=62。（×）解析：等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=2，q=3，n=5，得S_5=2×(1-3^5)/(1-3)=62。5.若复数z=1-i，则z^2=2i。（×）解析：z^2=(1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i。6.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+4，且c_1=1，则数列{c_n}是等差数列。（√）解析：数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+4，即c_n-c_(n-1)=4，因此数列{c_n}是公差为4的等差数列。7.若复数z=0，则|z|=0。（√）解析：复数z=0的模长为|z|=√(0^2+0^2)=0。8.等比数列{d_n}的前n项和为S_n，若d_1=1，q=2，则S_6=63。（√）解析：等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=2，n=6，得S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。9.若复数z=3-4i，则z的代数形式为3-4i。（√）解析：复数z=3-4i已经给出，其实部为3，虚部为-4。10.已知数列{e_n}是等差数列，e_1=5，e_3=9，则数列{e_n}的公差为4。（√）解析：等差数列的通项公式为e_n=e_1+(n-1)d，其中d为公差。由e_1=5，e_3=9，得9=5+2d，解得d=2。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知复数z=3+2i，求|z|和arg(z)。（4分）解：|z|=√(3^2+2^2)=√13，arg(z)=arctan(2/3)。2.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=4，a_4=10，求a_7。（4分）解：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=4，a_4=10，得10=4+3d，解得d=2。因此a_7=4+(7-1)×2=18。3.已知数列{b_n}是等比数列，b_1=2，b_3=8，求b_5。（4分）解：等比数列的通项公式为b_n=b_1q^(n-1)，其中q为公比。由b_1=2，b_3=8，得8=2q^2，解得q=2。因此b_5=2×2^(5-1)=32。4.已知复数z=1-i，求z^2+z+1的值。（4分）解：z^2+z+1=(1-i)^2+1-i+1=1-2i+i^2+1-i+1=1-2i-1+1-i+1=2-3i。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知复数z=2+3i，求z^3的值。（6分）解：z^3=(2+3i)^3=8+36i+54i^2+27i^3=8+36i-54-27i=-46+9i。2.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=3，a_4=9，求该数列的前10项和S_10。（6分）解：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=3，a_4=9，得9=3+3d，解得d=2。等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_n=a_1+(n-1)d。因此a_10=3+(10-1)×2=21。S_10=10×(3+21)/2=120。3.已知数列{b_n}是等比数列，b_1=1，b_4=16，求该数列的前5项和S_5。（6分）解：等比数列的通项公式为b_n=b_1q^(n-1)，其中q为公比。由b_1=1，b_4=16，得16=1q^3，解得q=4。等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=4，n=5，得S_5=1×(1-4^5)/(1-4)=341。4.已知复数z=3-4i，求|z|^2的值。（6分）解：|z|^2=|3-4i|^2=3^2+(-4)^2=9+16=25。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.B4.A5.D6.A7.B8.D9.A10.A解析：2.复数z=3+2i对应的点位于第一象限。3.复数z=2i对应的三角形式为2i=2√2(cos(π/2)+isin(π/2))，代数形式为2i。4.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，由a_1=2，a_3=8，得d=3，因此a_5=14。5.等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，由b_1=1，q=2，n=4，得S_4=15。6.z^2=(1+i)^2=2i。7.数列{c_n}是等差数列，公差d=3，首项c_1=1，因此c_10=28。8.复数z=4i对应的模长为|z|=4√2。9.等比数列的通项公式为b_n=b_1q^(n-1)，由b_1=2，b_3=16，得q=4，因此b_2=8。10.复数z=1+i对应的模长为|z|=√2。11.等比数列的通项公式为e_n=e_1q^(n-1)，由e_1=3，e_4=81，得q=3，因此e_2=9。二、填空题1.π/42.23.-8i4.45.√26.-n7.3+4i8.2n+59.-410.127解析：2.复数z=1+i对应的点位于第一象限，其辐角为π/4。3.等差数列的通项公式为f_n=f_1+(n-1)d，由f_1=5，f_4=11，得d=2。4.z^2=(2i)^3=8i^3=8(-i)=-8i。5.等比数列的通项公式为g_n=g_1q^(n-1)，由g_1=2，g_3=16，得q=4。6.|z|=|1-i|=√(1^2+(-1)^2)=√2。7.由h_n=S_n-1，得S_n=h_n+1。当n=1时，h_1=S_1-1，即h_1=h_1+1，解得h_1=-1。当n≥2时，h_n=S_n-1，h_(n-1)=S_(n-1)-1，两式相减得h_n-h_(n-1)=h_n，即h_n=2h_(n-1)。因此数列{h_n}是首项为-1，公比为2的等比数列，通项公式为h_n=-n。8.复数z=3+4i已经给出，其实部为3，虚部为4。9.等差数列的通项公式为i_n=i_1+(n-1)d，由i_1=7，i_5=19，得d=2，因此i_n=2n+5。10.z^2=(-2i)^2=4i^2=4(-1)=-4。11.等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，由b_1=1，q=4，n=4，得S_4=127。三、判断题1.√2.√3.√4.×5.×6.√7.√8.√9.√10.√解析：2.根据复数的三角形式，z=1cos(π/2)+1isin(π/2)=i。3.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。由a_1=3，a_2=5，得d=2。因此a_4=9。等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，代入n=4，a_1=3，a_4=9，得S_4=24。4.|z|^2=|2+3i|^2=4+9=13。5.等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=2，q=3，n=5，得S_5=62。6.z^2=(1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i。7.数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+4，即c_n-c_(n-1)=4，因此数列{c_n}是公差为4的等差数列。8.复数z=0的模长为|z|=√(0^2+0^2)=0。9.等比数列的前n项和公式为S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=2，n=6，得S_6=63。10.复数z=3-4i已经给出，其实部为3，虚部为-4。11.等差数列的通项公式为e_n=