2026新教材数学 第三讲 二次函数的应用 教学课件浙教版数学九年级上册

第三讲二次函数的应用

重点分析：1.利用二次函数解决实际问题（最大利润、最大面积、最佳设计、销售

方案、物体运动等）时，首先确定二次函数的表达式，并根据自变量的

实际意义确定自变量的取值范围。然后在自变量的取值范围内，利用二

次函数的性质解决问题。若是求最值，要注意函数达到最大值或最小值

时相应自变量的值应在自变量的取值范围内。2.直线与抛物线的位置关系（是否有交点）可通过建立方程组来研究，

若方程组有两个不同的实数解，则直线与抛物线有两个不同的交点；若

方程组只有一个实数解，则直线与抛物线只有一个交点；若方程组没有

实数解，则直线与抛物线没有交点。3.二次函数与一元二次方程、不等式有着密切关系，解决函数、方程、

不等式等相关知识的综合性问题，数形结合思想是重要的思想方法。难点分析：1.函数思想就是用运动变化的观点去分析、研究数量关系，建立函数关

系式，进而运用函数的图象和性质去分析问题，解决问题。2.在实际问题中我们遇到与二次函数有关的问题时，要充分运用数形结

合的思想方法，恰当地构造二次函数模型，把研究的问题转化为函数问

题来处理。灵活运用数形结合思想，不仅要借用几何方法来服务代数知

识，也要学会用代数知识解决几何问题，同时还要注意不同条件下的分

类讨论，要善于挖掘题中的隐含条件，并重视这些条件在分类中的应

用，力求充分利用曲线特征、数学方法，灵活调动知识技能，创立独特

的优秀解法。

本题考查二次函数的实际运用，利用待定系数法求函数表

达式，建立函数与方程之间的联系是解决问题的关键。

本题的易错点是求A，B两点之间的距离是两点横坐标之

差而不是其他的运算。

一种小商品，进价为2.5元。据市场调查，销售单价是13.5元时，

平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售

出100件。（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，

请你写出y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围。（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润

最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入-购进成本）

（1）根据“每天销售这种小商品的利润=每件的销售利润×每天的销售件数”即可求出y与x之间的函数表达式。（2）根据二次函

数的配方法可以求得最大利润。（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）件，每

件的销售利润为（13.5-x-2.5）元，∴y=（13.5-x-2.5）（500+100x），

整理得y=-100x2+600x+5500（0<x≤11）。（2）y=-100x2+600x+5500=-100（x-3）2+6400（0<x≤11）。当x=3

时，y的最大值是6400元，即销售单价为10.5元时，最大利润为6400

元。

本题综合考查二次函数的最值问题，熟悉二次函数的相关

概念，然后运用配方法即可解题。

本题要注意解题过程的完整性，特别要注意自变量的取值

范围。

某小区业主委员会决定把一块长50m、宽30m的矩形空地建成健

身广场，设计方案如图所示，涂色区域为绿化区（四块绿化区为全等的

矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小

于14m，不大于26m，设绿化区较长边为x（m），活动区的面积为y

（m2）。（1）直接写出：①用含x的式子表示出口的宽度为

m。

②y关于x的函数表达式及x的取值范围

是

。

（2）求活动区的面积y的最大值。（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，如果业

主委员会投资不得超过72000元来参与建造，当x为整数时，共有几

种建造方案？

（1）①根据图形可得结论。②根据题意可得y关于x的函

数表达式。（2）根据二次函数的增减性可得结论。（3）根据题意列方

程即可得到结论。

（1）①出口的宽度为（50-2x）m。②由①可知四周的4个出口的宽度都等于（50-2x）m，∴涂色部分每个小长方形的宽为[30-（50-2x）]÷2=（x-10）m。由14≤50-2x≤26可得12≤x≤18。根据题意得y=50×30-4x（x-10）=-

4x2+40x+1500（12≤x≤18）。故答案为：①（50-2x）；②y=-

4x2+40x+1500（12≤x≤18）。（2）y=-4x2+40x+1500=-4（x-5）2+1600，∵a=-4<0，抛物线的开口向

下，对称轴为直线x=5，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，∴当x=12时，y最大=1404。∴活动区的面积y的最大值为1404m2。（3）设费用为w。由题意得w=50（-4x2+40x+1500）+40×4x（x-10）

=-40（x-5）2+76000，∴当w=72000时，解得x1=-5，x2=15。∵a=-40<0，

∴当x≤-5或x≥15时，w≤72000。∵12≤x≤18，∴15≤x≤18，且x为整数。

∴x可取15，16，17，18。∴共有4种建造方案。

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求得短边的长

度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问

题。

题（2）求最值时一定要注意自变量的取值范围，本题自

变量的取值范围不含对称轴，所以并不是在顶点位置取最值。

【衢州】某游乐园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷水池的周

边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m处达到最

高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇

合。如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐

标系。（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式。（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋

湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水

柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱

仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造

后喷水池水柱的最大高度。

∴为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心7m以

内。

本题考查了待定系数法求二次函数表达式以及二次函数图

象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系

数法求出二次函数表达式。（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求

出当y=1.8时x的值。

解决与抛物线形状有关的实际问题时，关键在于建立平面

直角坐标系求出抛物线的表达式，求表达式时需要先确定关键点的坐

标，而确定坐标时要注意点的位置，特别不能搞错坐标的符号。

绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出。如图，线段EF，折线ABCD分别表示该

有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）

之间的函数关系。（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数表达式。（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数表达式。（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定

一次函数的表达式。（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180

时，y2=54；当50<x<130时，设y2与x之间的函数表达式为y2=mx+n，

利用待定系数法确定一次函数的表达式。（3）利用：总利润=每千克利

润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可

得。

（1）设y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b，

（2）由题意得：当0≤x≤50时，y2=70。当130≤x≤180时，y2=54。当50<x<130时，设y2与x之间的函数表达式为y2=mx+n，∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），

综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数表达式为：

（3）设产量为x（kg）时，获得的利润为w元。

∴当x=50时，w的值最大，最大利润为3400。

∴当x=130时，w的值最大，最大值为4680。因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大利润为4840元。

本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的表

达式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型。

题（3）的分类讨论是本题的难点和易错点，注意本题的

分类是按x的取值范围分类，分类要注意不重不漏。

A.1.05mB.-1.05mC.0.95mD.-0.95mC

A.0B.1C.2D.3C3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当

每张床位每天收费100元时，床位可全部租出。若每张床位每天收费提

高20元，则相应地减少了10张床位租出。如果每张床位每天以20元为单

位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的

收费是（C）。A.140元B.150元C.160元D.180元C4.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为

y=ax2+bx。小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥

面OC，当小强骑自行车行驶10s时和26s时拱梁的高度相同，则小强骑

自行车通过拱梁部分的桥面OC共需

s。

365.如图，抛物线y=ax2+c（a<0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x

轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左

侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面

积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为

⁠。46.在治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地。如图，自建

房占地是边长为20m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点

E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE。如果设BE的长为x（单

位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y关于x的函数表

达式为

，绿地AEFG的最大面积为

m2。y=-2x2+20x+400450

（1）求该抛物线的表达式。

（2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5m，则

横梁DE的长度是多少米？

8.某文具店到批发市场选购A，B两种文具，批发价分别为14元/个、10

元/个。若该店每天零售A，B两种文具的销量y（个）与零售价x（元/

个）都满足一次函数y=kx+20的关系，如图所示。（1）求此一次函数的表达式。【答案】8.

（1）根据题意把（10，10）代入y=kx+20，解得k=-1。故

一次函数的表达式为y=-x+20。（2）现批发市场进行促销活动，凭会员卡（240元/张）在该批发市场

购买所有物品均进行打折优惠。若文具店购买A，B两种文具各50个，

则打折小于多少折时，采用购买会员卡的方式合算？【答案】（2）设打折为a折时，购买会员卡的方式合算。依据题意得

出：240+50×14×0.1a+50×10×0.1a<50×14+50×10，解得a<8。∴打折

小于8折时，采用购买会员卡的方式合算。（3）在文具店不购买会员卡的情况下，若A种文具零售价比B种文具零

售价高2元/个，求这两种文具每天的销售总利润W（元）与A种文具零

售价x（元/个）之间的函数表达式，并说明当A种文具的零售价为多少

时，每天的销售利润最大。【答案】（3）根据题意可得：W=（x-14）（-x+20）+（x-2-10）

⋅

［-

（x-2）+20］=-2（x-17）2+34，故当x=17时，每天的销售利润最大。

9.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处

发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满

足表达式y=a（x-k）2+h。已知球与点O的水平距离为6m时，达到最

高2.6m，球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距

点O的水平距离为18m，则下列判断正确的是（C）。A.球不会过网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定C10.如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），

交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1<x2，且

x1+x2>2，则y1>y2；

其中真命题的序号是（C）。A.①B.②C.③D.④C11.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用

一道墙隔开（如图1）。已知计划中的材料可建墙体总长46m，设两间

饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）。（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。

（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2），每扇门宽1m，

门不采用计划中的材料。①总占地面积最大为多少平方米？

②如图3，离墙10m外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建

的饲养室面积尽量大，则饲养室的门口与小路的间隔为多少米？

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？【答案】12.

（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知

30n+120=420，解得n=10。∴第10天生产的粽子数量为420只。（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图

中的函数图象来刻画。若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间

的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元。（利润

=出厂价-成本）

①当0≤x≤5时，w=（6-4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513

（元）；②当5<x≤9时，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=741（元）；③当9<x≤15时，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x2+72x+336=-3

（x-12）2+768，∴当x=12时，w最大=768（元）。综上，第12天的利润

最大，为768元。（3）设（2）中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利

润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提

价多少元？【答案】（3）由（2）可知m=12，m+1=13，设第13天提价a元，由题

意得，w13=（6+a-p）（30x+120）=510（a+1.5），∴510（a+1.5）-

768≥48，解得a≥0.1。∴第13天每只粽子至少应提价0.1元。

（1）求抛物线对应的函数表达式。

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱

形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由。

（3）若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN

平行于y轴交CD于点N。设点M的横坐标为t，MN的长度为l。求l与t

之间的函数表达式，并求l取最大值时，点M的坐标。

1.【巴中】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起

跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到

最大高度3.5m，然后准确落入篮框内。已知篮圈中心距离地面高度为

3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的（A）。B.篮圈中心的坐标是（4，3.05）C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D.篮球出手时离地面的高度是2mA2.【杭州】四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发

现当x=1时，函数有最小值；乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙

发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有

一位发现的结论是错误的，则该同学是（B）。A.甲B.乙C.丙D.丁B3.【沈阳】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边

平行的篱笆EF分开。已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不

计），当AB=

m时，矩形土地ABCD的面积最大。

1504.【巴彦淖尔】工人师傅用一块长为12dm、宽为8dm的矩形铁皮制作

一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）。（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；

并求当长方体的底面积为32dm2时，裁掉的正方形边长是多少？【答案】4.

（1）如图。设裁掉的正方形的边长为x（dm）。

由题意可得（12-2x）（8-2x）=32，即x2-10x+16=0，解得

x=2或x=8（舍去）。∴裁掉的正方形的边长为2dm时，底面积

为32dm2。（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），

并对容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面

每平方分米的费用为2元，则裁掉的正方形边长为多少时，总费用最

低？最低费用为多少元？【答案】（2）设总费用为y元，则y=2（12-2x）（8-2x）+0.5×［2x

（12-2x）+2x（8-2x）］=4x2-60x+192=4（x-7.5）2-33。又∵12-2x≤5

（8-2x），∴x≤3.5。∵a=4>0，∴当x<7.5时，y随x的增大而减小。∴当

x=3.5时，y取得最小值，最小值为31。∴裁掉的正方形边长为3.5dm

时，总费用最低，最低费用为31元。5.【乐山】已知关于x的一元二次方程mx2+（1-5m）x-5=0（m≠0）。（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根。【答案】5.

（1）由题意可得：Δ=（1-5m）2-4m×（-5）=1+25m2-

10m+20m=25m2+10m+1=（5m+1）2≥0，故无论m为任何非零实数，

此方程总有两个实数根。（2）若抛物线y=mx2+（1-5m）x-5与x轴交于A（x1，0），B（x2，

0）两点，且|x1-x2|=6，求m的值。

（3）若m>0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上

（点P，Q不重合），求代数式4a2-n2+8n的值。

1.