高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个

集合，其中每一个对象叫元素

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；2,元素的互异性；3,元素的无序

性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定

的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的

对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定

两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需

考查排列顺序是否一样。

(4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整

体性。

3.集合的表示:｛…｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大

西洋,印度洋，北冰洋｝

1,用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队

员｝,B=｛1,2,345｝

2.集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作:N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数

集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合

A的元素，就说a属于集合A记作aeA,相反，a不属于

集合A记作alA

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个

大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大

括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否

属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②数学式子描述法：例：不等式x-3〉2的解集是｛xiR|

x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

4.集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=—5｝

二、集合间的基本关系

1「包含”关系一子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A

与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,

记作AB或BA

2.“相等”关系（525,且5W5,则5=5）

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个

元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是

集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。AIA

②真子集:如果A1B,且B那就说集合A是集合B

的真子集，记作AE（或EA）

③如果AIB,BIC，那么AIC

④如果AiB同时BiA那么A=B

3,不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合

的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元

素所组成的集合，叫做A,B的交集.

记作AnB(读作“A交B"),即AAB={x|xeA,且x

eB}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集

合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AU

B(读作“A并B"),即AUB={x|xEA,或x£B}.

3、交集与并集的性质：AnA=A,An(f)=4)5AnB=

BAA,AUA=A,

AU(p=A,AUB=BUA.

4.全集与补集

(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),

由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A

的补集(或余集)

记作：CSA即CSA={x|xIS且xIA}

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合

的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来

友小。

(3)性质：⑴CU(CUA)=A(2)(CUA)nA=O

二、函数的有关概念

1函数的概念：设A.B是非空的数集，如果按照某个确

定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B

中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:ATB为从

集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x),xeA.其中,x

叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值

相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|xeA｝叫做

函数的值域.

注意：2如果只给出解析式y=f（x）,而没有指明它的定

义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数

的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分

母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数

式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且

不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结

合而成的•那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值

组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（6）实际问题中

的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。）

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系

和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如

果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函

数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们

的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值

的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定

义域一致(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取

什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域,(2),应熟悉掌

握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的

值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xeA)

中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,

叫做函数y=f(x),(x£A)的图象.

C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过

来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,

y),均在C上,即记为C={P(x,y)|y=f<x),x〉A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能

是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条

曲线或离散点组成。

(2)画法

A.描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些

对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,

y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B.图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变

(3)作用：

1,直观的看出函数的性质；2.利用数形结合的方法分析

解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4,快去了解区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.

5,什么叫做映射

一般地，设A.B是两个非空的集合，如果按某一个确

定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集

合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A

B为从集合A到集合B的一个映像。记作“f:AB”

给定一个集合A到B的映像，如果a£A,b£B,且元素

a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元

素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应,

①集合A.B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向

性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的

对应关系一般是不同的；③对于映射f：A-B来说，则应

满足：(I)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象,

并且象是唯一的；(II)集合A中不同的元素，在集合B

中对应的象可以是同一个；(III)不要求集合B中的每一

个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折

线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依

据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点

法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；

观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应

能反映定义域的特征.

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出

函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数(参见课本P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达

式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函

数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别

注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函

数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域

是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u£M),u=g(x),(x£A),则y=f[g(x)]=F(x),

(xeA)称为f、g的复合函数。

例如：y=2sinXy=2cos(X2+1)

7.函数单调性

(1).增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某

个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称

为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当

x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上

是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的

性质，是函数的局部性质；

2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当

x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)o

(2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么

说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区

间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左

到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

1任取x1,x2eD,且x1vx2；2作差f(x1)—f(x2)；3

变形(通常是因式分解和配方)；4定号(即判断差f(x1)

一f(x2)的正负)；5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D

上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

函数的单调性

注意：1.函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不

能把单调性相同的区间和在一起写成其并集2还记得我们

在选修里学习简单易行的导致法判定单调性吗？

8.函数的奇偶性

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有

f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有

f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,

函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也

可能既是奇函数又是偶函数。

2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个

必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则一x也一定是

定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点

对称.

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先

确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2

确定f(—x)与f(x)的关系；3作出相应结论:若f(—x)=f(x)

或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(一x)=-f(x)或

f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性

的必要条件,首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不

对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;

(2)有时判定f卜x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)

±f(x)=O或f(x)/(x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数

的图象判定.

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个

变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则,

二是要求出函数的定义域.

(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换

元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定

系数法；已知复合函数f［g(x)］的表达式时，可用换元法，这

时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑

配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法

求出f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)

值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的

判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间⑶b］±

单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处

有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在

区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章基本初等函数

一、指数函数

(-)指数与指数基的运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方

根(nthroot),其中〉1,且e*.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次

方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫

做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),

叫做被开方数(radicand)

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为

相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次

方根用符号一表示.正的次方根与负的次方根可以合并

成土（>0）,由此可得：负数没有偶次方根；0的任何

次方根都是0,记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，

2,分数指数惠

正数的分数指数基的意义，规定：

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数事没有意义

指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整

数指数推广到了有理数指数，那么整数指数基的运算性质

也同样可以推广到有理数指数事.

（二）指数函数及其性质

1•指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数

（exponential）,其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、

零和1.

图象特征

函数性质

1.向x、y轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

2.图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

3.函数图象都在x轴上方

4,函数的值域为R+

5,函数图象都过定点(0,1)

6.自左向右看图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下

降

图象上升趋势是越来越陡

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在［a,b］上，值域是或；

(2)若，则；取遍所有正数当且仅当；

(3)对于指数函数，总有；

(4)当时，若，则；

二、对数函数

(-)对数

1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底

的对数，记作：(一底数，一真数，一对数式)

两个重要对数：

1常用对数：以10为底的对数；

2自然对数：以无理数为底的对数的对数.

（二）对数函数

1.对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中

是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式

定义，注意辨别。

图象特征，函数性质

1.函数图象都在y轴右侧

函数的定义域为（0,+8）

2.图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

3.向y轴正负方向无限延伸

函数的值域为R

4,函数图象都过定点（1,0）

自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下

降

（三）嘉函数

1.嘉函数定义：一般地，形如的函数称为黑函数，其

中为常数.

2.暴函数性质归纳.

（1）所有的塞函数在（0,+8）都有定义，并且图象

都过点（1,1）;

（2）时，嘉函数的图象通过原点，并且在区间上是

增函数.特别地，当时，塞函数的图象下凸；当时，塞函

数的图象上凸；

（3）时，黑函数的图象在区间上是减函数.在第一

象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼

近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴

正半轴.

第三章函数的应用

、方程的根与函数的零点

1.函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫

做函数的零点。

2,函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,

亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零

占

3.函数零点的求法：

求函数的零点：

1（代数法）求方程的实数根；

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与

函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4,二次函数的零点：

二次函数.

DA>0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴

有两个交点，二次函数有两个零点.

2)A=0,方程有两相等实根(二重根)，二次函数

的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶

零占/\\\•

高一数学必修4

3)A<0,方程无

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半

轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.

第一象限角的集合为{琲.360<a<h360+90,ZwZ}

第二象限角的集合为{a|h360+90<h360+180,我Z}

第三象限角的集合为{诽.360+180<a<k360+270,无eZ}

第四象限角的集合为同h360+270<a<h360+360入z}

终边在工轴上的角的集合为{*="8(MeZ}

终边在y轴上的角的集合为国2=%180+90,ArGz|

终边在坐标轴上的角的集合为{水=匕90入Z}

3.与角终边相同的角的集合为

4.已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先

把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起,

依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几

象限对应的标号即为终边所落在的区域.

5.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度.

6.半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角

的弧度数的绝对值是.

7、弧度制与角度制的换算公式：，，.

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长

为，面积为，则，，.

9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点

的坐标是，它与原点的距离是，则，，.

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第

二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦

为正.

11.三角函数线：，，.

12、同角三角函数的基本关系：

.2«22.•2\sintz

(sina-1-cos-a,cos'a-1-sina]；(2)-------=tana

7cosa

13.三角函数的诱导公式:

口诀：函数名称不变，符号看象限.

口诀：奇变偶不变，符号看象限.

14、函数的图象上所有点向左(右)平移个单位

长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有

点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），

得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵

坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得

到函数的图象.

函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来

的倍（纵坐标不变），得到函数

的图象：再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象：再

符函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数

的图象.

函数的性质：

①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；

⑤初相：.

函数,当时，取得最小值为；当时，取得最

大值为，则，,.

15、

正

弦

函

数、y=sinxy=cosxy=tanx

余

弦

函

数

和

正

切

函

数

的

图

象

与

性

定

RR«xx手k冗\三、kwZ

义2

域

值

R

域

最当时,；当时,既无最大值也

值当=1当无最小值

时，.x=2k兀+4

时，时，.

时，.

（丘Z）时

（丘Z）时，％in=7・

>min=T

2万

周24

期

性

奇奇函数偶函数奇函数

偶

性

在

在

2k7v--2k7r+—

L2>2j

[2%4一乃，2〃乃]（%eZ）

（雇Z）上是增函在（氏/，*乃+]）

单

上是增函数；在

数；在上是增函数.

调[2Qr,2Qr+司

（婕Z）上是增函

性L22J上是减函数.

数.

（kwZ）上是减函

上是减函数.

（壮Z）上是减函数.

数.

对称中心

对对称中心对称中心

（〃乃,0）（〃）

称EZ（攵乃+],0（keZ）容0kwZ）

性对称轴

对称$0无对称轴

x=+GZ)x=k/r(keZ)

16.向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.

零向量与任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算：

⑴三