高考数学考前训练专题二第3讲数列的放缩

大二轮专题复习专题二数列第3讲数列的放缩微点一裂项放缩证明数列不等式微点二等比放缩证明数列不等式微点三递推放缩证明数列不等式专题强化练微点四切线放缩证明数列不等式内容索引微点一裂项放缩证明数列不等式

例1

解

证明

证明规律方法

规律方法

解

证明返回微点二等比放缩证明数列不等式

在正项等比数列{an}中，a1+a3=20，a2a4=324.(1)求{an}的通项公式；例2

解

解

证明

证明

证明规律方法等比放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效技巧.其核心思想在于，通过观察数列的项与项之间的关系，发现其等比规律，并利用这一规律对数列的项进行适当的放大或缩小.跟踪演练2数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，满足：a1+b1=8，a2+b2=18，b1+b3=30，6bn+1=bn+2+9bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由6bn+1=bn+2+9bn可得6qbn=q2bn+9bn，易知bn≠0，∴q2-6q+9=0，解得q=3，又由b1+b3=30可得b1(1+q2)=30，可得b1=3.由a1+b1=8，a2+b2=18可得a1+b1=8，a1+d+b1q=18，即a1=5，d=4，因此可得an=a1+(n-1)d=4n+1，bn=b1qn-1=3n，∴数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=4n+1，bn=3n，n∈N*.解(2)数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn}，求{cn}的通项公式；

解

证明返回微点三递推放缩证明数列不等式

√例3

解析

解析

解析规律方法

规律方法

√

解析

解析返回微点四切线放缩证明数列不等式(2025·中卫模拟)已知函数f(x)=lnx-mx+1.(1)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围；例4

解

证明

证明规律方法

解

解(2)若f(x)≤0恒成立，求m的取值范围；

解

证明返回专题强化练1.

答案12341.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

3.答案1234(1)由an+1=3an，a1=1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，则an=3n-1，又当n=1时，2b1-b1=S1·S1，又b1≠0，即b1=S1=1，所以2bn-1=Sn，当n>1时，bn=Sn-Sn-1=2bn-1-(2bn-1-1)=2bn-2bn-1，所以bn=2bn-1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn=2n-1.3.答案1234(2)由cn=bn·log3an=(n-1)·2n-1，Tn=0×20+1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1，则2Tn=0×21+1×22+2×23+…+(n-1)×2n，两式相减得-Tn=21+22+…+2n-1-(n-1)·2n=-2-(n-2)·2n，所以Tn=2+(n-2)·2n.3.答案1234

4.答案1234

4.答案1234

4.答案1234

4.答案1234

1234答案

解1234答案

1234答案

证明1234答案

1234答案

解1234答案(2)若f(x)≥0恒成立，求a的值；1234答案

解1234答案

解1234答案

1234答案

证明1234答案3.设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*.设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn-b1=S1·Sn，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；1234答案由an+1=3an，a1=1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，则an=3n-1，又当n=1时，2b1-b1=S1·S1，又b1≠0，即b1=S1=1，所以2bn-1=Sn，当n>1时，bn=Sn-Sn-1=2bn-1-(2bn-1-1)=2bn-2bn-1，所以bn=2bn-1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn=2n-1.解1234答案(2)设cn=bn·log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；1234答案由cn=bn·log3an=(n-1)·2n-1，Tn=0×20+1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1，则2Tn=0×21+1×22+2×23+…+(n-1)×2n，两式相减得-Tn=21+22+…+2n-1-(n-1)·2n=-2-(n-2)·2n，所以Tn=2+(n-2)·2n.解

1234答案

证明1234答案4.已知数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a3=b4