第6章抽样推断（课件）-《统计学基础（第4版）》同步教学（电子工业版）

第6章

抽样推断

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第6章抽样推断

抽样推断的基本概念

抽样误差

抽样推断的方法

抽样的组织形式

2026-9-18

6.1抽样推断的基本概念

抽样推断是在抽样调查的基础上利用样本的

实际资料计算出的样本数据，并运用概率估

计方法，推算总体相应的数量指标的一种统

计分析方法。

抽样推断，从其内涵来说，包括抽样调查和抽

样推断两部分，前者着重调查，后者着重推断。

2026-9-18

3

抽样推断特点

是由部分推算整体的一种认识方法。

建立在随机取样的基础上。

运用概率估计的方法，利用样本指标来估

计总体参数。

抽样推断的误差是可以事先控制的，用样本

指标值推断总体指标值是存在一定误差的。

2026-9-184

抽样推断的作用

应用于某些不可能作全面调查或很难

作全面调查的场合。

在可以使用全面调查的场合，抽样

调查仍有其独特的作用。

用于假设检验。

2026-9-185

6.1.1总体和样本

1．总体（population）

全及总体，所研究现象的整体，

即包括所要调查的所有单位。

N=1000

总体是唯一的，确定的

2026-9-186

2．样本（sample）

子样，从全及总体中随机抽取出来，

作为代表这一总体的那部分单位组成

的集合体。

n=50

样本不是确定的。也不是唯一的，

而是可变的。

2026-9-187

6.1.2参数和统计量

1．参数(parameter)。根据总体各单位的标志值

或标志属性计算的，反映总体数量特征的综合指

标称为全及指标。

全及指标是总体变量的函数，其数值是由总体各单位

的标志值决定的。由于总体是唯一确定的，因此，全

及指标也是唯一确定的，所以也称参数。常用的参数

有总体平均数，总体成数、总体方差和总体标准差。

2026-9-188

（1）总体平均数Populationmean

对于变量总体，由于各单位的标志可以用数量表

示，因此可以计算总体平均数，通常用X表示。

设X为总体的某一变量，其N项变量值为X1、

X2、…Xn，则总体平均数为：

12nX

XXXX

NN

2026-9-189

（2）总体成数Proportion

对于属性总体，由于各单位标志不能用数量表示，

因此总体参数常以成数或比重来表示。通常以P表

示总体中具有某种标志表现即“是”的单位数在总

体单位数中所占的比重；以Q表示不具有某种标志

表现即“非”的单位数所占的比重。

设总体N个单位中，有N1个单位具有某种标志表现，

N0个单位不具有某种标志表现，且N=N1+N0，则总体

成数为：

0N

PN1QNN11P

NNN

2026-9-1810

红光灯泡厂生产的10000只灯泡中，有9550

只是合格品，有450只是不合格产品，则总

体成数即灯泡的合格率和不合格率分别为：

9550

PN195.5%

N10000

450

QN04.5%

N10000

统计上把只表现为“是”与“非”的标志称

为是非标志，也称交替标志，如性别标志等。

2026-9-1811

（3）总体方差和总体标准差

Variance&standarddeviation

22

2XX

XX

NN

用“1”表示“是”，用“0”表示“非”，那

么“是”的成数就可视为是非标志的平均数，

从而计算出属性总体的方差和标准差，即

2

2222

P=（1-P）P+（0-P）Q=QP+PQ=PQ

（P+Q）=PQ=P（1-P）

P(1P)

p

2026-9-1812

2．统计量(statistic)。

根据样本各单位标志值计算的反映样本特征的指

标称为统计量，也称作样本指标sample

statistic。它是用来估计总体参数的。

与总体参数相对应，统计量主要有

2026-9-1813

样本平均数X表示样本内各单位某一标志值的一般水平

样本方差，反映样本中各单位标志值的离散程度，从

而可说明样本平均数的代表性大小,记作S2，称S为样

本标准差或均方差

样本成数，指具有某种性质的单位在样本中所占比重

(如抽样产品的合格率)，记作p；样本成数的方差是

p(1-p)

2026-9-1814

（1）样本平均数Samplemean

12nx

xxxx

nn

（2）样本成数

n

pn1qn0n11p

nnn

（3）样本方差和样本标准差Samplevariance

2

212xx

sxxS

nn

2026-9-1815

样本是非标志的方差S2和标准差S的计算公式分别为

2

P(1P)

sP

P(1P)

sp

2026-9-1816

6.1.3样本容量和样本个数

是两个有联系但又完全不同的概念。

样本容量是指一个样本所包含位数

样本个数又称样本可能数目。

是指从一个总体上可能抽取的样本个数。

2026-9-1817

6.1.4重复抽样和不重复抽样

重复抽样又叫重置samplingwith

replacement抽样，也叫做有放回的抽样或重

置抽样样本可能数目MNn

不重复抽样又叫不重置samplingwithout

replacement也叫做无放回抽样或非重置抽样

样本可能数目N!

M

Nn!

2026-9-1818

6.2抽样误差

6.2.1抽样误差的概念

抽样误差（samplingerror）是指由于随机抽样的

偶然因素使各单位的结构不足以代表总体各单位的

结构，而引起抽样指标和全及指标之间的绝对离差。

是一种由于随机抽样引起的偶然的代表性误差，或

随机误差randomerror\chanceerror。抽样误差

不可消除，但可以计算和控制。

2026-9-1819

抽样调查中误差有以下两个来源

一个是登记性误差。也叫调查误差datarecording

error，是指在调查登记过程中发生的误差，这类

误差是可以避免的。

二是代表性误差representativeerror，在抽样

调查中，是指由于用抽样指标去代替总体指标时

所产生的误差。

代表性误差的发生的两种情况：

第一，非随机的代表性误差；

第二，随机性误差。

2026-9-1820

6.2.2抽样平均误差standarderror

是根据随机原则抽样时，所有可能出现的

样本平均数的标准差。

它反映样本平均数(样本成数)与总体平均数

(总体成数)的平均误差程度，常用μ表示。

2026-9-1821

1．抽样平均数的平均误差

（1）重复抽样的抽样平均误差计算公式

2

xnn

但是，σ是全及总体标准差，这是不知道的。如

果知道，就无需进行抽样调查了。在这种情况下

可用样本的方差s2来代替。其计算公式如下

2

2f

2xx

2xx

sf

sn

2026-9-1822

（2）不重复抽样的抽样平均误差计算公式

2

Nn

()

xnN1

当全及总体单位数N很大时，N-1接近于N，即可用N

代替，则上列公式可简化如下

2

n

(1)

xnN

2026-9-1823

从某学院2015级的2000名学生中，按简单随

机抽样方式抽取40名学生，对公共理论课的

考试成绩进行检查，得知其平均成绩为78.75

分，标准差为12.13分，试根据重复抽样和不

重复抽样的方法分别计算抽样平均误差。

（1）按重复抽样计算抽样平均误差

2

12.13

1.92(分)

xnn40

（2）按不重复抽样计算抽样平均误差

22

n40

(1)12.13(1)1.90(分)

xnN402000

2026-9-1824

2．抽样成数的抽样平均误差

（1）重复抽样的抽样平均误差计算公式

P(1P)

pn

（2）不重复抽样的抽样平均误差计算公式

P(1P)n

(1)

pnN

2026-9-1825

以上两个公式中的P，是总体成数，这是不知道的。

2

而P（1-P）是总体方差，它等于，即也是不知道

的。在这种情况下，可用样本的成数P和样本方差P

（1-P）来代替，或者用过去类似调查的成数和成

数方差来代替。成数方差的最大值为

P(1P)0.5(10.5)0.50.50.25

2026-9-1826

从40000件产品中，随机抽取200件进行检验，

结果有10件不合格，求合格率的抽样平均误差。

20010

P95%

200

2

P(1P)95%(195%)4.75%

（1）按重复抽样计算抽样平均误差

P(1P)0.0475

1.54%

pn200

（2）按不重复抽样计算抽样平均误差

P(1P)n0.0475200

(1)(1)1.53%

pnN20040000

2026-9-1827

6.2.3抽样极限误差

1．抽样极限误差的概念

抽样极限误差又称抽样允许误差，是指样本

指标与总体指标之间产生抽样误差被允许的

最大可能范围，它是根据所研究对象的变异

程度和分析任务的要求来确定的可允许的误

差范围，凡是在这个范围内的数字都算有效，

统计上把这种可允许的误差范围称为抽样极

限误差。

2026-9-1828

根据样本指标估计总体指标必会产生误差，

但误差不能太大，以免使抽样估计失去意义；

但误差也不是愈小愈好，因为这样就要增加

样本单位数，必然提高很多费用，所以要确

定一个误差范围。

2026-9-1829

抽样极限误差通常用样本指标可允许变动的上限或下限

与总体指标的绝对离差表示。设和分别表示抽样平均数

和抽样成数的抽样极限误差，则有

xXpP

xp

上式可变换为下列不等式xXx

xx

pPp

pp

上式表明总体平均数X是以抽样平均数x为中心，

在x的范围内变动。总体成数P也是如此，这

x

个变动范围被称为估计区间。

2026-9-1830

2．抽样误差的概率度

基于概率估计的要求，抽样极限误差通常需要以

抽样平均误差或为标准单位来衡量。把极限误差

或分别除以或，得相对数t，它表示误差范围为

抽样平均误差的若干倍，t是测量估计可靠程度

的一个参数，称为抽样平均误差的概率度。

xX

tx或t

xx

xx

ppP

t或ptp

pp

2026-9-1831

6．3抽样推断的方法

抽样估计是指利用实际调查计算的样本指标值来

估计相应的总体指标的数值。由于总体指标是表

明总体数量特征的参数，所以也称为参数估计。

总体参数估计有点估计和区间估计两种

2026-9-1832

1．点估计。点估计（pointestimation）的基本

特点是，根据总体指标的结构形式设计样本指标

作为总体参数的估计量，并以样本指标的实际值

作为相应总体参数的估计值（例如以样本平均数

的实际值作为相应总体平均数的估计值，以样本

成数的实际值作为相应总体成数的估计值等）。

2026-9-1833

Whentheestimationof

apopulationis

expressedasasingle

numericalvalue,itis

referredtoasapoint

estimation.

2026-9-1834

常用概率度与概率保证度表

概率度t概率F(t)

(%)

1.0068.27

2.0095.45

3.0099.73

1.6490.00

1.9695.00

2.5899.00

2026-9-1835

抽样估计的优劣标准

无偏性unbiasedness

有效性efficiency

一致性consistency

2026-9-1836

无偏性unbiasedness

抽样指标

的平均数

等于全及

指标。即：

抽样指标

的估计，

平均说来

是没有误

差的。

2026-9-1837

有效性efficiency

作为优良

估计量的

方差应比

其它估计

量的方差

小。即：

方差最小

原则。

2026-9-1838

一致性consistency

当样本容量

充分大时，

抽样指标也

充分地靠近

全及指标。

即：ｎ→Ｎ

时，△→０

limPET1

n

2026-9-1839

2．区间估计

区间估计(intervalestimation)是在一定的概

率把握程度下，根据样本指标和抽样极限误差

去估计总体指标所在可能范围的方法。

在总体指标的区间估计公式中，有两个要素，

一个是置信区间，另一个是置信概率。

2026-9-1840

置信区间(confidenceinterval)又称为估计区间，

是指由低限到高限两个数值所构成的可能范围，

由样本指标和极限误差组成。

估计的准

确性问题

置信概率(confidenceprobability)是指区间估计的

概率保证程度，也称为置信度。它是表明样本指标

与总体指标的误差不超过一定范围的概率有多大

估计的可

靠性问题

2026-9-1841

置

信

区

间

2026-9-1842

总体平均数的估计就是用抽样平均数来估计总体平均数

考试成绩（分）60以下60-7070-8080-9090以上

学生人数（人）102022408

按重复抽样方法以95.45%概率估计该校学生英语平均成绩的范围。

xf76602

分xxf12944

x76.6()11.38(分)

f100f100

11.38

1.1（4分）t21.142.2（8分）

xn100xx

下限==74.32分上限==78.88分

xxx

x

在95.45%概率保证程度下，该校学生英语考试的平均成绩在74.32-78.88分之间。

2026-9-1843

总体成数的估计就是用抽样成数来估计总体成数

仍按上例资料，以同样的概率估计该校学生成绩在

80分以上的学生所占的比重的范围。

48

解：样本合格率为P48%

100

抽样平均误差为：P(1P)0.48(10.48)

4.996%

抽样极限误差为：pn100

t24.996%9.992%

pp

下限P38.01%

p

上限P57.99%

p

在95.45%的概率保证程度下，该校学生成绩在80分

以上的学生所占的比重的范围在38.01%-57.99%之间。

2026-9-1844

6.3.2样本容量的确定

1．确定必要样本容量的意义

样本单位数越多，样本的代表性越大，抽样误

差越小，抽样估计就越可靠。但样本容量过多

会增加不必要的人力、物力和费用开支，造成

浪费。样本容量减少，又会使抽样误差增大，

达不到所需要的准确程度。

基本原则是，在保证预期的抽样估计可靠程度

的要求下，抽取的样本单位数不宜过多。

2026-9-1845

2．影响样本容量的因素

（1）总体各单位标志变异程度。总体标志变异程度大，

要求样本容量大些；反之，总体标志变异程度小，样本

容量可以小些。

（2）抽样方法。在其他条件相同的情况下，重复抽样要

比不重复抽样多抽取一些样本单位。

（3）抽样组织形式。一般来说，类型抽样和等距抽样

的样本容量要小于简单随机抽样的样本容量。

2026-9-1846

（4）极限误差的大小。如果允许误差大，样本容量就

小；反之，如果允许误差小，样本容量就大。

（5）抽样估计的可靠程度即概率F（t）的大小。如果

估计的可靠程度要求越高即F（t）越大，样本容量就

越多；反之，如果估计的可靠程度要求越低，即F（t）

越小，样本容量就越少。

2026-9-1847

3．必要样本容量的计算公式

（1）平均数的必要样本容量的计算公式

22

在重复抽样的条件下为：t

n2

x

22

在不重复抽样的条件下为：Nt

n2

22

Nxt

2026-9-1848

（2）成数的必要样本容量的计算公式

2

P(1P)

在重复抽样的条件下为：t

n2

p

2

P(1P)

在不重复抽样的条件下为：nNt

22

NptP(1P)

2026-9-1849

【实例】对某罐头厂生产的罐头质量进行抽样调查，抽

样极限误差为5%，概率为0.9545，并知过去进行同样抽

样调查，其不合格率为10%，试求必要的样本容量。

根据题意可知：t=2、P=90%、=5%

在重复抽样的条件下：

2

P(1P)290%(190%)

t2(盒)

n22144

p5%

2026-9-1850

4．计算必要样本容量应注意的问题

•第一，在实际中采用不重复抽样。但常用重复抽

样下的公式近似代替。

•第二，若σ2，P未知，其处理方式是：①用过

去(近期)的数据代替；②用样本数据代替；③取

P=0.5或最接近0.5的P值。

•第三，对同一总体，若求出的nx、np不等，这时

取较大的一个作为必要抽样数目，以同时满足作

两种调查的需要。

•第四，在实际工作中，常使用重复抽样下的简单

随机抽样公式。

2026-9-1851

6.3.3抽样的组织形式

抽样的基本组织形式可分为

简单随机抽样(纯随机抽样)、

类型抽样、

机械抽样、

整群抽样等几种。

2026-9-1852

1简单随机抽样

simplerandomsampling

又称纯随机抽样。它是按随机原则直接从总体

N个单位中抽取n个单位作为样本。不论是重复

抽样或不重复抽样，都要保证每个单位在抽选

中都有相等的中选机会。

是一种最简单而又最基本的抽样组织形式，

它往往带有盲目性，因此多用于对总体的

初期研究。

2026-9-1853

简单随机抽样中抽选样本的常用方法有三种

§第一种是直接抽取法

§第二种是抽签摸球法

§第三种是利用随机数表法

2026-9-1854

2分层抽样

stratifiedrandomsampling

又称类型抽样。它是先对总体各单位按主要

标志加以分组，然后再从各组中按随机原则

抽选一定单位构成样本。

类型抽样的方法又分两种：

等比例抽样和不等比例抽样。

2026-9-1855

如果按比例分配样本单位，可以得到类型抽样误差公式

1．在重复抽样条件下

2

i

变量总体：x

2n

其中2ini是各组方差的加权平均数，习惯

in

上称为平均组内方差。

(1)

属性总体PiPi

pn

其中i(1i)·i是各组比率的方差加权

(1)PPn

PiPin

平均数，是属性总体的平均组内方差。

2026-9-1856

2．在不重复抽样条件下

2

in

(1)

xnN

(1)n

PiPi(1)

pnN

以上总体2参数、是未知的，习惯用样本值2、

iPiSi

代替

Pi

2026-9-1857

3等距抽样

systematicsampling

也称机械抽样或系统抽样。它先按某一标志

对总体各单位进行排队，然后依一定顺序和

间隔来抽取样本单位的一种抽样组织

可分为按无关标志排队和按有关标志排队两种

按无关标志排队指采用的排队标志与所研究的

问题没有直接关系或联系较少

按有关标志排队指采用的排队标志与所研究的

问题有直接关系。

2026-9-1858

4整群抽样

clustersampling

又称聚点抽样或群体抽样，它是先将总体划分

为若干群(R群)，再从中任意抽取几群(r群)，

然后对抽中的群作全面调查，并据此结论对总

体加以推断。

整群抽样尤其适用于存在自然群的场合

因为整群抽样是成群地抽选样本，故整群抽样

的误差较大。

由于整群抽样是成群地抽样，从而使样本对总体

的代表性会降低。

2026-9-1859

由于对抽中的群作全面调查，因此整群抽

样的误差主要受各群间的差异即群间方差

的影响，而群内却不存在抽样误差问题。

整群抽样下的平均误差公式如下：

22

xRrpRr

x

rR1prR1

22

其中x，p称为群间方差

2026-9-1860

必要抽样群数r的确定公式类同简单随机抽样中有

2

关公式。只不过现在确定的是r，并用组内方差

2

22

取代。R

t

r22

R2t

【实例】某产品合计生产3000批，每批产量大致相同，

抽样检查产品合格品率。要求其允许误差不超过2%，

若根据过去该产品质量资料，其各批群间方差为3%，

问在95.45%（t=2）可靠程度下需抽多少批产品为宜？

222

R30000.03

t2

r22222273

Rt30000.0220.03

即要在全部产品中抽273批产品检查

2026-9-1861

5多阶段抽样

multi-stagesampling

是在组织抽样时，不是从总体中一次直接抽取样本单

位，而是把抽样过程分成几个过渡阶段进行。到最后

才具体抽取样本单位。它是先抽大单位，再在大单位

中抽小单位，在小单位中抽更小单位，直到抽出最终

能取得推断总体的基本单位为止。

一般在总体很大，单位分布面积广时，如从总体中

采取一次直接抽取足够多的样本很困难时，可采用

多阶段抽样。

2026-9-1862

6.4参数假设检验

6.4.1假设检验的基本概念

假设检验（Hypothesistesting）

是利用样本的实际资料来检验事先对

总体某些数量特征所作的假设是否可

信的一种统计分析方法。

2026-9-1863

它和参数估计一样，都是利用样本资料对总体

特征进行某种推断。但二者推断角度不同。

参数估计是根据样本指标以一定的把握程度估

计总体参数取值范围，更准确地说，是对总体

参数进行了区间估计；

假设检验则先对总体参数值提出一个假设，然

后利用样本信息，以一定的概率水平去判断这

个假设是否成立。

2026-9-1864

6.4.2假设检验的步骤

一个完整的假设检验过程，通常包括以下四步骤：

第一，提出原假设和备择假设；

第二，选取和计算检验统计量；

第三，根据显著性水平查临界值；

第四，进行比较并做出决策。

2026-9-1865

6.4.3假设检验中的两类错误

假设检验可能犯两种类型的错误。

第一类错误（TypeIerror）指的是H0客观上真

实但被检验所拒绝，这种错误也称为弃真错误。

犯这种错误的概率就是显著水平α；

第二类错误（TypeIIerror）指的是H0客观上

不真实但被检验所接受，这种错误也称为纳伪错

误。犯这种错误的概率我们用β（读作“贝塔”）

来表示。

2026-9-1866

6.4.4总体均值和总体成数检验

1．大样本情况下总体均值检验

在大样本（n≥30）情况下，总体均值的假设检验

可以应用正态分布检验法。

2．小样本情况下总体均值检验

在小样本（n＜30）情况下，总体均值的假设检验

可以应用t分布检验法。此时，检验统计量为t统

计量，它服从自由度为n-1的t分布。

2026-9-1867

【实例6.13】某食品公司生产一种罐头，按标准

每罐净重为227克，根据以往生产经验罐头重量的标

准差为5克。现随机抽查该公司产品100罐，测得平

均净重为228克，判断这批罐头是否符合标准？

解：第一步提出原假设和备择假设。H0：＝227H1：≠227

第二步选取和计算检验统计量。，

代入数值，计算得Z=3.33

第三步根据显著性水平查临界值。

由α=0.05，得临界值-Z0.025=-1.96，Z0.025=1.96

第四步进行比较并做出决策。∵Z=3.33＞Z0.025=1.96

∴拒绝H0

即这批罐头不符合标准。

2026-9-1868

【实例6.14】某轮胎制造商在广告中声称，该公司

生产的汽车轮胎在正常行使条件下平均寿命高于28000

公里。检测部门随机挑选了40个轮胎进行测试，结果

显示平均行使里程28200公里，样本标准差为1000公里，

问该制造商广告是否属实？

解：第一步提出假设。这需要确定检验的方向。题中制造商称轮胎寿命高于28000公

里，表述为＞28000，其余集为≤28000，由于等号在原假设上，故≤28000为原假设

H0，＞28000为备择假设H1，此为右单侧检验。

第二步计算统计量。由于总体标准差s未知，用样本标准差S替代。Z统计量为

代入数值，得Z=1.26

第三步查临界值。因为是右单侧检验，α=0.05时其临界值Z0.05=1.645

第四步比较做决策。∵Z=1.26＜Z0.05=1.645

∴接受H0

∴轮胎平均使用寿命不高于28000公里

∴制造商广告不属实。

2026-9-1869

【实例6.15】某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据

合同规定，灯泡的平均使用寿命不能低于1000小时。从

产品中随机抽取100只灯泡，测得平均寿命为960小时，

标准差为200小时，请问批发商是否应该购买这批灯泡？

解：第一步提假设。H0：≥1000H1：＜1000

第二步计算检验统计量。采用Z统计量，

代入数值，计算得Z=-2

第三步查临界值。由α=0.05，左单侧检验得临界值

-Z0.05=-1.645

第四步比较做决策。

∵Z=-2＜-Z0.05=-1.645

∴拒绝H0

即批发商不应当购买这批灯泡。

2026-9-1870

【实例6.16】某食品公司生产袋装食品，采用自动打包机打包。

每包标准净重应为1000克，每天开工后需要检验一次打包机工作

是否正常。现从产品中随机抽取9包，实测每包净重如下：987，

993，1012，1005，997，983，1021，995，1005，给定显著性水

平α=0.05，问该日打包机工作是否正常？

解：由于本题关心的是每包净重是否为1000克，因此是双侧检验问题。又因为是小样

本资料，故采用t分布检验法。

第一步提假设。H0：＝1000H1：≠1000

第二步计算检验统计量。，

样本平均数=999.8

样本标准差S=1.212