项目八 相关分析与回归分析（课件）-《统计学基础》同步教学（电工版）

项目八相关分析与回归分析

项目八导学

一、相关关系与函数关系

(一)相关关系

它反映着现象间确实存在依存关系，但数量关系上不

严格确定的依存关系称为相关关系。，这种关系有二个明

显特点：

1.现象之间确实存在数量

上的依存关系，即某一社会

经济现象变化要引起另一社

会经济现象的变化；

2.现象之间的这种依存关系

是不严格的，即无法用数学

公式准确表示。

若现象间的这种不严格的依存关系近似于一种直线关

系，则其相关关系的图示如右。

商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系

–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系

–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、

温度(x3)之间的关系

–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系

–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系

一般地

在具有相互依存关系的两个变量中，作为

根据的变量称自变量，一般用X表示；发生对

应变化的变量称因变量，一般用y表示。

如

商品消费量与居民收入之间，当居民收

入发生变动，商品消费量也会随之发生变动。

所以，居民收入为自变量X，而商品消费量为

因变量Y。

(二)函数关系

它反映着现象之间存在着

严格的依存关系，也就是具有

确定性的对应关系，这种关系

可用一个数学表达式反映出来。

若两个现象x、y有严格的直

线依存关系，则其函数关系还

可用右图表示。

函数关系的例子

(三)相关关系与函数关系的区别和联系

相同点：两者都是现象之间确实存在依存关系。

不同点：（1）函数关系现象之间的关系是确定的，而相

关关系现象之间的依存关系则是不确定；（2）函数关系

变量之间的依存可用一定的方程y=f（x）表示出来，而相

关关系变量之间则不能用一定的方程表示。（3）相关关

系中变量关系是对等的，函数关系中有自变量X和因变量

Y之分。

二、相关关系的种类

1.按相关关系涉及的因素多少来分，可分为：

单相关和复相关。

单相关，即只涉及一个自变量和一个因变量。

复相关，三个或三个以上因素的相关关系，即

涉及二个或二个以上的自变量和因变量。

在实际工作中，如存在多个自变量，可抓住

其中主要的自变量，研究其相关关系，而保持另

一些因素不变，这时复相关可转化为偏相关。

2.按相关关系的性质来分，可分为:正相关和负相关

正相关是指两相关现象变化的方向是一致的。

负相关是指两相关现象变化的方向是相反的。

正相关负相关

3.按相关关系的形式来分，分为：直线相关和曲线相关

直线相关是指两个相关现象之间，当自变量X的数

值发生变动时，因变量y随之发生近似于固定比例的变动，

在相关图上的散点近似地表现为直线形式，因此称其为

直线相关关系。

曲线相关是指两个相关现象之间，当自变量X的数

值发生变动时，因变量y也随之发生变动，但这种变动在

数值上不成固定比例，在相关图上的散点可表现为抛物

线、指数曲线、双曲线等形式，因此称其为曲线相关关

系。

直线相关曲线相关

4.按相关程度分,分为：完全相关、不完全相关和不相关

完全相关就是相关现象之间的关系是完全确定

的关系，因而完全相关关系就是函数关系。

不相关是指两现象之间在数量上的变化上各自

独立，互不影响。

不完全相关就是介于完全相关和不相关之间的

一种相关关系。相关分析的对象主要是不完全相关

关系。

四、相关关系的判断

（一）相关表

将自变量x的数值按照从小到大的顺序，

并配合因变量y的数值一一对应而平行排列的

表。

简单相关表

单变量分组相关表

分组相关表

双变量分组相关表

（二）相关图

又称散点图。将x置于横轴上，y置于纵轴

上，将（x,y）绘于坐标图上。用来反映两变

量之间相关关系的图形。

当有三个变量存在相关关系时，如何用相

关图表示呢？

例1：简单相关表和相关图

例2相关图

10

9.5

9

8.5

8

7.5

7

流6.5

通6

费04812162024283236

用

率销售额(万元)

(

%

)

（三）相关系数

相关系数是在直线相关条件下，表明两

个现象之间相关关系的方向和密切程度的综

合性指标。一般用样本数据计算，记为r；若

用总体全部数据计算，则称为总体相关系数，

记为。

1、相关系数r的计算方法

简化后为:

2、相关系数计算结果的分析及应用

(1)r取正值或负值决定于分子协方差；

(2)r的绝对值，在0与1之间；

(3)r的绝对值大小，可说明现象之间相关关系的紧

密程度。

一般标准如下：

r<0.3时，没有关系；

0.3≤r<0.5时，称低度相关；

0.5≤r<0.8时，称显著相关(或中度相关)；

r≥0.8时，称高度相关；

四、相关分析的内容及特点

对现象之间相互关系及其相互关系密切程度的研究称为相关分析.

（一）相关分析的内容

1．确定现象之间有无相关关系。判断现象间是否存在着依存关系

是相关分析的起始点。有相互依存关系，才有必要采用相关分析

方法去研究。

2．确定相关关系的表现形式。只有判明了现象相关关系的具体表

现形式后，才能运用相应的相关分析方法去进—步研究相关的程

度。

3．判定相关关系的密切程度和方向。从现象之间不严格的数量关

系中判定其相关关系的密切程度和方向。

（二）相关分析的特点

在相关分析中，所涉及的变量关系对等，即在相关分析中，不必定

出哪个变量是自变量x，哪个变量是因变量Y，可以根据具体情况

，进行统计函数的设定。

在回归分析中，两个变量之间的回归称

为简单回归，两个以上变量之间的回归称为

复回归。无论是简单回归还是复回归，数学

模型均有线性(直线)回归和非线性(曲线)回

归之分。

一、回归分析

回归分析是对具有相关关系的现象，运用一个数学模型

（回归方程）近似地表示变量之间的一般关系或平均变化关

系，并近似地进行估算和预测的一种统计分析方法。

回归分析的特点：

1）回归分析中两变量是非对等关系，一个是自变量，一个是

因变量。必须根据研究目的确定哪个是自变量，哪个是因变

量。

2）回归方程不是抽象的数学模型，而是用给定自变量数值推

算因变量值的根据，反映变量之间关系的一般变动情况。

3）因变量y是随机变量，自变量x是可控的非随机变量。

4）回归分析中回归方程反映的是变量间的变动关系，回归系

数可正可负，正、负表示相关方向。而相关分析反映的是变

量间的密切关系。

一、回归分析

回归分析的具体内容包括：

——确定现象之间相关关系的数学表达模型

——进行回归方程的显著性检验和测定估计标准误差

——运用回归方程进行预测

一、简单直线回归方程的一般形式为：

yc=a+bx

yc——因变量的估计值；

x——自变量；

a——回归直线在y轴上的截距；

b——回归直线的斜率，称回归系数,表明x每增加

一个单位，因变量yc的平均变化值

b>0，x与y为正相关

b<0，x与y为负相关

一、回归分析

（二）回归分析与相关分析的区别与联系

1.区别

①回归分析所研究的两个变量是非对等关系，必须根据研究目的，先确定其

中一个是自变量，另一个是因变量；相关分析所研究的两个变量是对等关系

。

②对两个变量x和y来说，回归分析中，对互有因果关系的变量，根据研究目

的的不同可以建立两个不同的回归方程。以x为自变量，y为因变量，可以得

出x对y的回归方程；以y为自变量，x为因变量，可得出y对x的回归方程；相

关分析只能计算出一个反映两个变量间相关密切程度的相关系数，x和y的位

置不影响相关系数。

③回归分析对资料的要求是：自变量是可以控制的变量或给定的变量，而因

变量是随机变量；相关分析对资料的要求是：两个变量必须都是随机变量。

2.联系

①相关分析是回归分析的基础和前提，如果缺少相关分析，没有说明现象间

是否具有相关关系，没有对相关关系的密切程度做出判断，就不能进行回归

分析，即便进行了回归分析，其回归方程的代表性也是值得质疑的。

②回归分析是相关分析的深入和继续。

SimpleLinearregression

一

元

线

性

回

归

二、一元线性回归分析（简单线性回归分析）

一元线性回归分析是用直线方程表明两个变量之间的

变动关系，并进行估计推算的分析方法。也称为简单线性

回归分析。是一般回归分析的基础。

（一）一元线性回归分析的条件

1）现象之间确实存在数量上的相互依存关系

2）现象之间的一依存关系是线性关系，这种关系可以通

过绘制相关图来判断

3）具备一组因变量与自变量的对应资料，且明确哪个是

因变量哪个是自变量。

（二）一元线性回归方程的建立

ycbx

式中：与b为模型参数，b回归直线的斜率

ycy的估计值，x自变量；

yc是根据回归方程推算出来的因变量的理论值，是实际

值y的平均值；a称为回归直线的截距，表示在没有自变

量x的影响时，其它各种因素对因变量y的平均影响；回

归系数b表明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变

动b个单位。

E(Y)

ycbx

截距斜率

X

一元线性回归方程的可能形态

b为正b为负b为0

ycabx

最小平方法

yyc0

基本数学要求：

2

(yyc)min

由2，有2

(yyc)minyabxmin,

分别对函数中a、b求偏导数，并令其为零，有

2yabx10

2yabxx0

nxyxylxy(xx)(yy)

b

nx2(x)2lxx(xx)2

yx

abybx

nn

思考：回归系数b与相关系数r的关系如何？

年度2010201120122013201420152016201720182019

销售收入y（万元）50515253535455565657

广告费用x（万元）2234566678

解：先绘制散点图观察销售收入与年广告费用之间是否存

在线性相关关系。

设线性回归方程为yc=a+bx

计算a、b的值，下面列表计算

年度销售收入y广告费用xx2y2xy

201050242500100

201151242601102

201252392704156

2013534162809212

2014535252809265

2015546362916324

2016556363025330

2017566363136336

2018567493136392

2019578643249399

合计53748264288852616

代入公式

nxyxy10261648537

b2221.1429

nx(x)1026448

yx5371.142948

ab48.2141

nn10

yc48.21411.1429x

由y2计算估计标准误

四、一元回归模型的估计标准误

在建立了回归方程后，就可以利用回归方程由给定

的自变量值估计因变量的理论值（估计值）yc=a+bx。

而因变量的实际值y与理论值yc有差距，这就需要测定

估计值的准确性问题。实际值y与理论值yc之差称为残

差、估计误差。度量观测值与估计值离差的一般水平用

估计标准误差。

估计标准误差(s)是观察值与估计值之间的

标准差；是衡量回归直线代表性的统计指标；是反映观

测值围绕回归直线的分散程度。估计标准误越小，说明

估计值的代表性越好、回归方程的拟合度较好。

估计标准误差的计算公式

(yy)2y2aybxy

Sc

yxn2n2

一、点预测

在不考虑估计误差的条件下，进行一元线性回归预测，显

得比较简单。根据—元线性回归方程yc＝a＋bx进行预测，其

预测值为yc0＝a＋bx0。x0为给定x具体数值，yc0是当x＝x0时y

的预测值，通常也称点估计或点预测。

二、区间预测

1）一般来说，在大样本时（即n＞30时），且x0不远离x时，

则可以根据正态分布进行预测，在给定置信度1a下，预测

区间为：

P(yc0Zsyxy0yc0Zsyx2(Z)1

222

2）在小样本情况下，采用t分布进行预测。当给定置信概率

（即可靠度）1a时，y0预测区间为：

22

1xx1xx

ytn210yytn210

c0aSyxn20c0aSyxn2

2xx2xx

ii

一、Excel在相关分析中的应用

（一）相关图的绘制

“插入”菜单，选择“图表”选项卡中的“散点图”。

（二）相关系数的计算

1.利用CORREL函数计算相关