2025-2026学年上海市黄浦区敬业中学七年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区敬业中学七年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列说法中正确的是（）A．的系数是 B．的次数是2次 C．是二次三项式 D．的一次项是．2．下列等式中，表示“同底数幂的乘法性质”的是（）A．、是正整数） B．、是正整数） C．是正整数） D．、是正整数）．3．下列各式从左到右是因式分解的是（）A． B． C． D．4．将多项式分解因式得（）A． B． C． D．5．若，且、、均为整数，则的值不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．．6．如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）．小海认为：；乐乐认为：．关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（）A．小海正确、乐乐正确 B．小海错误、乐乐正确 C．小海正确、乐乐错误 D．小海错误、乐乐错误．二．填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．．8．计算：．9．计算：．10．计算：．11．若无意义，则整式的值为．12．已知，，那么．13．因式分解．14．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是．15．若关于的整式是某个整式的平方，那么．16．已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为．17．若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．例如：正整数3不是“可拆分”整数，因此；而正整数23有三种拆分方法，即、、，因此；按照上述定义，．18．已知有理数、、、满足，且，那么．三．解答题（本大题共6题，每题4分，共24分）19．计算：．20．计算：．21．计算：．22．计算：．23．因式分解：．24．因式分解：．四．解答题（本大题共5题，第25~27题每题4分，第28题8分，第29题14分，共34分）25．先化简，再求值：，其中，，．26．如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示．（1）结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？（2）若分米，分米，求该物料的面积．27．若，，求下列各式的值：（1）；（2）．28．我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？其实这些系数的规律早在11世纪就已经被我国北宋数学家贾宪发现．1262年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，你会发现，这个“三角形的两条斜的“边”都是由数字1组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的和，借助这样的规律我们可以得出的展开式中各项系数．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．请借助“贾宪三角”解决下列问题：（1）整式的展开式是一个次项式；（2）计算：；（3）若的展开式各项系数之和为，求的值（结果用幂的形式表示）29．如图，有、、三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形．（1）若取出型卡片张、型卡片张、型卡片张，可以拼成一个长为、宽为的长方形；（2）若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形；（3）若将选取的卡片拼成一个正方形：①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由．②若，请用含的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由．

参考答案一．选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列说法中正确的是（）A．的系数是 B．的次数是2次 C．是二次三项式 D．的一次项是．解：、的系数是，选项说法错误，不符合题意；、的次数是次，选项说法错误，不符合题意；、的最高次项是，次数为2，且有三项，是二次三项式，选项说法正确，符合题意；、的一次项是，选项说法错误，不符合题意．故选：．2．下列等式中，表示“同底数幂的乘法性质”的是（）A．、是正整数） B．、是正整数） C．是正整数） D．、是正整数）．解：为幂的乘方法则，不符合题意，为同底数幂的乘法法则，符合题意，为积的乘方法则，不符合题意，等式不成立，不符合题意，故选：．3．下列各式从左到右是因式分解的是（）A． B． C． D．解：、等式的右边不是乘积的形式，是整式的乘法，则此项不是因式分解；、不满足因式分解的定义，则此项不是因式分解；、等式的右边不是乘积的形式，则此项不是因式分解；、满足因式分解的定义，则此项是因式分解；故选：．4．将多项式分解因式得（）A． B． C． D．解：．故选：．5．若，且、、均为整数，则的值不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．．解：若，且、、均为整数，，比较系数，得，，、为整数，且，所有整数对为：，；，；，；，；，；，．（其余对为重复值，略），的可能值为13，8，7，，，．选项不在可能值中，故不可能．故选：．6．如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）．小海认为：；乐乐认为：．关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（）A．小海正确、乐乐正确 B．小海错误、乐乐正确 C．小海正确、乐乐错误 D．小海错误、乐乐错误．解：设四个小正方形的边长为，则，解得，，，，，小海正确、乐乐正确，故选：．二．填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．．解：．故答案为：．8．计算：．解：原式．故答案为：．9．计算：．解：．故答案为．10．计算：．解：原式，故答案为：．11．若无意义，则整式的值为2．解：根据题意可知，，，．故答案为：2．12．已知，，那么．解：，，．故答案为：．13．因式分解．解：．故答案为：．14．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是．解：粮食总产量大约为，人口为人，人均粮食产量为：．故答案为：．15．若关于的整式是某个整式的平方，那么．解：关于的整式是某个整式的平方，则，，当时，，即，当时，，即．故答案为：．16．已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为．解：已知关于的整式可以写成两个因式的积，设另一个因式为，则，，，另一个因式为，故答案为：．17．若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．例如：正整数3不是“可拆分”整数，因此；而正整数23有三种拆分方法，即、、，因此；按照上述定义，．解：若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．对于，，89是质数，其因子只有1和89，无法满足因子均不小于2的条件，，对于，，的因子对（均不小于2且不相等）有、、、、，共5对，，．故答案为：．18．已知有理数、、、满足，且，那么．解：已知有理数、、、满足，且，，，，，，，，，解得，．，．，故答案为：．三．解答题（本大题共6题，每题4分，共24分）19．计算：．解：．．20．计算：．解：原式．21．计算：．解：原式．22．计算：．【解答】解；原式．23．因式分解：．解：，．24．因式分解：．解：原式．四．解答题（本大题共5题，第25~27题每题4分，第28题8分，第29题14分，共34分）25．先化简，再求值：，其中，，．解：，当，时，原式．26．如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示．（1）结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？（2）若分米，分米，求该物料的面积．解：（1）图2的面积可以表示为，图1中阴影部分的面积为；；（2）当，时，（平方分米），即为28平方分米．27．若，，求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）由题意可得：原式；（2）由题意可得：，或．28．我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？其实这些系数的规律早在11世纪就已经被我国北宋数学家贾宪发现．1262年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，你会发现，这个“三角形的两条斜的“边”都是由数字1组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的和，借助这样的规律我们可以得出的展开式中各项系数．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．请借助“贾宪三角”解决下列问题：（1）整式的展开式是一个五次项式；（2）计算：；（3）若的展开式各项系数之和为，求的值（结果用幂的形式表示）解：（1）在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．观察所给各式可知，计算结果中的各项系数依次为：1，1；计算结果中的各项系数依次为：1，2，1；计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1；计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1；由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1，即，整式的展开式是一个五次六项式，故答案为：五，六；（2）把，代入，得：，，；（3）若的展开式各项系数之和为，计算结果各项系数之和为；计算结果各项系数之和为；计算结果各项系数之和为；计算结果各项系数之和为；，计算结果各项系数之和为，当时，的展开式各项系数之和的值为．29．如图，有、、三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形．（1）若取出型卡片2张、型卡片张、型卡片张，可以拼成一个长为、宽为的长方形；（2）若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形；（3）若将选取的卡片拼成一个正方形：①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由．②若，请用含的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由．解：（1）长方形的面积为．型卡片面积为，型卡片面积为，型卡片面积为，需要型卡片2张、型卡片2张，型卡片5张、故答案为：2，5，2；（2）设需要张型卡片，面积为，则总面积为，将其因式分解，，需要5张型卡