2025-2026学年上海市黄浦区立达中学七年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区立达中学七年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共18分）1．若有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．下列式子中，正确的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A． B． C． D．4．下列因式分解正确的是（）A． B． C． D．5．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（）A． B． C． D．6．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（）A． B． C． D．二、填空题（每空2分，共24分）7．计算：．8．在横线上填入适当的整式．9．因式分解：．10．分解因式：．11．因式分解：．12．因式分解：．13．因式分解：．14．已知多项式分解因式为，则．15．已知，，则．16．如果整式是某个整式的平方，那么常数．17．现定义一种新运算：．若（2），则（2）（4）（2），所以（4）（2）（2）．若（3），则（9）．18．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为平方米．三、解答题19．（20分）因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．20．利用因式分解简便计算：．21．先化简，再求值：，其中，．22．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：将分解因式小彬的解法：第1步第2步第3步小颖的解法：第1步第2步第3步任务：（1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是；（2）老师认为两名同学的解答过程都有道理：小彬同学的第1步依据是运用了公式；小颖同学的第1步依据是运用了公式；（3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程．23．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖出直径分别为与的两个圆．（1）求剩下的钢板的面积；（2）若剩下的钢板面积是原钢板面积的，求与的关系．24．观察下列各式：；；；根据你发现的规律完成下列各题：（1）填空：；（2）填空：；（3）因式分解：．25．阅读下列解题过程：分解因式：．分析：题中是，把，分别看作，，用公式法分解因式，即可得．解：设，，则：原式，像这样因式分解的方法叫做运用换元法因式分解．请你参照上述方法因式分解：．26．中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题．杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位．1步尺）解：设宽为步，则长为步，得方程①．如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是②平方步，大正方形面积是③平方步，于是矩形的长与宽的和是④步，得到宽（即的一个正数解）为⑤步．（在对应序号处填空，写在答题纸上）请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程（求出一个正数解即可）．（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记）

参考答案一、选择题（每题3分，共18分）1．若有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．解：有意义，则，解得：．故选：．2．下列式子中，正确的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①；故①不正确；②；故②正确；③；故③不正确；④，故④正确；所以，上列式子中，正确的有2个，故选：．3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A． B． C． D．解：．等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；．是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；．等式右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；．符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意；故选：．4．下列因式分解正确的是（）A． B． C． D．解：，故错误，不符合题意；，故错误，不符合题意；，故正确，符合题意；在有理数范围内不能分解，故错误，不符合题意；故选：．5．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（）A． B． C． D．解：．，那么分组正确，故不符合题意．．，那么分组正确，故不符合题意．．无法进行分组分解，那么分组错误，故符合题意．．，那么分组正确，故不符合题意．故选：．6．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（）A． B． C． D．解：，，因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，，，，故选：．二、填空题（每空2分，共24分）7．计算：0．解：，，．故答案为：0．8．在横线上填入适当的整式．解：，故答案为：．9．因式分解：．解：原式，故答案为：．10．分解因式：．解：．故答案为：．11．因式分解：．解：．故答案为：．12．因式分解：．解：；故答案为：．13．因式分解：．解：；故答案为：．14．已知多项式分解因式为，则．解：由题意得：，，，，，，故答案为：．15．已知，，则．解：因为，，所以，故答案为：．16．如果整式是某个整式的平方，那么常数6.5或．解：整式是某个整式的平方，，，，解得：或，故答案为：6.5或．17．现定义一种新运算：．若（2），则（2）（4）（2），所以（4）（2）（2）．若（3），则（9）27．解：（3），（3）（6）（3），（6）（3）（3），（6）（9）（3），（9）（6）（3），故答案为：27．18．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为2平方米．解：一个长方形的周长为8米，若它的长为米，宽为米，所以，即，，即，，，，把，代入，得，即，解得，．故答案为：2．三、解答题19．（20分）因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．20．利用因式分解简便计算：．解：原式．21．先化简，再求值：，其中，．解：，当，时，原式．22．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：将分解因式小彬的解法：第1步第2步第3步小颖的解法：第1步第2步第3步任务：（1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是小彬；（2）老师认为两名同学的解答过程都有道理：小彬同学的第1步依据是运用了公式；小颖同学的第1步依据是运用了公式；（3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程．解：（1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是小彬，故答案为：小彬；（2）老师认为两名同学的解答过程都有道理：小彬同学的第1步依据是运用了完全平方公式；小颖同学的第1步依据是运用了平方差公式；故答案为：完全平方；平方差；（3）我按照小颖同学的思路，正确的解答过程如下：．23．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖出直径分别为与的两个圆．（1）求剩下的钢板的面积；（2）若剩下的钢板面积是原钢板面积的，求与的关系．解：（1）剩下的钢板的面积为；（2）根据题意，得，化简得，，．24．观察下列各式：；；；根据你发现的规律完成下列各题：（1）填空：；（2）填空：；（3）因式分解：．解：（1）由题知，因为；；；，所以．当时，．故答案为：；（2）由（1）知，．故答案为：；（3）由上述规律可知，．25．阅读下列解题过程：分解因式：．分析：题中是，把，分别看作，，用公式法分解因式，即可得．解：设，，则：原式，像这样因式分解的方法叫做运用换元法因式分解．请你参照上述方法因式分解：．解：设，，．26．中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题．杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位．1步尺）解：设宽为步，则长为步，得方程①．如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是②平方步，大正方形面积是③平方步，于是矩形的长与宽的和是④步，得到宽（即的一个正数解）为⑤