2025-2026学年上海市闵行区七宝二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年上海市闵行区七宝二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分）1．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为（）A． B． C． D．2．在△中，，如果，，那么的长是（）A．3 B． C． D．3．在△中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．4．若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为A． B． C． D．5．下列命题中，正确的是（）A．如果或，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果、为实数，那么6．下列命题中正确的个数是（）①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为；②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外切；③过三点可以确定一个圆；④两圆的公共弦垂直平分连心线．A．0个 B．4个 C．2个 D．3个二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则．8．计算：．9．已知点在线段上，且满足，那么．10．如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是千米．11．已知抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是．12．正八边形的中心角为度．13．如图，，点、分别在、上，如果，，，那么的长为．14．如图，在△中，，于，如果，那么的值是．15．如图，在△中，、分别为，边上的中点，、交于点，如果，那么．16．如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则．17．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割，锐角的正割记作．已知在△中，，点是斜边的中点，点在边上，，，那么的值是．18．如图，在△中，，，，将△绕点逆时针旋转，点落在的平分线上与点重合，点落在点上，交的延长线于点．那么．三、解答题：（共7题，满分78分）19．计算：．20．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，与相交于点，，．（1）求的长；（2）设，，那么，（用向量、表示）．21．已知：在△中，，，垂足为点，，，是边上的点，联结．（1）求的长；（2）如果，求的值．22．根据下列素材，完成探索任务．核验山区信号塔高度项目素材1图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图．它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点点处与水平地面上的点处．根据选址时勘测日志中的记载，点的地面海拔高度为592米，点的地面海拔高度为542米，、两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从点到点共走了130米，从点到点共走了60米．素材2图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的信号塔就建在山上的点处．根据施工日志资料显示，信号塔底点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的点处利用测角仪测得塔顶点的仰角为，在点利用测角仪测得塔顶点的仰角为，测角仪的高度忽略不计．问题解决任务一如图①，求斜坡的坡比．任务二如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个信号塔的高度．（参考数据：，，，，，23．如图，已知在△中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：．24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与△相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在四边形中，，，，，点为边上一点，将△沿翻折，点落在对角线上的点处，连接并延长交射线于点．（1）如果，求的长；（2）当点在边上时，连接，设，，求关于的函数关系式并写出的取值范围；（3）连接，如果△是等腰三角形，求的长．

参考答案一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分）1．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为（）A． B． C． D．解：两个相似三角形的周长比为，它们的相似比为．它们的对应中线的比为，故选：．2．在△中，，如果，，那么的长是（）A．3 B． C． D．解：，，故选：．3．在△中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．解：，，当时，，，故选项能够判断；而，，选项不能判断；故选：．4．若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为A． B． C． D．解：向下平移2个单位，再向左平移3个单位得．故选：．5．下列命题中，正确的是（）A．如果或，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果、为实数，那么解：．如果或，那么，故不正确；．如果、都是单位向量，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确；．如果，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确；．如果、为实数，那么，正确；故选：．6．下列命题中正确的个数是（）①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为；②如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外切；③过三点可以确定一个圆；④两圆的公共弦垂直平分连心线．A．0个 B．4个 C．2个 D．3个解：①直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么它的外接圆半径为5，①是假命题；如果两个直径为10厘米和6厘米的圆，圆心距为16厘米，那么两圆外离，②是假命题；过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，③是假命题；两圆的连心线垂直平分公共弦，④是假命题，故选：．二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则．解：由条件可得：，，，，故答案为：．8．计算：．解：．故答案为：．9．已知点在线段上，且满足，那么．解：点在线段上，且满足，点是线段的黄金分割点，且，，故答案为：．10．如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是60千米．解：设、两地的实际距离为，则：，解得（千米），、两地的实际距离为60（千米）．故答案为：60．11．已知抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是．解：由题知，因为抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，所以抛物线的开口向下，则的取值范围是．故答案为：．12．正八边形的中心角为45度．解：正八边形的中心角等于；故答案为45．13．如图，，点、分别在、上，如果，，，那么的长为6．解：，，，，故答案为：6．14．如图，在△中，，于，如果，那么的值是．解：，，，，即，，△△，，设，，则，，故答案为：．15．如图，在△中，、分别为，边上的中点，、交于点，如果，那么．解：为边上的中点，，为边上的中点，，、分别为，边上的中点，是△的中位线，，，△△，，，，故答案为：．16．如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则8．解：如图，连接，直径，，，，，，，，故答案为：8．17．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割，锐角的正割记作．已知在△中，，点是斜边的中点，点在边上，，，那么的值是．解：如图所示：在△中，，点是斜边的中点，是△斜边上的中线，，△是等腰三角形，，，，，是△的外角，，，△是直角三角形，，，，设，则，由勾股定理得：，．18．如图，在△中，，，，将△绕点逆时针旋转，点落在的平分线上与点重合，点落在点上，交的延长线于点．那么．解：如图，设和交于点，作于，，是的平分线，，，，，点落在的平分线上与点重合，，，，点落在的平分线上与点重合，点落在点上，，，，，，，，△△，，，，，，故答案为：．三、解答题：（共7题，满分78分）19．计算：．解：．20．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，与相交于点，，．（1）求的长；（2）设，，那么，（用向量、表示）．解：（1），，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，，．解法二：，，，，，，，，，，，．故答案为：，．21．已知：在△中，，，垂足为点，，，是边上的点，联结．（1）求的长；（2）如果，求的值．解：（1），，，令，，，，，，，，，，；（2）过作于，，，△△，，，，，，，．22．根据下列素材，完成探索任务．核验山区信号塔高度项目素材1图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图．它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点点处与水平地面上的点处．根据选址时勘测日志中的记载，点的地面海拔高度为592米，点的地面海拔高度为542米，、两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从点到点共走了130米，从点到点共走了60米．素材2图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的信号塔就建在山上的点处．根据施工日志资料显示，信号塔底点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的点处利用测角仪测得塔顶点的仰角为，在点利用测角仪测得塔顶点的仰角为，测角仪的高度忽略不计．问题解决任务一如图①，求斜坡的坡比．任务二如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个信号塔的高度．（参考数据：，，，，，解：任务一：过点作于，在△中，米，米，米，斜坡的坡比为：；任务二：过点作于，的延长线交于点，则米，米，设米，米，米，米，，即，解得：米，（米，答：这个信号塔的高度为36米．23．如图，已知在△中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，，，△△，，．（2），，，，△△，，，，△△，，，，．24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与△相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线过点和点，，解得．抛物线解析式为：；（2）当时，，，直线解析式为：，，，过点作轴，交轴于点，交于点，设，，，，即，，，，；（3）存在，点的坐标为：，或．，，，△为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为，点的横坐标为3，又点在直线上，点的纵坐标为5，，设，①当，，△△，则，解得或（舍去），此时点的坐标为，②当，当时，则，解得：或（舍去），此时点的坐标为；③当，时，此时△与△相似，此时的点与点关于①的结果对称，设，则，解得，；此时点的坐标为；故在射线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与△相似，点的坐