2021年上海市春季高考数学试卷(含解析)

2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列的首项为3，公差为2，则．2．已知，则．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．不等式的解集为．5．直线与直线的夹角为．6．若方程组无解，则．7．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为．8．已知函数的最小值为5，则．9．在无穷等比数列中，，则的取值范围是．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合运动运动运动运动运动7点点8点点9点点10点点11点点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．12．已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A． B． C． D．14．已知集合，，，，则下列关系中，正确的是（）A． B． C． D．15．已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（）A．为偶函数且关于点对称 B．为偶函数且关于直线对称 C．为奇函数且关于点对称 D．为奇函数且关于直线对称16．在△中，为中点，为中点，则以下结论：①存在△，使得；②存在△，使得；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面．（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．18．已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、；（2）若，求．19．（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，20．（16分）已知函数．（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．21．（18分）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值．

参考答案一、填空题（共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列的首项为3，公差为2，则21．解：因为等差数列的首项为3，公差为2，则．故答案为：21．2．已知，则．解：，，则．故答案为：．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．解：圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的侧面积为．故答案为：．4．不等式的解集为．解：，解得，．故答案为：．5．直线与直线的夹角为．解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．6．若方程组无解，则0．解：对于方程组，有，根据题意，方程组无解，所以，即，故答案为：0．7．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为64．解：由题意，，且，所以，所以令，的系数和为．故答案为：64．8．已知函数的最小值为5，则9．解：，可令，当，即，可得，所以，当即时，在递增，可得，无最小值．故答案为：9．9．在无穷等比数列中，，则的取值范围是，，．解：无穷等比数列，公比，，，，，，，．故答案为：，，．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合23种运动运动运动运动运动7点点8点点9点点10点点11点点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟解：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，、、的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：（种．故答案为：23种．11．已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．解：设，，则抛物线，直线，联立方程组，解得，，所以点的坐标为，所以，又所以，则，所以抛物线的准线方程为：，故答案为：．12．已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是．解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，所以，因为对任意都成立，所以，即，，同时，所以的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A． B． C． D．解：选项：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误，选项：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，错误，选项：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，正确，选项：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，错误，故选：．14．已知集合，，，，则下列关系中，正确的是（）A． B． C． D．解：已知集合，，，，解得或，，，，；则，，故选：．15．已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（）A．为偶函数且关于点对称 B．为偶函数且关于直线对称 C．为奇函数且关于点对称 D．为奇函数且关于直线对称解：根据题意，依次判断选项：对于，，为偶函数，且关于点对称，存在最大值，错误，对于，，为偶函数且关于直线对称，存在最大值，错误，对于，假设有最大值，设其最大值为，其最高点的坐标为，为奇函数，其图象关于原点对称，则的图象存在最低点，又由的图象关于点对称，则关于点对称的点为，与最大值为相矛盾，则此时无最大值，正确，对于，，为奇函数且关于直线对称，错误，故选：．16．在△中，为中点，为中点，则以下结论：①存在△，使得；②存在△，使得；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立解：不妨设，，，，，①，，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；②为中点，，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面．（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．解：（1）△为等边三角形，且为中点，，，又平面，四棱锥的体积．（2）平面，为与平面所成角为，即，△为等腰直角三角形，，分别为，的中点，，，，或其补角即为与所成角，平面，，又，，、平面，平面，，在△中，，故与所成角的大小为．18．已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、；（2）若，求．解：（1）因为，可得，又，可得，由于，可得．（2）因为，可得，又，可解得，，或，，因为，可得，，可得为钝角，若，，可得，可得，可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．19．（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，解：（1）由题意可得，，所以，所以双曲线的标准方程为，直线，联立双曲线方程，可得，，即点的坐标为，．（2）①，则，，所以，双曲线方程为；②，则，，所以，所以双曲线方程为，两双曲线方程联立，得，，所以米，点位置北偏东．20．（16分）已知函数．（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．解：（1）当时，，由，得，解得或．函数的定义域为，，；（2），，设，有两个不同实数根，整理得，，，，当且仅当时，方程有2个不同实数根，又，的取值范围是；（3）当时，，在，上单调递减，此时需要满足，即，函数在，上递减；当时，，在，上递减，，，即当时，函数在上递减．综上，当，时，函数在定义域上连续，且单调递减．21．（18分）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项