2024年上海市高考数学试卷(含解析)

2024年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．设全集，2，3，4，，集合，，则．2．已知，则（3）．3．已知，则不等式的解集为．4．已知，，且是奇函数，则．5．已知，，，则的值为．6．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为．7．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为．8．某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．9．已知虚数，其实部为1，且，则实数为．10．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）12．无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．下列函数的最小正周期是的是（）A． B． C． D．15．定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是（）A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，16．已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是（）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图为正四棱锥，为底面的中心．（1）若，，求△绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．18．已知．（1）若过，求的解集；（2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围，，，，，学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到．（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？20．（18分）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点．（1）当离心率时，求的值；（2）若点在第一象限，当，△为等腰三角形时，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．21．（18分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”；（2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性．

参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．设全集，2，3，4，，集合，，则，3，．解：全集，2，3，4，，集合，，则，3，．故答案为：，3，．2．已知，则（3）．解：，则（3）．故答案为：．3．已知，则不等式的解集为．解：可化为，解得，故不等式的解集为：．故答案为：．4．已知，，且是奇函数，则0．解：由题意，可得，解得，当时，，满足，即是奇函数，故符合题意．故答案为：0．5．已知，，，则的值为15．解：由，，，可得，解得．故答案为：15．6．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10．解：由题意，展开式中各项系数的和是，所以，则该二项式的通项公式是，令，解得，故项的系数为．故答案为：10．7．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为．解：设坐标为，，到准线的距离为9，即，解得，代入抛物线方程，可得，故到轴的距离为．故答案为：．8．某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．解：由题可知，题库占比为，题库占比为，题库占比为，故．故答案为：．9．已知虚数，其实部为1，且，则实数为2．解：虚数，其实部为1，则可设，所以，因为，所以，解得，所以．故答案为：2．10．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值329．解：由题可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有种；（2）若个位不为0，这样的偶数有种；所以集合元素个数最大值为种．故答案为：329．11．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）解：在中，根据正弦定理可得，设，则，所以，①在中，根据正弦定理可得，，②联立①②，因为，所以，利用计算器可得，，即．故答案为：．12．无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是，．解：由题设有，因为，，故，故，当时，，，，故，，此时为闭区间，当时，不妨设，若，，，则，，若，，，，则，，若，，，则，，综上，，，，，又为闭区间等价于，，，为闭区间，而，故对任意恒成立，故，故，故对任意的恒成立，因为，故当时，，故即．故答案为：，．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当的值由小变大，的值具有由小变大的变化趋势，所以、、选项错误．故选：．14．下列函数的最小正周期是的是（）A． B． C． D．解：对于，，则，满足条件，所以正确．对于，，则，不满足条件，所以不正确．对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确．对于，，则，不满足条件，所以不正确．故选：．15．定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是（）A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，解：不全为0的实数，，，使得．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为，0，，所以对于三者不能构成一组基，故不能推出，0，，故错误；对于，，0，，，0，，且，0，，，0，共线，所以，0，可以属于，此时三者不共面，故错误；对于，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，0，，故正确；对于，三者无法构成一组基，故不能推出，0，，故错误．故选：．16．已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是（）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值解：对于，时，，当时，，，对于任意，（1）恒成立，若是偶函数，此时（1），矛盾，故错误；对于，若函数图像如下：当时，，时，，，当，，所以存在在处取最大值，故正确；对于，在时，若函数严格增，则集合的取值不会是，，而是全体定义域，故错误；对于，若存在在处取到极小值，则在左侧存在，，与集合定义矛盾，故错误．故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．如图为正四棱锥，为底面的中心．（1）若，，求△绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．解：（1）因为是正四棱锥，所以底面是正方形，且底面，因为，所以，因为，所以，所以△绕旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设，则，，则，0，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，故，，，设为平面的法向量，则，即，令，则，，所以，则，设直线与面所成角为，因为，，则，故直线与平面所成角的大小为．18．已知．（1）若过，求的解集；（2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围．解：（1）由过可得，则，解得（负值舍去），因为在上是严格增函数，，则，解得，故所求解集为；（2）因为、、成等差数列，所以，即有解，化简可得，则且，故在上有解，又，故在上，，故，解得或，又，所以，故的取值范围为．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围，，，，，学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到．（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为；（3）由题意可得列联表，，其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平，，③，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20．（18分）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点．（1）当离心率时，求的值；（2）若点在第一象限，当，△为等腰三角形时，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．解：（1）因为，即，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以（负舍）；（2）因为△为等腰三角形，①若为底，则点在线段的中垂线，即上，与双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若为底，则，与矛盾，故舍去；③若为底，则，设，，，，则，即，又因为，得，得，解得，即；（3）由题可知，，当直线的斜率为0时，此时，不合题意；则，设直线，设，，，，根据延长交双曲线于点，则，，联立，得，二次项系数，△，，，所以，，，，又因为，得，则，即，化简后可得到，再由韦达定理得，化简得，所以，代入，得，所以，且，解得，又因为，则，综上，，，，所以，，．21．（18分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”；（2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性．解：（1）当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最