46　第七章　第46课时　球的切、接与截面问题

第46课时球的切、接与截面问题第七章立体几何与空间向量[考试要求]在直观感知空间几何体与球切、接、截问题的基础上，能借助空间几何体及球的几何性质确定球心，并能解决相应几何体的表面积、体积、截线、截面等计算问题．

以题引理·激活思维√

2．(人教A版必修第二册P120习题8.3T5改编)一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是(

)A．8πcm2 B．12πcm2C．2πcm2 D．20πcm2

√

√

4．(北师大版必修第二册P268复习题六B组T10改编)正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是(

)A

BC

D√C

[由题意作出图形如图，SO⊥平面ABC，SA与SO所在的平面与平面SBC垂直，球与平面SBC的切点在SD上，球与侧棱SA没有公共点所以正确的截面图形为C选项．故选C．]

42π

3．直棱柱(圆柱)的外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直三棱柱也内接于圆柱，棱柱的上、下底面可以是任意三角形)．

解决球切、接问题的关键是确定好球心：(1)定义法确定球心：根据球心到其他顶点的距离是球的半径，列关系式求解球心；(2)几何法确定球心：要运用球的几何性质，及多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系确定球心，如借助三角形外心确定外接球球心位置的方法：先过棱锥某个面(一般选取直角三角形、正三角形、矩形等)的外接圆圆心作该面的垂线，则球心一定在该垂线上，再根据球心到棱锥各个顶点的距离相等，结合勾股定理构建等式，确定球心及半径；(3)构造辅助模型确定球心，如墙角模型、对棱相等模型等．具体方法如下：①若侧面为直角三角形、正四面体或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②若棱锥有一条侧棱与底面垂直，则补成直棱柱求解．

精研考点·提升素养√

【教用·名师点评】应用正弦定理可快速求得三角形外接圆半径．

√

名师点评：台体的外接球的求法可类比柱体的外接球的求法求解．[巩固迁移]1．在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(

)A．3∶4 B．1∶2C．3∶8 D．3∶10√

√

√(3)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．2

名师点评：(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．(3)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图3所示．(4)面面垂直模型：找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心．[二级结论]

面面垂直模型：外接球半径的平方＝两垂直平面外接圆半径的平方和－两垂直平面交线长一半的平方．

√

√

√

法二(垂面法)：如图，取BC的中点E，BD的中点F，所以F为△BCD的外心，连接AE，EF，设△ABC的外心为G，因为AB＝BC＝AC＝2，即△ABC为等边三角形，所以点G在AE上，连接OG，OF，则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，

√

14π

√

√

√

√

√

名师点评：巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤(1)确定球心O和截面圆的圆心O'．(2)探求球的半径R和截面圆的半径r．(3)利用OO'2＋r2＝R2计算相关量．[巩固迁移]7．已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α截球O所得的截面面积的最小值是(

)A．9π B．12πC．16π D．20π√

8．(2025·宁夏兴庆一模)如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球(正方体各个面均与球面有且只有一个公共点)以后得到的，现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是(

)A

B

C

D√C

[对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图，

对于B，用正方体的对角面截正方体，可以得到截面图形B，如图，对于D，用如图截法，切点在截面ABCD的边CD的中点处，且CD<BC，可以得到图形D．故选C．]

题号135246879101112131415课后作业(四十六)球的切、接与截面问题√16

题号13524687910111213141516题号2134568791011121314152．(鳖臑模型)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为(

)A．10π B．25πC．50π D．100π√16

题号213456879101112131415163．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为(

)A．12π B．16πC．48π D．96π题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415166．(2026·江苏南京开学考试)若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为(

)A．24 B．32C．96 D．128题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516二、多项选择题9．下列立体图形中，一定有内切球的是(

)A．正四面体 B．直三棱柱C．正三棱台 D．正四棱锥题号213456879101112131415√16√AD

[对于A，D，任意正棱锥均有内切球，正四面体也一定有内切球，故A，D正确；对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于内切球的直径，底面内切圆的半径等于内切球的半径，即底面内切圆的半径需为直三棱柱高的一半，所以不是所有直三棱柱都符合，故B错误；对于C，正三棱锥有内切球，而正三棱台想要有内切球，则正三棱台的高应为相应的正三棱台的内切球的直径，故正三棱台不一定有内切球，故C错误．故选AD．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516题号21345687910111213141516

三、填空题12．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有_____________个公共点．题号2134568791011121314151612

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415161

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516√D

[因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB．因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE．取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516