80　备考纵深·高阶思维突破攻略　强基培优3　指、对同构问题

强基培优强基培优3指、对同构问题备考纵深·高阶思维突破攻略1．指、对同构的原理同构法是将不同的代数式(或不等式、方程式)通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．如y＝aea与y＝bln

b(可化为ln

b·eln

b)可以同构为f(x)＝xex．

3．指、对同构的三种基本模式(1)积型：aea≤bln

b

(3)和差型：ea±a>b±ln

b【典例展示】

(1)(多选)若ea＋a>b＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(

)A．a>lnb

B．a<lnbC．ea>b D．ea<b(2)若关于x的不等式ex-a≥lnx＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________．√√(－∞，1](1)AC

(2)(－∞，1]

[(1)法一：由ea＋a>b＋ln

b，可得ea＋a>eln

b＋ln

b，令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(ln

b)，因为f(x)在R上单调递增，所以a>ln

b，即ea>b．法二：由ea＋a>b＋ln

b，可得ea＋ln

ea>b＋ln

b，令g(x)＝x＋ln

x，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以ea>b，即a>ln

b．

【纵深攻略】1．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则(

)A．ab>e B．b>eaC．ab<e D．b<ea√B

[由已知aea<bln

b，则ealn

ea<bln

b．设f(x)＝xln

x，则f(ea)<f(b)．∵a>0，则bln

b>0，则b>1．当x>1时，f'(x)＝ln

x＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea<b．故选B．]

题号1352467教用备选题·强基培优(三)指、对同构问题√A

[由恒等式x＝ln

ex可得ax＝ln

eax，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ln

eax＋eax>ln(bx)＋bx，构造函数f(x)＝ln

x＋x，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，可得f(eax)>f(bx)．故选A．]题号1352467题号21345672．若不等式xex－x－lnx－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为(

)A．(0，1] B．(0，e－1]C．(－∞，1] D．(－∞，e－1]√C

[因为xex－x－ln

x－a≥0，所以eln

x+x－(ln

x＋x)－a≥0．令t＝ln

x＋x，则et－t－a≥0恒成立，则a≤et－t恒成立，令φ(t)＝et－t，则φ'(t)＝et－1，当t∈(－∞，0)时，φ'(t)<0；当t∈(0，＋∞)时，φ'(t)>0，所以φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(t)min＝φ(0)＝1，所以a≤1，故实数a的取值范围为(－∞，1]．故选C．]题号21345673．已知x∈N，y∈N，x<y，则方程xy＝yx的解的组数为(

)A．0 B．1C．2 D．无穷多个题号2134567√

题号21345674．设x>0，y>0，若ex＋lny>x＋y，则下列选项正确的是(

)A．x>y B．x>lnyC．x<y D．x<lny题号2134567√B

[不等式ex＋ln

y>x＋y等价于ex－x>y－ln

y，令f(x)＝ex－x，x>0，则f(ln

y)＝eln

y－ln

y＝y－ln

y，∴不等式ex－x>y－ln

y等价于f(x)>f(ln

y)，∵f'(x)＝ex－1，∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴若y∈(1，＋∞)，则ln

y∈(0，＋∞)，由f(x)>f(ln

y)有x>ln

y，若y∈(0，1]，则ln

y≤0，由x>0，有x>ln

y．综上所述，x>ln

y．故选B．]题号2134567

题号2134567

题号2134567

题号2134567

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