10　第二章　第10课时　函数性质的综合应用

第10课时函数性质的综合应用第二章函数的概念与性质考点一

函数的奇偶性与单调性[典例1]

(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(

)A．f(f(1))<f(f(2))

B．f(g(1))<f(g(2))C．g(f(1))<g(f(2)) D．g(g(1))<g(g(2))精研考点·提升素养√√BD

[因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上均单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，所以BD正确，C错误；若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误．故选BD．]名师点评：解答函数的奇偶性与单调性知识融合的题目应把握两点：奇偶性的作用在于转换变量所在的区间，单调性的作用是在同一区间内比较大小(函数值或自变量)或解不等式．

√A

[当x>0时，f(x)＝1－ex，－x<0，f(－x)＝e-(-x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝e-x－1，－x>0，f(－x)＝1－e-x＝－f(x)，且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的减函数，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x<3－x⇒x<1，所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A．]

√

√√√

(2)对于A，因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A错误；对于B，因为f(x＋1)是奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＝－f(2－x)，所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)，所以y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(－∞，1]上单调递减，故B正确；对于C，因为a<2－b<1且g(x)在(－∞，1]上单调递减，所以g(1)<g(2－b)<g(a)，即g(1)<g(b)<g(a)，故C正确；

√√(1)D

(2)B

[(1)因为y＝f(x－2)为定义在R上的奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(－2，0)对称，即f(－x)＋f(x－4)＝0，又y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)，有f(x)＝f(x－4)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以y＝f(x)的周期为4，故f(2

025)＝f(1＋4×506)＝f(1)＝2．故选D．(2)∵f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，∵f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)的周期为4，其余选项不一定为0，故选B．]名师点评：周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．

√√AC

[对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f(x＋1)的图象可看成是函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；对于B，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误；

√D

[根据题意，若f(x＋2)－2为奇函数，则有f(－x＋2)＋f(x＋2)＝4，故f(x)的图象关于点(2，2)对称，故f(2)＝2，又由f(3x＋1)为偶函数，则f(－3x＋1)＝f(3x＋1)，变形可得f(－x)＝f(x＋2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，又由f(－x＋2)＋f(x＋2)＝4，得f(－x)＋f(－x＋2)＝4，变形可得f(x)＋f(x＋2)＝4，①由此可得f(x＋2)＋f(x＋4)＝4，②联立①②可得f(x＋4)＝f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，

√√

√(2)(多选)已知f(x＋1)是奇函数，f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则下列结论正确的是(

)A．f(x)是周期为4的周期函数B．f(x－5)为偶函数C．f(x)的图象关于点(－3，0)对称D．f(5)＝0√√√

(2)对于A，法一：由题知f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(－x)＋f(2＋x)＝0，①因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－x)＝f(－2＋x)，②将②代入①可得f(－2＋x)＋f(2＋x)＝0，将x换为2＋x代入上式有f(x)＋f(x＋4)＝0，③再将x换为x＋4代入③式有f(x＋4)＋f(x＋8)＝0，即f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期为8的周期函数．法二：由f(x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x＝－1对称，则f(x)的周期T＝4|－1－1|＝8，故选项A错误；对于B，因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称且周期为8，所以f(－x－5)＝f(3＋x)＝f(x－5)，所以f(x－5)为偶函数，故选项B正确；对于C，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)及f(x)的周期为8，可知f(－x－3)＝－f(x＋5)＝－f(x－3)，所以f(x)的图象关于点(－3，0)对称，故选项C正确；对于D，因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，取x＝0可得f(1)＝0，所以f(5)＝f(－3)＝f(1)＝0，故选项D正确．]名师点评：由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．[巩固迁移]3．(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)＋g(1－x)＝a(a≠0)，g(1＋x)＝g(1－x)，若f(x＋2)为奇函数，则(

)A．g(x)的图象关于直线x＝1对称B．g(x)为奇函数C．f(2)＝0D．f(x)为偶函数√√√ACD

[因为g(x)的定义域为R，且g(1＋x)＝g(1－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；但不能确定g(x)为奇函数，故B错误；根据题意，y＝f(x＋2)是定义域为R的奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，令x＝0，得f(2)＝0，故C正确；因为f(x)＋g(1－x)＝a，则f(－x)＋g(1＋x)＝a，结合g(1＋x)＝g(1－x)，则f(－x)＋g(1－x)＝a，所以f(x)＝f(－x)，即f(x)为偶函数，故D正确．故选ACD．]

√

名师点评：函数的周期性与对称性的关系(1)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|．(类比y＝sin

x的图象)(2)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin

x的图象)(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin

x的图象)[巩固迁移]4．已知函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝__________．0

[因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)．又f(－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的一个周期为4，所以f(18)＝f(2)＝0．]0【教用·备选题】已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则f(2026)＝(

)A．6 B．3C．0

D．－3√C

[令x＝0，得f(2)＝f(2)＋4f(2)，即f(2)＝0，f(x＋2)＝f(2－x)，因为函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，所以f(2

026)＝f(253×8＋2)＝f(2)＝0．故选C．]

题后作业(十)函数性质的综合应用√

题号21345687910

√

题号213456879103．定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(

)A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)题号21345687910√A

[∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)．又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)是周期函数且周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)内单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A．]题号213456879104．(2026·广东珠海模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1－2x)是偶函数，当x∈(0，1]时，f(x)＝－x2，则f(7)＝(

)A．－49 B．－1C．0 D．1题号21345687910√D

[因为f(1－2x)是偶函数，所以f(1－2x)＝f(1＋2x)，则f(1＋x)＝f(1－x)，从而f(x＋2)＝f(－x)．又f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．又当x∈(0，1]时，f(x)＝－x2，则f(1)＝－1，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝1．故选D．]题号213456879105．(2026·福建莆田模拟)已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，若f(x＋1)f(x－1)＝4，函数f(x－2)为偶函数，则f(2025)＝(

)A．1 B．2C．3 D．4题号21345687910√

题号21345687910又因为函数f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)，则函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，即f(－3)＝f(－1)．又f(－3)＝f(1)，所以f(1)＝f(－1)，又由f(x＋1)f(x－1)＝4，可得f(1)f(－1)＝4，所以[f(1)]2＝4．因为f(x)的值域为(0，＋∞)，所以f(1)＝2，即f(2

025)＝f(1)＝2．故选B．]题号21345687910

题号21345687910√

题号21345687910

题号21345687910√√BC

[因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；由函数f(x)的图象关于点(1，0)对称可知f(－x)＝－f(2＋x)，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2

025)＝f(4×506＋1)＝f(1)．题号21345687910

题号21345687910又f(π)＝f(π－4)＝f(4－π)，f(e)＝f(e－4)＝f(4－e)，0<4－π<4－e<2，所以f(4－π)<f(4－e)，得f(π)<f(e)，D错误．故选BC．]题号213456879108．定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(

)A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)题号21345687910√√AC

[函数f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递减，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(f(a)＝g(a)在a>0时成立)，所以A正确；对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；题号21345687910对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，这符合f(a)<f(b)，所以C正确；对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)<f(b)矛盾，所以D错误．故选AC．]题号21345687910三、填空题9．定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为___________．题号21345687910[－1，0][－1，0]

[因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．又因为f(x)在(－∞，2]上单调递减，则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则由f(2x＋3)≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则该不等式的解集为[－1，0]．]题号2134568791010．(2026·湖南长沙模拟)定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，函数g(x)＝f(x)－2x的图象关于直线x＝2对称．若f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．题号2134568791024992499

[因为f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(－x)＋f(x＋2)＝2，则f(－x)－2(－x)＋f(x＋2)－2(x＋2)＝－2，即g(－x)＋g(x＋2)＝－2，又g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋4)＝g(－x)，所以g(x＋4)＋g(x＋2)＝－2，即g(x＋2)＋g(x)＝－2，可得g(x＋4)＝g(x)，则g(x)是以4为周期的周期函数．题号21345687910因为g(0)＝f(0)－2×0＝0，由f(－x)＋f(x＋2)＝2，令x＝－1，得f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－2＝－1，g(2)＝－2－g(0)＝－2，g(3)＝g(1)＝－1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＋2(1＋2＋…＋50)＝－4×12－1－2＋2

550＝2

499．]题号21345687910

题号1352468791011121314阶段评估(二)

(第6课时~第10课时)√

题号1352468791011121314题号21345687910111213142．(2025·广东大湾区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(

)A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2-|x|√B

[对于A，函数y＝x3是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，A不是；对于B，函数y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，B是；对于C，函数y＝－x2＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，C不是；对于D，函数y＝2-|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，D不是．故选B．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314作出F(x)的图象如图所示，又F(0)＝F(－2)＝1，F(－1)＝0，要使函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，当n＝0时，－2≤m≤－1；当m＝－2时，－1≤n≤0，则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2．]题号21345687910111213146．(2026·山东淄博模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝(

)A．0 B．2025C．2024 D．2题号2134568791011121314√D

[因为f(1－x)＝f(1＋x)，且函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＋f(x)＝0．令x＝1，可得f(3)＋f(1)＝0；令x＝2，可得f(4)＋f(2)＝0；可得f(x＋4)＋f(x＋2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，可知4为f(x)的一个周期，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2

025)＝f(1)＋506×0＝2．故选D．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号21345687910111213148．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，则下列说法正确的是(

)A．f(2024)＝0B．y＝f(x－2)是奇函数C．f(4－x)＝－f(4＋x)D．y＝f(x)是周期为4的周期函数题号2134568791011121314√√AC

[由函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，得f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0．由f(2＋x)＝f(2－x)，得f(4＋x)＝f(－x