高二数学：一元二次函数、方程和不等式教学设计课件

高二数学一元二次函数、方程和不等式教学设计课件2026课程导览01二次函数与图象回顾图象与性质02一元二次方程根的判别与韦达定理03三个二次的关系函数零点与不等式解集04一元二次不等式图象法求解05分式与含参不等式转化与分类讨论06综合应用建模与实战二次函数与图象图象是理解一切的起点01二次函数解析式与图象特征➜➜1解析式·01一般式y=ax²+bx+c可读出二次项系数a（a≠0）2解析式·02顶点式y=a(x−h)²+k顶点坐标为(h,k)3解析式·03交点式y=a(x−x₁)(x−x₂)与x轴交点为(x₁,0)、(x₂,0)开口方向由a决定a的绝对值越大开口越窄a>0→开口向上a<0→开口向下|a|→越大开口越窄顶点对称轴与最值抛物线对称轴直线

x=−b/2a顶点坐标(−b/2a,(4ac−b²)/4a)核心结论最值判定a＞0顶点处取得最小值(4ac−b²)/4aa＜0顶点处取得最大值(4ac−b²)/4a最值应用前提第一步熟练写出顶点式第二步是快速判断单调区间的前提应用抛物线的平移规律平移示例原函数y=2x²平移操作向右3个单位向下1个单位平移结果y=2(x−3)²−1顶点式y=a(x-h)²+kh控左右平移：h＞0向右，h＜0向左k控上下平移：k＞0向上，k＜0向下不变开口大小与方向不变（仅位置改变，形状完全一样）操作建议先定顶点再平移，比直接套一般式更易检查一元二次方程根是函数与横轴的交点02求根公式与判别式01Δ>0→两个不等实根02Δ=0→两个相等实根03Δ<0→实数范围内没有实根x=(-b±√(b²-4ac))/2a判别式Δ>0，开方得两值x=-b/2a判别式Δ=0，重根判别式Δ<0，负数不能开平方判别式是把方程问题代数化的核心工具。韦达定理揭示根与系数定理内容x₁+x₂=-b/ax₁·x₂=c/a判别式≥0核心价值不求根，直接表达两根之和与两根之积求对称式、构造新方程时高效根的判别在含参问题中先写判别式，再审参数范围，是含参问题最稳妥的路径。含参方程x²−2x+m=0Δ=4−4mm<1Δ>0，两个不等实根m=1Δ=0，两个相等实根m>1Δ<0，无实根含参方程x²−2x+m=0Δ=4−4mm<1Δ>0，两个不等实根m=1Δ=0，两个相等实根m>1Δ<0，无实根含参方程x²−2x+m=0Δ=4−4mm<1Δ>0，两个不等实根m=1Δ=0，两个相等实根m>1Δ<0，无实根三个二次的关系一图统摄三者03函数零点即方程实根图象与x轴交点的横坐标

=方程实根由抛物线位置直接读出方程

ax²+bx+c=0

的根的情况。核心结论两个交点两个不等实根相切（一个交点）两个相等实根无交点无实根图象位置决定符号图象位置决定符号函数图象、方程求根、不等式解集，同一张图上一体呈现。图象位置定符号a>0，开口向上图象在

x轴上方→y>0；在

x轴下方→y<0

求y>0或y<0的自变量范围即观察抛物线相对横轴的位置

三个二次由此统一函数图象方程求根不等式解集同一张图上一体呈现。一图统摄三个二次画准图象是主轴，后续题型皆为其变形与应用。同一抛物线，在函数/方程/不等式三种视角下对应着不同的读法——同一图象，三种视角3项函数抛物线本身，图象与横轴的交点即根的个数方程令

y=0，交点数=实根个数不等式图象高于/低于横轴的区间=解集三种读法，一幅图3个视角函数抛物线本身，图象与横轴的交点即根的个数方程令

y=0，交点数=实根个数不等式图象高于/低于横轴的区间=解集一元二次不等式看图说话，解集自现04图象法解不等式五步解

ax²+bx+c>0

或

<0

型不等式，按五步操作：1定开口看

a

的符号2求根令ax²+bx+c等于零3画草图作示意图象4标交点标出与x轴交点5读解集依开口与不等号方向判断例解x²−3x+2>0，两根为1和2，开口向上，解集为

x<1或x>2。先因式分解再定区间因式分解优先例题解

x²−x−6<0，先分解再求根分解结果(x−3)(x+2)<0，十字相乘一步到位两根令每因式为零，得

−2和3，即抛物线零点开口向上，取两根之间求根画图步骤例题解

x²−x−6<0，画出抛物线草图分解结果(x−3)(x+2)<0，零点即与x轴交点两根−2和3，抛物线与x轴交于这两点开口向上，取两根之间解集结论例题解

x²−x−6<0，由图直接读解集分解结果(x−3)(x+2)<0，两因式异号时成立两根边界点

−2和3，划分数轴三段区间解集：−2<x<3判别式为负时的解集核心结论Δ<0时抛物线不与x轴相交判别式为负，图像整体位于x轴一侧，与x轴无交点。解集由开口方向决定开口向上时解集为全体实数；开口向下时解集为空集。x²+2x+3>0Δ<0且a>0判别式小于0，二次项系数为正，抛物线开口向上。抛物线恒在x轴上方图像整体位于x轴上方，任意x都满足不等式。解集全体实数x²+2x+3<0同上条件同样是Δ<0且a>0的情形。抛物线无下方部分图像整体在x轴上方，不存在小于0的y值。解集空集先看开口方向→再看判别式→最后写解集恒成立问题初探恒成立条件：开口方向与判别式的符号共同决定ax²+bx+c>0

对任意x恒成立⇔a>0且Δ<0；恒为负⇔a<0且Δ<0。本质：整条抛物线始终位于横轴上方或下方地位：含参讨论的重要题型解集为全集的参数开口向上+Δ<0，两条件取交集恒成立条件二次不等式条件开口向上与Δ<0须同时取交集例题x²−mx+4>0恒成立，需

Δ=m²−16<0解集解得

−4<m<4，取开区间临界值m=±4时Δ=0，不满足恒成立，不可取分式与含参不等式转化是解题的钥匙05分式不等式化为整式分式不等式转化为整式，再用数轴标根法求解1第1步转化原理同解变形(x−a)/(x−b)>0

同解于

(x−a)(x−b)>0分母

x−b≠02第2步数轴标根画数轴各因子零点标于数轴最右区间符号由最高次项系数决定3第3步穿线取区间定解集自右向左依次穿线取对应区间为解集，结合x−b≠0数轴标根定区间奇次重根穿轴，偶次重根不穿轴标根规则奇次重根穿轴根对应的因式次数为奇数时，图像穿过x轴。例：(x−1)²(x+2)>0零点为

−2

和

1。1为二重根不穿轴，图像在该点与x轴相切。区间符号由最右端符号定各区间正负从最右侧区间开始，正负交替向左侧推导。按不等式方向写解集根据

＞0/＜0

选取对应正负区间。检查端点是否包含根据不等式是否含等号，确定端点的开闭。端点检查1为二重根不穿轴在

x=1

处符号不改变。示例具体呈现穿轴与不穿轴差异x=−2

为一次根穿过，x=1

相切不穿。写解集时端点取舍严格不等号时端点取开，含等号时取闭。含参不等式分类讨论解含参不等式按三步分类：先看a，再看Δ，最后比两根先看aa=0降为一次不等式a≠0继续二次讨论二次项系数再看判别式ΔΔ>0两个不等实根Δ=0两个相等实根Δ<0无实根判别式三分支最后比两根大小x₁

与

x₂

的大小关系决定解集区间各分支单独求根、画图、写解集按参数范围分段作答，不可混写参数分段作答两根大小未知的参数参数分类标准：a与1的大小关系，不重不漏a>1因式分解得

(x−1)(x−a)>0解集取两根之外：x<1或x>a画图读数，在数轴上标出两根后读出解集参数大于1a=1因式分解得

(x−1)²>0解集为

x≠1注意端点取舍：x=1时式子为0，不满足大于零参数等于1a<1因式分解得

(x−1)(x−a)>0解集取两根之外：x<a或x>1画图读数，在数轴上标出两根后读出解集参数小于1分式与参数综合训练三步拆解转化›分类›作答综合应用学以致用，融会贯通06最优化问题建模→→→设未知量用变量表示所求量列出关系式建立量与量之间的等式化成二次函数整理成标准形式求顶点最值并检验实际范围开口向下，对称轴处取最大值典例定长篱笆围矩形场地，设一边长为

x面积S=x(L−2x)/2开口向下，对称轴处取最大值实际范围需结合篱笆长度检验推导S=x(L−2x)/2＝−x²＋Lx/2二次项系数

a=−1<0

，开口向下对称轴

x=L/4

时取最大值利润与成本实战建模路径二次函数模型1设降价x元→利润=单件利润

×

日销量整理为关于x的二次函数2化为顶点式，顶点横坐标即最大利润对应的降价幅度关键提醒易错点文字条件准确翻译成函数关系注意自变量x的实际取值范围，降价不能超过成本底线综合例题精讲①

配方法配方定对称轴f(x)=x²−4x+3=(x−2)²−1对称轴

x=2，开口向上，顶点(2,−1)②

求最值端点与对称轴比较比较区间端点与对称轴处函数值取最值区间端点与对称轴

x=2

处函数值逐一比较③

解不等式图象法写解集f(x)<0→抛物线在x轴下方部分解集：1<x<3方法提炼开口方向+零点定区间结合开口方向（a>0取中间）与零点x₁=1、x₂=3