07　第二章　第7课时　函数的单调性与最值

第7课时函数的单调性与最值第二章函数的概念与性质[考试要求]

1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．以题引理·激活思维

√

√√√

√√√ABD

[因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，所以A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．]4．(北师大版必修第一册P64练习T2改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[5，20]上具有单调性，则实数m的取值范围是___________________．(－∞，5]∪[20，＋∞)

[函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝m，当m≤5或m≥20时，f(x)在[5，20]上具有单调性，所以实数m的取值范围为(－∞，5]∪[20，＋∞)．](－∞，5]∪[20，＋∞)5．(苏教版必修第一册P122习题5.3T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．

[－1，1)1．函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做y＝f(x)的单调区间．单调递增单调递减区间I2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有_______；②∃x0∈D，使得_________①∀x∈D，都有____________；②∃x0∈D，使得_____________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M[二级结论]最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．1．判定函数单调性的四种方法：定义法、图象法、导数法和性质法．2．复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．3．借助函数的单调性实现函数值与自变量间的转换(1)f(x1)<f(x2)

x1<x2；(2)f(x1)<f(x2)

x1>x2．

考点一

确定函数的单调性(单调区间)考向1

图象法、性质法确定函数的单调性[典例1]

(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)(2)(北师大版必修第一册P65习题2-3B组T2改编)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是______________________________．精研考点·提升素养√[－1，2]，[5，＋∞)(1)D

(2)[－1，2]，[5，＋∞)

[(1)由x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，所以函数y＝ln(x2－2x－8)的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令u＝x2－2x－8，则函数u＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln

u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D．

【拓展变式】函数f(x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为________________________．(－∞，－2]，[0，2]

名师点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)函数在两个不同的区间上单调性相同，区间要分开写，用“，”“和”连接，不要用“∪”．

√

√

√

√

√(－∞，1]

名师点评：应用函数单调性解题的注意事项(1)比较函数值的大小，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f

”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)对于分段函数的单调性，除了保证每一段单调外，还要注意衔接点的函数值，在衔接点处需建立一个不等式．

√

4．已知函数f(x)＝x|x|，则关于x的不等式f(2x)>f(1－x)的解集为__________________．

【教用·备选题】1．已知减函数f(x)的定义域是R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是(

)A．m－n<0 B．m－n>0C．m＋n<0 D．m＋n>0√A

[设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m<n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．∴当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A．]

√√

√3

名师点评：求函数最值的五种常用方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法．

√√√

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题号13524687910111213课后作业(七)函数的单调性与最值√

题号13524687910111213题号21345687910111213

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题号21345687910111213√

题号21345687910111213

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题号2134568791011121310．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且当f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)题号21345687910111213②③④

题号21345687910111213

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题号2134568791011121313．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．题号21345687910111213[解]

(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数．题号213456