44　第六章　第44课时　数列的综合应用

第44课时数列的综合应用第六章数列[考试要求]1．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．2．会利用数列的函数特性解与不等式相关的数列综合问题．

精研考点·提升素养[解]

(1)∵4Sn＝anan+1，n∈N*，①∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4．当n≥2时，4Sn-1＝an-1an，②①－②得4an＝anan+1－an-1an．由题意知an≠0，∴an+1－an-1＝4．当n＝2k＋1，k∈N*时，a2k+2－a2k＝4，即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k；当n＝2k，k∈N*时，a2k+1－a2k-1＝4，即a1，a3，…，a2k-1是首项为2，公差为4的等差数列，∴a2k-1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1)．综上可知，an＝2n，n∈N*．

名师点评：与数列有关的不等式证明问题的求解常用两种方法：一是放缩法；二是借助函数的单调性证明．(1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式．放缩时要研究通项，放缩是为了能化简．

[巩固迁移]1．(2025·河南九师联盟二模)已知数列{an}满足a1＝1，an+1an＝an－2an+1．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求证：Sn<2．

名师点评：数列与不等式的恒成立问题可借助数列的增减性或转化为函数的最值问题解答．

名师点评：一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列模型，涉及依次增加或依次减少要用等差数列模型，有的问题需通过转化得到等差或等比数列．

√√√

5

【教用·备选题】1．(2025·河南H20联盟二模)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废．则d的取值范围为(

)A．(0，20.9] B．(19，20.9]C．(19，＋∞) D．(20.9，＋∞)√

2．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1200，则c10大约为(

)(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)A．1429

B．1472C．1519 D．1571√B

[由题可知cn＝(1＋10%)cn-1－100＝1.1cn-1－100，设cn＋k＝1.1(cn-1＋k)，解得k＝－1

000．即cn－1

000＝1.1(cn-1－1

000)，故数列{cn－1

000}是首项为c1－1

000＝200，公比为1.1的等比数列．所以cn－1

000＝200×1.1n-1，则cn＝200×1.1n-1＋1

000，所以c10＝200×1.19＋1

000≈200×2.358＋1

000≈1

472．故选B．]

课后作业(四十四)数列的综合应用

(3)由(1)(2)，得(n－1)2n＋1≤n·2n－4n－λ，整理得λ≤2n－4n－1对任意n∈N*恒成立，令cn＝2n－4n－1，则cn+1－cn＝[2n+1－4(n＋1)－1]－(2n－4n－1)＝2n－4，当n＝1时，c2<c1，当n＝2时，c2＝c3，当n≥3时，cn+1>cn，所以c1>c2＝c3<c4<c5<…，即cn的最小值为c3＝c2＝－5，故λ≤－5．综上，λ的取值范围为(－∞，－5]．4．容器A内装有6L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4L质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1L进入B内，再将B内的盐水倒1L进入A内，称为一次操作．这样反复操作n次，记A，B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn．(1)求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列；(2)至少操作多少次，A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(3)求an，bn的表达式．

题号1352468791011121314阶段评估(八)

(第40课时~第44课时)√题号2134568791011121314

√

题号21345687910111213143．(2025·北京卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(

)A．－20 B．－18C．16 D．18题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

2n－1

[设an＝An＋B，则3(A＋B)＋6＝3a1＋6＝S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝3(2A＋B)，得3A＋6＝6A，故A＝2，从而an＝2n＋B．同时由a3n+1＝3an+1－2，可知2(3n＋1)＋B＝3[2(n＋1)＋B]－2，即2＋B＝3(2＋B)－2，故B＝－1，所以an＝2n－1．]10．(2025·福建漳州一模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3a1＋6，a3n+1＝3an+1－2，则an＝_____________．题号21345687910111213142n－1

题号2134568791011121314[证明]

(1)由a2＝5，an+1＝2an－1，得5＝2a1－1，解得a1＝3，则a1－1＝2．又an+1－1＝2(an－1)，故{an－1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an－1＝2n，故an＝2n＋1．

题号2134568791011121314

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题号