48　第七章　第48课时　空间直线、平面的平行

第48课时空间直线、平面的平行第七章立体几何与空间向量[考试要求]从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．以题引理·激活思维1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

)A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交√D

[因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交．]2．(湘教版必修第二册P158例6改编)如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是(

)A．平行

B．相交C．异面

D．不确定√A

[因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD，因为EH∥平面CBD，EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD，可知EH∥FG．故选A．]3．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是(

)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线都平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD

[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]√4．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_____________．平行四边形[∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG．同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]平行四边形5．(人教B版必修第四册P108练习BT3(2))如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，A，C是平面α内两点，直线PA和PC分别与β相交于B和D，若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，则PD＝_____________cm．

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与____________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)此平面内

文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与______平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)相交交线

2．面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条_________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)相交直线

文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_____，那么两条______平行(简记为“面面平行⇒线线平行”)相交交线

[二级结论]

平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．1．证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，即证明线线平行，一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．2．三种平行关系的转化考点一

直线与平面平行的判定与性质考向1

直线与平面平行的判定[典例1]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE．精研考点·提升素养

法二(应用面面平行的性质)：如图，取CD的中点G，连接FG，AG．∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC．又E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE

GC，∴四边形AECG为平行四边形，∴AG∥EC．又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE，PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE．又AF⊂平面AFG，∴AF∥平面PCE．考向2

线面平行性质定理的应用[典例2]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．证明：FG∥平面AA1B1B．[证明]

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG．而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．名师点评：判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．[巩固迁移]1．(2026·湖北随州模拟)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．[解](1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE．(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m．考点二

平面与平面平行的判定与性质[典例3]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG．[证明]

(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1．又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC．∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG．∵A1G

EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG．∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG．

【教用·备选题】在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM．∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性质知，D1C1

BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1．又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1．又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D．名师点评：证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．[巩固迁移]2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．[证明]

(1)由题设知BB1

DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1．因为A1D1

B1C1

BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C．又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1．又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1．(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．【教用·备选题】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．[证明]

(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又∵F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF．(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．

名师点评：三种平行关系的转化提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．[巩固迁移]3．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．[解]

(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG．因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．又因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH．

一、单项选择题1．(2025·南昌二模)设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(

)A．α内有无数条直线与β平行B．α，β平行于同一个平面C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一个平面题号1352468791011121314课后作业(四十八)空间直线、平面的平行√B

[A选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A选项错误；B选项，α，β平行于同一个平面，则α∥β，B选项正确；C选项，α，β平行于同一条直线，α与β可能相交，C选项错误；D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误．故选B．]题号1352468791011121314题号21345687910111213142．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是(

)A．平行四边形

B．矩形C．菱形

D．正方形√A

[∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面．∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，∴AE∥C1F，∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号21345687910111213145．如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是(

)题号2134568791011121314A

B

C

D√D

[对于A，如图1，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；题号2134568791011121314对于B，如图2，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN⊄平面ABC，AD⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；题号2134568791011121314对于C，如图3，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN⊄平面ABC，BD⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；题号2134568791011121314对于D，如图4，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不满足直线MN∥平面ABC．故选D．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314

题号21345687910111213148．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则(

)A．AC∥平面BA1C1B．D1O∥平面BA1C1C．平面ACD1∥平面BA1C1D．平面ODD1∥平面BA1C1题号2134568791011121314√√√ABC

[对于A，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1．又A1C1⊂平面BA1C1，AC⊄平面BA1C1，所以AC∥平面BA1C1，故A正确；对于B，连接B1D1交A1C1于点O1，连接BO1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为BD，B1D1的中点，因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，题号2134568791011121314则OB∥O1D1且OB＝O1D1，所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以OD1∥BO1，又OD1⊄平面BA1C1，BO1⊂平面BA1C1，所以D1O∥平面BA1C1，故B正确；对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，又BC1⊂平面BA1C1，AD1⊄平面BA1C1，所以AD1∥平面BA1C1，题号2134568791011121314又由A项知AC∥平面BA1C1，且AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以平面ACD1∥平面BA1C1，故C正确；对于D，平面ODD1即为平面BDD1B1，而平面BDD1B1与平面BA1C1相交，所以平面ODD1与平面BA1C1相交，故D错误．故选ABC．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

110．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_____________时，平面D1BQ∥平面PAO．题号2134568791011121314Q为CC1的中点[如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO．Q为CC1的中点又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO．故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．]题号2134568791011121314四、解答题11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD．题号2134568791011121314

又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB

EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平