74　第九章　第74课时　概率、统计的综合问题

第74课时概率、统计的综合问题第十章统计与成对数据的统计分析[考试要求]1．能从实际生活背景中构建概率模型，并会用统计思维看待和处理实际问题．2．能灵活运用概率、统计、数列、函数、导数等知识解决综合问题，实现知识间的融合．考点一

以统计图表为载体的概率、统计问题[典例1]

AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用该工具的人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了频率分布直方图．精研考点·提升素养(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数．(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析年龄与喜欢该程序是否有关联？单位：人对该程序的态度年龄合计青年非青年喜欢

20

不喜欢60

合计

200

α0.10.050.01xα2.7063.8416.6352025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．

(2)①由题知，2×2列联表为单位：人对该程序的态度年龄合计青年非青年喜欢9020110不喜欢603090合计15050200

名师点评：该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．[巩固迁移]1．(2026·云南昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，设随机变量X表示抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，甲、乙、丙三家产品数在市场中所占比例分别为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？

X0123P0.2160.4320.2880.064E(X)＝3×0.4＝1.2．

考点二

概率、统计与数列的综合问题[典例2]

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

名师点评：解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn+1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．

ξ3456P

【教用·备选题】1．(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api-1＋bpi＋cpi+1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．①证明：{pi+1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

X－101P

考点三

概率、统计与函数的交汇问题[典例3]根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为X1230Pαα(1－p)α(1－p)2

名师点评：该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．[巩固迁移]3．某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化．经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i＝1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i＝1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：

15734.810161.21.63915.9

【教用·备选题】1．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明第(2)问结论的实际含义．[解]

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1．(2)证明：法一(常规求导)：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x>0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f'(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝2p2＋6p3x>0，∴f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f'(x)≤f'(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0，1]上单调递减，注意到f(1)＝0，∴x＝1，即p＝1．当E(X)＝p1＋2p2＋3p3>1时，注意到f'(0)＝p1－1<0，f'(1)＝p1＋2p2＋3p3－1>0，∴存在唯一的x0∈(0，1)使f'(x0)＝0，且当0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x0<x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，注意到f(0)＝p0>0，f(1)＝0，∴f(x0)<f(1)＝0．∴f(x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1<1．

注意到f(0)＝－p0<0，f(1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，当E(X)≤1时，f(1)≤0，f(x)＝0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1，当E(X)>1时，f(1)>0，f(x)＝0的正实根x0<1，原方程的最小正实根p＝x0<1．(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．

1．(2026·湖北武汉模拟)在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力．某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及以上的教师)，200名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：课后作业(七十四)概率、统计的综合问题单位：人考核结果参会人员合计经验丰富教师经验不丰富教师优秀200150350合格10050150合计300200500

α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828

X01234P

2．(2025·陕西西安二模)某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表)(2)根据频率分布直方图，求样本的80%分位数(四舍五入精确到整数)；(3)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数(四舍五入精确到整数)．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．

3．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y(单位：个)和平均温度x(单位：℃)有关．现收集到一只蝗虫的产卵数y个和温度x

℃的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝ebx+a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：242.964616842268850.470308

(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出y关于x的经验回归方程．(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到30℃以上的概率为p(0<p<1)，该地今后n(n≥3，n∈N*)年恰好需要2次人工防治的概率为f(p)．①求f(p)取得最大值时对应的概率p0；②当f(p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X，求X的均值和方差．

一、单项选择题1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是(

)A．该年级500名学生的体重是总体B．该年级每名学生的体重是个体C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生的体重是样本容量题号135246879101112131415阶段评估(十四)

(第71课时~第74课时)√D

[由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学生的体重，个体是该年级每名学生的体重，样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有D不正确．]题号135246879101112131415题号2134568791011121314152．(2025·湖南学业考试)甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生(

)A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人√

题号2134568791011121314153．(2026·四川成都模拟)某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92；结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝－0.12；结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75．下列说法正确的是(

)题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√D

[由r1＝0.92，可知PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系，但并不能说明机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，故A错误，D正确；由r2＝－0.12，可知绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率呈负相关，相关性不是很强，但不能说绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联，故B错误；由于|r1|>|r3|，r3＝0.75，则表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，但线性相关性没有结论一的强，故C错误．故选D．]题号2134568791011121314154．(2026·湖北孝感模拟)已知有8个样本数据分别为4，6，8，10，12，15，21，22，则估计该组数据的第三四分位数为(

)A．7 B．8C．15 D．18题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415√x578911y1622242731

题号213456879101112131415二、多项选择题7．(2026·山东潍坊模拟)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分(满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则(

)题号213456879101112131415A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数B．甲得分的极差大于乙得分的极差C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数D．甲得分的方差大于乙得分的方差题号213456879101112131415√√√ABD

[甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3，乙：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1，故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为8.9，乙的中位数为8.6，故A正确；甲的极差为9.3－7.0＝2.3，乙的极差为9.1－8.1＝1，故B正确；6×75%＝4.5，所以甲得分的第75百分位数为9.2，乙得分的第75百分位数为8.7，故C错误；由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确．故选ABD．]题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√√√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415三、填空题9．样本数据90，80，79，85，72，74，82，77的极差和第75百分位数分别为_____________．题号21345687910111213141518；83.5

10．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生有500人、女生有400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为_____________．题号21345687910111213141515

题号213456879101112131415四、解答题11．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：单位：只题号213456879101112131415药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400

题号213456879101112131415α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

题号21345687910111213141512．(2026·湖南长沙模拟)乒乓球被称为我国的“国球”，是一种流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守．某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社．以下是接下来7个星期(用x＝1表示第1个星期，用x＝2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据．题号213456879101112131415x1234567y614203774108203

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号21345687910111213141513．(2026·河北衡水模拟)某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组(50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)，其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题．题号213456879101112131415

题号213456879101112131415[解]

(1)由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以a＝8b，因为(0.008＋0.016＋a＋0.04＋b)×10＝1，所以a＝0.032，b＝0.004．因为成绩落在[50，80)内的频率为0.16＋0.32＋0.40＝0.88，落在[50，90)内的频率为0.16＋0.32＋0.40＋0.08＝0.96，所以第90百分位数在[80，90)内．设第90百分位数为m，则(m－80)×