45　第七章　第45课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第七章立体几何与空间向量

√

2．(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中，D为BC的中点，则(

)A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1DC．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D难度：0.65命题点：线面平行、线面垂直、空间位置关系．√√BD

[由正三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误；因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；因为AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误；因为CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．故选BD．]3．(2025·全国二卷)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_____________cm．难度：0.4命题点：圆柱的内切球、球的截面的性质及计算．2.5

[解]

(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AP⊥AB，又AB⊥AD，AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

[解]

(1)设AC，BD的交点为N，连接NE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为AC的中点，又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以EM＝NA，EM∥NA，所以四边形AMEN为平行四边形，所以AM∥EN，又因为EN⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE．因为四边形AFEC为矩形，所以EC⊥AC，

锚点：空间向量的坐标计算，空间位置关系的判定，空间角、空间距离的计算．2．落实核心概念教材经典2．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？[解]还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线可得，直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD为异面直线．锚点：空间几何体的侧面展开图、异面直线的概念．3．培养思维品质教材经典3．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的半径．

锚点：球的切、接问题．教材经典4．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AB，点M，N分别是线段A1C1，A1B的中点．(1)求证：平面A1BC⊥平面A1AB；(2)设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MN∥l．[证明]

(1)三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则BC⊥AA1，又BC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面A1AB，于是BC⊥平面A1AB，而BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1AB．(2)连接BC1，如图，因为点M，N分别是线段A1C1，A1B的中点，则MN∥BC1，因为BC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，因此，MN∥平面BCC1B1，而平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，MN⊂平面MNB1，所以MN∥l．锚点：空间平行、垂直关系的判定定理和性质定理．第45课时基本立体图形、简单几何体的表面积与体积[考试要求]1．掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．以题引理·激活思维1．(北师大版必修第二册P211习题6－1A组T4)下列命题正确的是(

)A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台√C

[对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；对于B，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体称为棱锥，故B错误；对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，故D错误．故选C．]2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是(

)A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行D

[由直观图的斜二测画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．]√3．(人教A版必修第二册P119例4改编)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为(

)A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．2∶3√D

[设球的半径为r，则S圆柱＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，S球＝4πr2，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πr2∶6πr2＝2∶3．故选D．]

√B

[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]5．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为_____________．12

1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台底面互相_____且_____多边形互相_____且_____侧棱_______________相交于______但不一定相等延长线交于______侧面形状______________________________平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做_________．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做_________．③底面是正多边形的直棱柱叫做_________．④底面是平行四边形的四棱柱叫做_______________．(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．直棱柱斜棱柱正棱柱平行六面体(4)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，______于底面相交于____延长线交于____

垂直一点一点名称圆柱圆锥圆台球轴截面______________________________________侧面展开图__________________

矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环2．立体图形的直观图(1)画法：常用_______________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面______．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的______．斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变一半

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝________S圆锥侧＝______S圆台侧＝___________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝____锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝____台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝________V＝______Sh

4πR2

1．紧扣结构特征是判断空间几何体的关键．2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”3．祖暅原理：等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．考点一

基本立体图形考向1

结构特征[典例1]

(多选)下列说法正确的是(

)A．长方体是正四棱柱B．一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥C．棱锥的所有侧面都是三角形D．棱台的各侧棱延长后必交于一点精研考点·提升素养√√CD

[对于A，由于长方体的底面未必是正方形，故长方体不一定是正四棱柱，故A错误；一个直角三角形绕其一个直角边所在直线旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，B错误；根据棱锥的定义，C正确；由棱台的定义可知棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确．故选CD．]

√

√

√

名师点评：在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．[巩固迁移]1．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是：“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(

)A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺√

√√

【教用·备选题】1．下列叙述正确的是(

)A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球√A

[对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确；对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误；对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台，是一个组合体，故C错误；对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误．故选A．]2．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为(

)A．12

B．24

C．30

D．32√

√√√

√

√(2)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为_________．1

名师点评：求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解等体积法通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)[巩固迁移]3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为(

)A．6π B．16πC．26π D．32π√

√

2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，BD⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5．试用两种方法求此几何体的体积．[解]

法一(分割法)：由AB＝8，AC＝6，BC＝10，得AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC．因为BD⊥平面ABC，AE∥BD，所以AE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以AE⊥AB，又AB⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面ACFE，所以AB⊥平面ACFE．如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．

一、单项选择题1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截去一小部分，其中EH∥A'D'，则剩下的几何体是(

)A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．简单组合体题号135246879101112131415课后作业(四十五)基本立体图形、简单几何体的表面积与体积√16C

[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]题号2134568791011121314152．(2026·山东平度模拟)一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为(

)A．64π B．56πC．48π D．52π√

163．(2025·福建泉州一模)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于(

)A．1 B．2C．3 D．4题号213456879101112131415√B

[设圆柱的母线长为x，则2π·x＝4π，解得x＝2．故选B．]164．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式拼接(不可折断，可以不全部用完)，不可能拼成(

)A．正三棱柱 B．正四棱锥C．正四棱柱 D．正六棱锥题号213456879101112131415√16D

[正三棱柱中9条棱的长度可以相等，A成立；正四棱锥中8条棱的长度可以相等，B成立；正四棱柱中12条棱的长度可以相等，C成立；因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱总比底边长，D不成立．故选D．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号2134568791011121314151610．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABE∥平面CDF，AD⊥AE，AB⊥AE，CF⊥CD，CF⊥BC，且AB＝AE＝CF．记三棱锥A-BDF，F-BDE，F-BCD的体积分别为V1，V2，V3，则(

)A．2V1＝V2

B．V1＝V2＋V3C．V2＝V1＋V3

D．2V3＝3V1题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16