13　第二章　第13课时　指数函数

第13课时指数函数第二章函数的概念与性质[考试要求]1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．以题引理·激活思维

√

√

√√√

f(x)＝3x(答案不唯一)指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中______是自变量，定义域是R，__是底数．(2)形如y＝kax，y＝ax+k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．指数xa(3)指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域R值域____________(0，＋∞)性质过定点__________，即x＝0时，y＝__当x>0时，______；当x<0时，__________当x<0时，______；当x>0时，__________在(－∞，＋∞)上是__函数在(－∞，＋∞)上是__函数(0，1)1y>10<y<1y>10<y<1增减

(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b．2．研究指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论．

精研考点·提升素养√(2)(2025·广东广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(

)A．b<a<0 B．2b<a<0C．0<a<b D．0<2b<a√

(2)设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象如下，设3a＝4b＝t，对于A，当0<t<1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标分别为a，b，由函数图象可知，a<b<0，A错误；对于C，当t>1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标分别为a，b，由函数图象可知，0<b<a，C错误；因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如下，对于B，当0<t<1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a，2b，由函数图象可知，2b<a<0，B正确；对于D，当t>1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a，2b，由函数图象可知，0<a<2b，D错误．故选B．]名师点评：(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)掌握函数y＝f(|x|)，y＝f(x)，y＝|f(x)|的图象之间的变换与联系．(3)定点与渐近线是作图的关键．[巩固迁移]1．函数f(x)＝ax-b的图象如图所示，其中a，b(a>0，且a≠1)为常数，则下列结论正确的是(

)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0√D

[由题中f(x)＝ax-b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax-b为减函数，所以0<a<1．函数f(x)＝ax-b的图象是将f(x)＝ax的图象向左平移得到的，所以b<0．故选D．]

√√√

√

2．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(

)√A

BC

DAC

[当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0<a<1时，对应的图象可能为选项C．故选AC．]√3．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．[－1，1]

[作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．][－1，1]

√√(1)D

(2)B

[(1)因为y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a＝20.3>20＝1，又因为y＝0.2x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以1＝0.20>0.20.3>0.20.6，所以1>b>c，即a>b>c．故选D．

名师点评：利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．[巩固迁移]3．(2025·上海卷)设a>0，s∈R，下列各项中，能推出as>a的一项是(

)A．a>1，且s>0 B．a>1，且s<0C．0<a<1，且s>0 D．0<a<1，且s<0√D

[当a>1时，as>a⇔s>1；当0<a<1时，as>a⇔s<1．结合选项可知只有D选项能推出as>a．]4．若2x＋5y≤2-y＋5-x，则有(

)A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0√B

[2x＋5y≤2-y＋5-x，即2x－5-x≤2-y－5y，设函数f(x)＝2x－5-x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2-y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0．故选B．]【教用·备选题】1．已知函数f(x)＝2x－3-x，则不等式f(x2)<f(2x＋3)的解集为(

)A．(－1，3)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)√A

[函数f(x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3-x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f(x)＝2x－3-x是R上的增函数，由f(x2)<f(2x＋3)，得x2<2x＋3，解得－1<x<3，所以原不等式的解集是(－1，3)．故选A．]2．已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为(

)A．f(cx)≥f(bx)

B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)√

考点三

指数函数性质的综合应用[典例3]

(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)√

√(1，＋∞)

(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对任意x∈R恒成立，令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1．]名师点评：求解与指数函数有关的复合函数问题时，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

√√√

(－∞，－1]

【教用·备选题】已知函数f(x)＝x3(a·2x－2-x)是偶函数，则a＝________．1

[法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2-x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2-x－2x)＝x3(a·2x－2-x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2-x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1．1

题号13524687910111213课后作业(十三)指数函数√

题号13524687910111213题号21345687910111213

√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号213456879101112136．(2026·甘肃兰州模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数根，则实数k的取值范围是(

)A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．[0，1] D．(0，1)题号21345687910111213√D

[作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等实根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，由图知，k∈(0，1)．故选D．]题号21345687910111213二、多项选择题7．已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下结论正确的是(

)A．ab>1 B．ln(a＋b)>0C．2b-a<1 D．ba>1题号21345687910111213√√√ABC

[根据题图中函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象，知函数y＝ax－b是增函数，所以a>1．又当x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0<b<1，所以y＝ax是增函数，ab>a0＝1，A正确；由a＋b>1，得ln(a＋b)>0，B正确；由b－a<0，得2b-a<20＝1，C正确；由y＝bx是减函数，得ba<b0＝1，D错误．故选ABC．]题号21345687910111213

题号21345687910111213√√√

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213

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1(0，1)

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号2134568791011121312．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a-x(